Das rechnen fr hzeitig f rdern
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Das Rechnen frühzeitig fördern. Annemarie Fritz-Stratmann. Rechenschwäche/-störung Diskussion jeweiliger subjektiver Theorien. Was “fasziniert” Sie an dem Thema? Welche Erfahrungen haben Sie mit Rechenstörungen? Anhand welcher Kriterien vermuten Sie Rechenstörungen?. Vorkenntnisse für ´s

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Presentation Transcript
Das rechnen fr hzeitig f rdern

Das Rechnen frühzeitig fördern

Annemarie Fritz-Stratmann


Rechenschw che st rung diskussion jeweiliger subjektiver theorien
Rechenschwäche/-störungDiskussion jeweiliger subjektiver Theorien

  • Was “fasziniert” Sie an dem Thema?

  • Welche Erfahrungen haben Sie mit Rechenstörungen?

  • Anhand welcher Kriterien vermuten Sie Rechenstörungen?


Plan f r die drei tage

Vorkenntnisse für´s

Rechnen lernen

Entwicklung mathematischer Kompetenzen

2. Tag

diagnostische Konzepte

3. Tag

Was fördern?

Wie fördern?

Plan für die drei Tage


Stand der Forschung

  • Beschäftigung mit LRS - lange Forschungstradition (Ranschburg, 1916)

  • Forschung zum Rechnenlernen „hinkt hinterher“


Vorkommenshäufigkeit

  • Prävalenz von Rechenschwächen (ICD): 3 - 6%

  • Aber:

  • Diskrepanz zwischen Intelligenz und Leistung im Rechnen wird zunehmend in Zweifel gezogen

  • Grund: LRS- mit Diskrepanzkriterium und LRS mit niedriger Intelligenz

    • kein Unterschied in kognitiven Merkmalen und in Sensitivität auf Fördermaßnahmen (Marx et al., 2001)


Iglu: Leistungsschwache

  • STARK GEFÄHRDETE RISIKOGRUPPE

  • Wissen entspricht etwa dem 2. Schuljahr!

  • Mathematik: 20% der Schüler auf Kompetenzstufe I oder II

  • Lesen: 25 % auf Kompetenzstufe I und II

  • Orthographische Kompetenzen: 28.8% auf Stufe I und II


Vergleich: Iglu - Pisa

Iglu: andere Länder

Bis zu 80 Punkte

Schlechtere Leistungen

Pisa: Ende der Sek. I

Fast alle Länder besser

  • „Was auf der Ebene der Grundschule nicht gelingt, lässt sich auf der Ebene der Sekundarstufe I nicht mehr kompensieren. Die auf der Ebene der Grundschule nicht befriedigend gelösten Probleme werden auf der Ebene der Sekundarstufe weiter verschärft" (S.300, Iglu).



Studie zu Vorkenntnissen von Schulanfängern

Ziffernkenntnis 91%

Menge zu einer vorgegebenen Anzahl angeben 77%

Vorwärtszählen im Zehnerraum 80%

Rückwärtszählen 59%

Anzahl bestimmen und angeben 91%

Addition 80% (bzw. 64% mit Zählmöglichkeit, 55% ohne)

Subtraktion 92% (mit Z., 55% ohne)

Halbieren 65% Verdoppeln 33%

Anzahlen schätzen 31%


Schulanfang - keine Stunde Null

Schulanfänger verfügen bereits über beachtliche arithmetische Kenntnisse

ein Mythos?

Große Leistungsheterogenität


Vorkenntnisse von Schulanfängern

Untersuchungsbefunde:

Schulanfänger verfügen über umfangreiche

arithmetische Kenntnisse

Die mathematischen Kompetenzen von Schulanfängern

werden in der Regel von Experten unterschätzt

Mythos!

