ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

1. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

2. §1 Определенный интеграл: определение, геометрический смысл, свойства. Пусть функция определена на отрезке . Выполним следующие действия: 1.Разобьем отрезок с помощью точек на частичных отрезков где Обозначим и пусть

3. 2.На каждом отрезке выберем точку и составим сумму которая называется интегральной суммойфункции она зависит от способа разбиения и выбора точек

4. Если существует предел интегральной суммы при условии, что число частичных отрезков стремится к бесконечности, а длина наибольшего из них – к нулю, то есть не зависящий от способа разбиения отрезка и выбора промежуточных точек , то говорят, что функция интегрируема по Риману на отрезке ,

5. а сам предел называют определенным интегралом функции в пределах от дои обозначают При этом числа и называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования.

6. Теорема (существования определенного интеграла). Если функция непрерывна на отрезке то определенный интеграл существует.

7. Геометрический смысл определенного интеграла.

8. Фигура, ограниченная графиком функции прямыми и осью , называется криволинейной трапецией. Пусть при Тогда произведение равно площади прямоугольника с основанием и высотой , а сумма представляет собой площадь заштрихованной ступенчатой фигуры и приближенно равна площади криволинейной трапеции:

9. Если уменьшать, то точность последнего приближенного равенства будет увеличиваться. Таким образом, в предельном случае то есть

10. Итак, определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции(геометрический смысл определенного интеграла).

11. Свойства определенного интеграла. 1. , т.е. определенный интеграл не зависит от обозначения переменной. 2. 3. 4.

12. 5. 6. 7. Если при и то

13. 8. если функция четна на 9. если функция нечетна на

14. §2 Методы вычисления определенного интеграла. 1.Формула Ньютона-Лейбница. Если первообразная функции то Пример.

15. 2. Метод поднесения под знак дифференциала и замены переменной.

16. Пример.

17. 3. Метод замены переменной.

18. Пример.

19. Замечание.Важно: при замене переменной в определенном интеграле соответствующим образом меняются пределы интегрирования.

20. 4. Интегрирование по частям. Пусть функции имеют непрерывные производные на отрезке Тогда справедлива формула

21. Пример.

22. §3. Применение определенного интеграла к задачам геометрии. 1.Вычисление площадей плоских фигур. Рассмотрим следующие случаи.

23. 1) Фигура ограничена непрерывной линией • , прямыми и отрезком оси абсцисс.

24. 2) Фигура ограничена непрерывной линией • , прямыми и отрезком оси абсцисс.

25. 3)Фигура ограничена двумя непрерывными линиями и прямыми

27. 4)Фигура ограниченанепрерывной линией , прямыми и отрезком оси ординат.

28. 5)Фигура ограничена непрерывной линией, прямыми и отрезком оси ординат.

29. 6) Фигура ограничена двумя непрерывными линиями и прямыми

31. 7)Если кривая задана параметрическими уравнениями то площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми осью абсцисс и кривой, находят по формуле где и определяются из равенств

32. Примеры.Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями. 1) Решение.

34. Воспользуемся формулой из п.3:

36. 2) Решение. Найдем точки пересечения кривых. 

37. Графиком функции или является парабола, ветви которой вытянуты вдоль оси вершина находится в точке График функции прямая, для построения которой достаточно знать координаты двух точек. Например,

39. Воспользуемся формулой из п.6.

41. 2.Вычисление объемов тел вращения. 1)Криволинейная трапеция, ограниченная кривой и прямыми вращается вокруг оси

42. 2)Криволинейная трапеция, ограниченная прямыми и кривыми вращается вокруг оси

44. 3) Криволинейная трапеция, ограниченная кривой и прямыми вращается вокруг оси

45. 4)Криволинейная трапеция, ограниченная прямыми и кривыми вращается вокруг оси

47. Замечание.При вычислении объемов тел вращения нет необходимости изображать сами тела; достаточно построить только фигуры, которые будут вращаться.

48. Пример. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линиями Решение. Найдем точки пересечения кривых, для чего решим систему уравнений

49.  Изобразим линии.

50. уравнение параболы, вершина которой находится в точке ветви направлены вверх вдоль оси уравнение прямой, которая проходит через точки