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Wir haben gemogelt !. Untersuchung der Flächeninhalte unter dem Graphen im Intervall [0;b] für folgende Funktionen:. Untersumme der Rechtecksflächen. Lässt man die Anzahl der Rechtecke, also die Zahl n immer größer werden, so gilt:. Untersumme der Rechtecksflächen.

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Presentation Transcript
slide2
Untersuchung der Flächeninhalte unter dem Graphen im Intervall [0;b] für folgende Funktionen:
untersumme der rechtecksfl chen
Untersumme der Rechtecksflächen

Lässt man die Anzahl der Rechtecke, also die Zahl n immer größer werden, so gilt:

untersumme der rechtecksfl chen1
Untersumme der Rechtecksflächen

Lässt man die Anzahl der Rechtecke, also die Zahl n immer größer werden, so gilt:

untersumme der rechtecksfl chen2
Untersumme der Rechtecksflächen

Lässt man die Anzahl der Rechtecke, also die Zahl n immer größer werden, so gilt:

slide6

Wie bestimmt man bei einer beliebigen Potenzfunktion den Flächeninhalt der Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen der Funktion im Intervall von [0; b] ?

Wir wissen:

Wir vermuten:

Funktionsterm

Flächeninhalt unter dem Graphen im Intervall [0; b]

beobachtung zur summe von potenzfunktionen
Beobachtung zur Summe von Potenzfunktionen

Wenn man zwei Potenzfunktionen addiert, addieren sich die Flächeninhalte zwischen den Graphen und der x-Achse.

beobachtung zum faktor bei potenzfunktionen
Beobachtung zum Faktor bei Potenzfunktionen

Wenn man eine Potenzfunktion mit einem Faktor multipliziert, wird auch der Flächeninhalt zwischen Graph und x-Achse mit dem Faktor multipliziert.

slide16
Aufgabe:Bestimme den Flächeninhalt der Fläche zwischen der x-Achse und dem Graphen der Funktion f mit im Intervall [0; 6] .
null oups
Null? - Oups!

Was ist hier passiert?

Wir betrachten den Graphen der Funktion.

das integral
Das Integral

Man versteht unter dem Integral von a bis b der Funktion f die Summe der orientierten Flächeninhalte .

Beim orientierten Flächeninhalt sind die Flächeninhalte ober-halb der x-Achse mit einem positiven und unterhalb der x-Achse mit einem negativen Vorzeichen versehen.

+A1

+A3

-A2

-A4

slide19

Mit dem Rechteck-Verfahren wird also das Integral berechnet!Das Integral stimmt genau dann mit dem Flächeninhalt zwischen dem Graph und der x-Achse überein, wenn der Graph auf dem Intervall nicht unterhalb derx-Achse verläuft.

potenzfunktion
Potenzfunktion

Es gilt:

a

b

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Wollen wir nun den Flächeninhalt der Fläche zwischen x-Achse und dem Graphen der Funktion f mit im Intervall [0; 6] bestimmen,

so müssen wir die Teilflächen bis zu den Nullstellen bestimmen.

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Drei Fragen/Aufgaben:1. Was versteht man unter einem Integral?2. Formuliere eine „Summen- und Faktorregel“ für die Intergralrechnung.3. Wann stimmt der Flächeninhalt zwischen dem Graphen und der x-Achse mit dem Integral überein?

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Hausaufgabe:BASICS:S. 181 – 183 durcharbeiten, ggf. Fragen notierenS. 185 Nr. 6 a - d Berechne den Inhalt der Fläche, die der Graph der Funktion f mit f(x) = -x²+3x mit der x-Achse einschließt.(Tipp: Mach eine Skizze!)TOPS:Erläutere bzw. begründe den Begriff des „orientierten Flächeninhalts“