Studien geben nur Auskunft über die Prozentsätze

richtiger Lösungen, über die Streuung der Leistungen

dagegen nicht

Interpretation der Untersuchungsergebnisse nur hinsichtlich

möglicher Unterforderung

Filmausschnitt Mathias


Stabilität von Rechenleistungen

Numerische Kompetenzen am Ende der Vorschulzeit

Vorhersage

Für Rechenleistung bis Ende vierte Klasse (Längsschnittstudie Krajewski, 2003; Stern, 1995)

Zählstrategien werden beibehalten von „schlechten“ Erst-, Dritt-, Fünft- und Siebtklässlern (Ostad, 1997)

Schwache Rechner weisen Defizite in den Grundkenntnissen auf


  • Prädiktoren für Mathematik

  • Scholastik-Studie: (Längsschnitt über

  • 14 Jahre)

  • Textaufgabe in Klasse 2

    • Sagt vorher

  • Matheleistungen im 11. Schuljahr



Wann beginnt das

Rechnen lernen

in der Entwicklung?

Was sind die einzelnen Komponenten?


Erste Vorstellungen von Mengen und Zahlen: intuitive Mathematik

  • Säuglinge (3 Wochen) können Mengen von 2 - 3 Objekten voneinander unterscheiden

  • Säuglinge (6 Monate) zeigten Sinn für Additions- und Subtraktionsaufgaben (Wynn, 1992)


Zahlwortreihe Mathematik

Lu - la - ba - by - lol - li- pop- ta - boo


Aufgaben Mathematik

- Zählen Sie in 2er-Schritten vorwärts

- welche Zahl ist größer: pop oder lol

- Zählen Sie von by an um ba-Schritte weiter

- Zählen Sie von lol an rückwärts

Lol Mäuse haben sich in der Burg versteckt. Auf der Flucht

Vor der Katze kommen noch by Mäuse hereingestürzt. Wie viele Mäuse befinden sich jetzt in der Burg?

Li Mäuse sind in der Burg versteckt. La Mäuse beschließen, sich

rauszuschleichen und nachzusehen, ob die Katze noch da ist.

Wie viele Mäuse bleiben in der Burg zurück?


  • Wie sind MathematikSie vorgegangen?

  • Welche Probleme hatten Sie?

  • Kennen Sie ähnliche Probleme bei den Kindern?

  • Welche Teilfertigkeiten gehören also zum Rechnen lernen?

  • (Gruppenarbeit)


Kenntnis der Mathematik

Zahlwortreihe

Verständnis mehr/weniger

größer/kleiner

Wissen, dass Zahlen in Zahl-

wortreihe immer größer

werden

Verständnis

Vermehren/vermindern

Wissen, dass Zahl in Zahlwortreihe

auch die Menge der vorhergehenden

Zahlen umfasst

Wissen, dass Mengen zerlegbar sind


Fr hindikatoren
Frühindikatoren Mathematik

Rechnen

Vorschulalter

Schulalter


Als voraussetzungen f r das rechnen bzw indikatoren f r st rungen kommen infrage
Als Voraussetzungen für das Rechnen bzw. Indikatoren für Störungen kommen infrage?

Grundlegende (kognitive)

Fähigkeiten

Spezifische

Fertigkeiten


Grundlegende kognitive f higkeiten
Grundlegende kognitive Fähigkeiten Störungen kommen infrage?

  • Intelligenz

  • visuelle Wahrnehmung

  • Auditive Wahrnehmung

  • Arbeitsgedächtnisleistungen: Wie viel Information kann für kurze Zeit bereitgehalten werden?

  • Präzise Speicherung, schneller Abruf

  • weitere: Konzentration, Arbeitsweisen, Sprache,

  • Motive, metakognitive, selbstregulative, emotionale Prozesse, Begriffsbildung


Lorenz
Lorenz Störungen kommen infrage?


Bedeutung der unspezifischen voraussetzungen
Bedeutung der unspezifischen Voraussetzungen Störungen kommen infrage?

  • Argumente: unspezifische Voraussetzungen sind begleitende Bedingungen für verschiedene Störungen

Unspezifische

Bedingungen


Mengen- Störungen kommen infrage?

Vorwissen

.69

.59

.80

Arbeits-

speicher

Zahlen-

speed

Zahlen-

Vorwissen

.47

.49

.72

Wirkung spezifischer Voraussetzungen Befund mathematische Leistungen (Krajewski, 2003, auch Lorenz, 2005)

Intelligenz

p = .09

letztes Kindergartenjahr

Mathe

4. Klasse

52%


Erworbenes Wissen im

Vorschulalter

Wie verknüpfen sich die Teilleistungen?


Entwicklung des rechnen lernens
Entwicklung des Rechnen lernens Störungen kommen infrage?

  • Anders als beim Schriftspracherwerb existiert kein Entwicklungsmodell über die Stufen der Aneignung beim Rechnen und über die zugrunde liegenden Prozesse


Entwicklungsstufe Störungen kommen infrage?

Entwicklung der Zahlwortreihe

Erwerb der Zahlwortreihe (noch kein Zählen)

Lulababylolipoptaboo

Aufsagen der Zahlwortreihe zum Auszählen

von Objekten

Lu - la - ba - by - lol - li - pop - ta - boo


Rechnen ein Umgang mit Mengen Störungen kommen infrage?

  • Aussagen über Mengenoperationen werden vorgenommen, ohne dass Kinder die Mengen exakt benennen können (=Protoquantitative Schemata) (Resnick & Greeno (1990)


Protoquantitative Schemata Störungen kommen infrage?

  • ... des Vergleichs

    • Viel, wenig, mehr, größer kleiner

  • ... des Vermehrens / Verminderns

    • Dazukommen, wegnehmen, größer/kleiner werden

  • ... der Teil-Ganzes-Relation

    • Gehört zu ..., ist Teil von


Ausgangspunkt: 2 Störungen kommen infrage?grundlegende, voneinander unabhängige Schemata

  • Verbal-sequentielles Schema

  • Zählen 1234567

  • Auszählen 1-2-3-4-5-6

  • Räumlich-analoge oder protoquantitative Schemata:

  • Vergleichen viel, wenig, größer, kleiner, höher...

  • Vermehren - Vermindern (bei Veränderungen)


Komponenten des rechenerwerbs
Komponenten des Rechenerwerbs Störungen kommen infrage?

Verständnis der Begriffe

Vergleichen

Vermehren/vermindern

Kenntnis der Zahlwort-

reihe

Verständnis der Seriation

  • Kenntnis der Zahlwortreihe

  • Verständnis der Seriation

Mengenvergleiche zählend möglich

Additionen und Subtraktionen

zählend


Niveau 2: Auszählen von Mengen Störungen kommen infrage?

Lukas hat 2 Bausteine.

Paul gibt ihm noch zwei dazu.

Wie viele hat er jetzt?


lu la ba by lol Störungen kommen infrage?

= mentaler Zahlenstrahl

(Vergleich von Positionen)

Mentaler Zahlenstrahl - ordinaler Strahl

  • Neue Struktur durch Integration von Zahlwortreihe und protoquantitavem Schema des Vergleichs: Aufbau eines mentales Zahlenstrahls (4 Jahre)


Ordinaler zahlenstrahl erlaubt
Ordinaler Zahlenstrahl erlaubt Störungen kommen infrage?

  • Vorstellung der geordneten Zahlwortfolge

  • Objekte auszählen, 1 zu 1 Zuordnung

  • größer oder kleiner

  • was kommt nach 7 und vor 5

    Filmausschnitt D.


Erste Addition und Subtraktion Störungen kommen infrage?

  • Integration von Zahlwortreihe und protoquan-titativem Schemata des Verminderns - Vermehrens

  • Additions- und Subtraktionsaufgaben lösbar,durch Vorwärts- und Rückwärtsgehen auf der verbalen Zahlwortreihe (Fuson 1992, Resnick, 1983).

  • Auszählen jeweils von 1 an

  • ba + lol = ?

  • li - la = ?


Aufgabentypen für Sachaufgaben Störungen kommen infrage?

Anna hat 5 Bausteine. Dann gab ihr Jan

noch 2 Bausteine. Wie viele Bausteine

Hat Anna nun?

Anna hat 5 Bausteine. Jan hat 3 Bausteine.

Sie möchten zusammen damit spielen.

Wie viele Bausteine haben sie zusammen?

Jan hat 7 Bausteine. Er gibt Anna 2 Bausteine ab.

Wie viele Bausteine hat Jan dann noch?


Aufbau von Verständnis Störungen kommen infrage?

  • Zählfertigkeiten und protoquantitative Schemata zunächst voneinander unabhängige Wissenssysteme, die im weiteren Entwicklungsverlauf miteinander verbunden werden müssen (Resnick (1992).

  • Durch die Verbindung entsteht Verständnis über die Beziehungen zwischen Zahlen


Kardinalzahl Störungen kommen infrage?

Elaboration der Zählkompetenz geht dem Verfügen über Mengenaspekt voraus

Mit der Integration von Zahlwort und Teile-Ganzes-Schema wird Kardinalzahl entdeckt

Übertragung von der Zähl- zur Kardinalzahl (5 Jahre)

Last-word-rule

Übertragung von der Kardinal- zur Zählzahl

Deutlich schwieriger, Übergang setzt das Verstehen voraus, das eine Menge eine bestimmte Mächtigkeit hat, die aus einzelnen Elementen besteht, aus der sie zusammengesetzt ist und in die sie wieder zerlegt werden kann.


Kardinalit t verstehen der m chtigkeit
Kardinalität - Verstehen der Mächtigkeit Störungen kommen infrage?

by

ba

la

lu

la enthält lu

ba enthält la, lu.


Abb. Zu order-irrelevance principle Störungen kommen infrage?

8 – 4 = ?

Antwort: „7“

Begründung:

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

5

6

7

Fehler durch mangelnde Kardinalität


Kardinalität führt zur Entwicklung eines metrischen Strahlsdas erlaubt: - Weiter- und Rückwärtszählen,- Welche Zahl ist um 1 größer als 6?- Zähle bis 4, - Gib mir 4 Bonbons aus der Tüte


Abb. Entwicklung kardinaler Zählbedeutung Strahls

Ebene 1

eins

zwei

drei

vier

eins

zwei

drei

Anwendung der Zahlwortreihe auf Objekte

Ebene 2

Übergang von der Zähl- zur Kardinalzahl:

Prozess: Auszählen

Kardinalzahl-Prinzip (meistens mechanische Ebene; 4 getrennte Objekte)

Zählzahl

vier

Kardinalzahl

vier

Ebene 3

Übergang von der Kardinal- zur Zählzahl

Prozess: Abzählen

Erstes Verständnis von Teilmenge

Menge von 4 ~ 4 beinhaltet 4 einzelne Elemente + Menge mit der Anzahleigenschaft ‚vier’

„Gib mir vier“

= 4


lu (+1) la (+1) ba (+1) by (+1) lol Strahls

= mentaler Zahlenstrahl

Gleichabständigkeit)

Mentaler Zahlenstrahl - metrischer Strahl

  • Neue Struktur durch gleiche Abstände


Integration Zählzahl und Kardinalzahl Strahls

  • Zahlenstrahl hat gleiche Abstände

  • Zahlangabe sicher als Mengen Info interpretiert

  • Kinder zählen von einer Menge an die nächste dazu, zählen dies vorwärts und rückwärts

  • Aufgaben: Abzählen – gib mir aus einer Menge 4 Objekte oder auch welche Zahl ist um 1 größer als 4

  • Filmausschnitt D.


5 Strahls

6

4

4

5

6

vermindern

vermehren

~ gleichmäßiger Aufbau der Zahlreihe:

immer 1 mehr,

Zahlwortreihe als Anzahl von Zählschritten


Zahlen werden zählbare Einheiten Strahls

3 ist 1,2,3

3 ist auch 4,5,6

Die Affen im Zoo schaukeln.

Es gibt 3 Schaukeln und 5 Affen.

Wie viele Schaukeln gibt es weniger

als Affen?


Relationaler begriff
Relationaler Begriff Strahls

  • 3= 1,2,3 auch 4,5,6 auch 7,8,9


Verständnis relationaler Zahlbeziehungen Strahls

  • Das Verstehen der Zahlwortreihe als Anzahl von Zählschritten ermöglicht das Verständnis relationaler Zahlbeziehungen:

  • „Hans hat 5 Murmeln mehr als Peter“

  • 5 als Abschnitt auf dem Zahlenstrahl, der die Relation zwischen zwei anderen Zahlen markiert

  • (zwischen 2 und 7; 4 und 9) (vgl. Stern 1997)


Aufbau weiterf hrender strategien mengen sind zerlegbar
Aufbau weiterführender Strategien: Mengen sind zerlegbar Strahls

6 Autos auf 2-3 Flächen aufteilen.


Aufbau weiterführender Strategien durch Teil-Ganzes Strahls

  • Protoquantitatives - Schema: Teile-Ganzes

  • 10

  • 9+1 5+3+2

  • 8+2 2+3+2+3

  • 7+3 1+4+2+3

  • 6+4 4+4+1+1

    • Einsicht, dass Zahlen zerlegbar und aus Teilen zusammensetzbar sind

    • Zunahme von Verständnis über die Beziehungen zwischen Zahlen


    Teil-Teil-Ganzes Konzept Strahls

    Ganzes

    Teil

    Teil


    Vertiefung des Teile-Ganzes-Konzepts Strahls

    • Verständnis der triadischen Struktur

    • Das Teile-Ganzes-Schema spezifiziert die Beziehung zwischen "Zahlentripeln“

      7

      25

    • Diese Beziehung bleibt bestehen, egal ob das Problem als 5 + 2 = ?; 7 - 5 = ?; 7 - 2 = ?; 2 + ? = 7; ? + 5 = 7; gegeben wird (vgl. Resnick, 1983).


    Begründung Strahls

    • Wissen über Zahlstrukturen und -beziehungen entsteht aus der Einsicht, dass Zahlen zerlegbar, bzw. aus Teilen zusammensetzbar sind

    • Beispiel:

    • 25 x 36 =

    • Wie gehen Sie vor? - Was ist ihre spontane Zugriffsweise?


    Fortschritt im mathematischen Verständnis Strahls

    • Zahlen nicht nur Zählinstrumente oder Instrumente zur Abbildung konkreter Mengen, sondern als Möglichkeit zur Modellierung von Beziehungen zwischen Zahlen


    Sachaufgabe Strahls

    Auf dem Spielplatz sind 6 Kinder.

    4 davon sind Jungen, der Rest Mädchen.

    Wie viele Mädchen spielen auf dem Spielplatz?


    Sachaufgaben Strahls

    Auf Teile-Ganzes-Schema aufbauend

    Vorgabe anspruchsvoller TA, die Relationen

    zwischen Mengen abbilden:

    Michel und sein Freund Alfred spielen Murmeln.

    Alfred hat 2 Murmeln mehr als Michel.

    Zusammen haben sie 10 Murmeln.

    Wie viele Murmeln hat Michel?

    In Evas Regal stehen 168 Bücher. Das Regal

    hat 3 Fächer. In jedem Fach stehen

    10 Bücher mehr als im darunter liegenden.

    Wie viele Bücher stehen in jedemFach?


    Spezifische voraussetzungen im mathematischen bereich
    Spezifische Voraussetzungen im mathematischen Bereich Strahls

    Integration von Zählzahl

    und Menge

    Zerlegbarkeit von Mengen


    Hypothesen: Strahls

    • Entwicklungsprobleme beginnen auf Stufe 3: Kinder verknüpfen Mengen und Zahlwortwissen nicht, zählen von 1 an

    • Auffällig rechenschwache Kinder haben noch in der 2. Klasse Stufe 5 nicht erreicht, also nur unzureichendes Wissen über Zerlegung von Mengen


    • Arbeitsauftrag Strahls

    • Wählen Sie ein Kind in der Klasse aus, von

    • dem Sie annehmen, dass es Schwierigkeiten

    • Beim Rechnen lernen hat.

    • Versuchen Sie so genau wie möglich zu beschreiben

    • was das Kind kann

    • - was es noch nicht kann.


    • Was ist mathematische Grundbildung? Strahls

    • Zur mathematischen Grundbildung gehört nicht nur das

    • Beherrschen von Rechenroutinen. Es geht auch um

    • mathematische Kompetenzen wie:

    • mathematisieren und modellieren

    • Probleme erkennen und lösen

    • Mathematische Darstellungen verstehen

    • über den Einsatz von Mathematik reflektieren


    Wissenserwerb als Konstruktionsprozeß Strahls

    • Rechnen lernen nicht sukzessiver Erwerb allgemein gültigen Regelwissens;

    • Sondern allmähliche Zunahme von Verständnis über die Beziehungen, die zwischen Zahlen bestehen als aktives Konstruieren von Sinnzusammenhängen durch das jeweilige individuelle menschliche Subjekt (konstruktivistisch-individuelle Rahmung)


    Fortschritt im mathematischen Verständnis Strahls

    • Zahlen nicht nur Zählinstrumente oder Instrumente zur Abbildung konkreter Mengen, sondern als Möglichkeit zur Modellierung von Beziehungen zwischen Zahlen


    Inhalte - Formate - Größe des Zahlen- Strahls

    raums (Anforderungen von Aufgaben)

    Format: a + b = c

    Zerlegen von Mengen

    Beziehungen zwischen Zahlen verstehen

    Inhalte: Algorithmus

    Sachaufgaben (z.B. mit lebensweltlichem

    Bezug)


    Aufgabenbeispiel aus VERA Strahls

    Eine Tüte mit Sammelkarten kostet 2.50 Euro. In einer Tüte sind

    6 Karten.

    Tom hat sich schon 30 Karten gekauft.

    Er kauft noch 8 Tüten.

    A) Wie viele Tüten hat Tom insgesamt gekauft?

    B) Wie viel Geld hat Tom für die Sammelkarten ausgegeben?


    Aufgabenbeispiel aus PISA Strahls

    Wie kannst Du einen Geldbetrag von genau 31 Cent hinlegen,

    Wenn Du nur 10 Cent, 5 Cent und 2 Cent Münzen zur

    Verfügung hast?

    Schreibe alle Möglichkeiten auf.

    7 Brötchen kosten 3.15 Euro. Was kosten 11 Brötchen?


    Welche Anforderungen enthält die Strahls

    nachfolgende Aufgabe?

    Auf einer kleinen Malediveninsel reicht der

    Frischwasservorrat für 150 Personen 21 Tage. Wie lange

    reicht der Vorrat, wenn 450 Personen auf der Insel leben?

    Auf einer Strecke von 900 km verbraucht Herr Fröhlichs

    neues Auto 54 l Benzin. Wieviel Benzin verbraucht es bei

    gleichem Verbrauch auf einer Strecke von 300 km?


    Welche Anforderungen enthält die Strahls

    nachfolgende Aufgabe?

    Lukas und seine Schwester Anna sammeln Mangas. Zusammen

    haben sie 136 Bände. Lukas hat 12 weniger als Anna.

    Wie viele Mangas hat Lukas, wie viele Anna?


    ad