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Capitulo II. Teoría general de las Líneas de Transmisión. Sumario: Introducción. Planteamiento y solución del problema de las líneas de transmisión regulares. Condiciones de contorno para la función de coordenadas transversales de amplitud compleja de los vectores de Hertz.

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capitulo ii

Capitulo II

Teoría general de las Líneas de Transmisión.

slide2

Sumario:

Introducción.

Planteamiento y solución del problema de las líneas de transmisión regulares.

Condiciones de contorno para la función de coordenadas transversales de amplitud compleja de los vectores de Hertz.

Distribución de campo en la superficie transversal de la línea de transmisión.

Distribución del campo a lo largo del eje de la línea de transmisión.

sumario
Sumario:
  • Longitud de onda en la línea de transmisión.
  • Velocidad de fase y velocidad de grupo.
  • Impedancia intrínseca transversal de la línea de transmisión.
  • Potencia en la superficie transversal de la línea de transmisión.
  • Campo en una línea de transmisión real.
  • Conclusiones.
2 1 introducci n
2.1 Introducción:

Nosotros centraremos nuestro estudio en los elementos regulares de las líneas de transmisión, tales como:

  • Estructura del campo E y H en la superficie transversal de la línea de transmisión.
  • Distribución de los campos a lo largo de la línea de transmisión.
  • Parámetros de la líneas de transmisión y de las ondas electromagnéticas.
2 1 introducci n1
2.1 Introducción:

Para desarrollar nuestro estudio resolveremos las siguientes ecuaciones de Maxwell:

Mediante el método de los vectores de Hertz, Ze y Zh.

2 1 introducci n2
2.1 Introducción:

Supondremos que tanto los dieléctricos como los conductores que sean utilizados en las líneas de transmisión serán ideales.

2 2 planteamiento y soluci n del problema de las l neas de transmisi n regulares
2.2 Planteamiento y solución del problema de las líneas de transmisión regulares.

Definición: Una línea de transmisión es un sistema director de ondas electromagnéticas y se le llama regular cuando su estructura se extiende de forma uniforme a lo largo de un eje que es una línea recta.

Supongamos una línea regular de n contornos y vamos a determinar el campo electromagnético en los puntos donde no existen corrientes de conducción. Esto es:

2 2 planteamiento y soluci n
2.2 Planteamiento y solución …

Consideraremos la línea de transmisión ideal, que el campo es armónico en la línea y para resolver el problema utilizaremos un sistema de coordenadas curvilíneas generalizado, (ζ, η, z), donde:

(ζ, η): representan las coordenadas transversales.

z: es la coordenada axial a lo largo de la cual la estructura de la línea es regular.

En coordenadas cilíndricas: ζ = r y η = φ.

2 2 planteamiento y soluci n1
2.2 Planteamiento y solución…

Entonces resolveremos las ecuaciones de Maxwell en zonas donde no hay fuentes de corrientes de conducción (Jc = 0).

Bajo la condición de contorno: Eτ= 0.

2 2 planteamiento y soluci n2
2.2 Planteamiento y solución…

Para obtener la solución nos basaremos en los vectores eléctrico y magnético de Hertz y su relación con los vectores de campo eléctrico y magnético respectivamente dadas por:

2 2 planteamiento y soluci n3
2.2 Planteamiento y solución…

Para determinar los vectores de Hertz resolveremos la ecuación de propagación de la onda electromagnética, dada por:

Donde Ze,h representa los vectores de Hertz eléctrico y magnético que expresados en forma de amplitudes complejas se representan como:

2 2 planteamiento y soluci n4
2.2 Planteamiento y solución…

De aquí que la ecuación a solucionar para determinar los vectores de Hertz sea:

Donde k es el numero de onda dado por:

2 2 planteamiento y soluci n5
2.2 Planteamiento y solución…

Aplicando el método de separación de variables, para resolver la ecuación anterior, obtendremos:

Donde: Ψ representa el comportamiento de los vectores de Hertz en la superficie transversal; mientras g lo hará a lo largo de la línea de transmisión.

2 2 planteamiento y soluci n6
2.2 Planteamiento y solución…

Debido a la propiedad de ortogonalidad, también el operador Laplaciano se puede expresar en separación de variables como:

De donde sustituyendo se obtiene:

2 2 planteamiento y soluci n7
2.2 Planteamiento y solución…

De aquí obtenemos un sistema de ecuaciones diferenciales de segundo grado dadas por:

Estas ecuaciones son conocidas como Ecuación del telegrafista y Ecuación de la membrana, respectivamente.

2 2 planteamiento y soluci n8
2.2 Planteamiento y solución…

Así, las ecuaciones que definen a los vectores del campo electromagnético están dadas por:

2 2 planteamiento y soluci n9
2.2 Planteamiento y solución…

Analizando estas ecuaciones, de par en par, podemos concluir lo siguiente:

Primer par de ecuaciones: (Transversal eléctrico o campo tipo H)

  • El campo eléctrico tiene solamente componente en la dirección de las coordenadas transversales.
  • El campo magnético tiene componente en la dirección transversal y axial.

Segundo par de ecuaciones: (Transversal magnético o campo tipo E)

  • El campo eléctrico tiene componente en la dirección transversal y axial.
  • El campo magnético tiene solamente componente en la dirección de las coordenadas transversales.
2 2 planteamiento y soluci n10
2.2 Planteamiento y solución…

Si la constante k es igual a cero , tanto uno como el otro campo tendrán componentes transversales solamente. Este campo se les llama transversal electromagnético. Ondas TEM.

2 3 condiciones de contorno para e y h
2.3 Condiciones de contorno para Ψe y Ψh

Los campos en las líneas de transmisión tienen que cumplir la condición de que la componente tangencial del vector intensidad de campo eléctrico sea cero.

Si Eτ = 0, entonces:

2 3 condiciones de contorno para e y h1
2.3 Condiciones de contorno para Ψe y Ψh

*Para un campo tipo E. Sustituyendo el vector de intensidad de campo eléctrico por su expresión, tendremos:

2 3 condiciones de contorno para e y h3
2.3 Condiciones de contorno para Ψe y Ψh

Quedando las ecuaciones anteriores como:

2 3 condiciones de contorno para e y h4
2.3 Condiciones de contorno para Ψe y Ψh

De estas condiciones nos damos cuenta que:

Nota: Si Ψe es igual a una constante y Ke es igual a cero, el campo tipo E se convierte en un campo tipo TEM.

2 3 condiciones de contorno para e y h5
2.3 Condiciones de contorno para Ψe y Ψh

*Para un campo tipo H. Sustituyendo en las condiciones de contorno el vector de intensidad de campo eléctrico Eh, obtendremos:

2 3 condiciones de contorno para e y h6
2.3 Condiciones de contorno para Ψe y Ψh

Como el producto vectorial siempre es perpendicular a z0 la primera condición se cumplirá para cualquier Ψh, por tanto usando la segunda condición, tendremos:

Por tanto, para un campo tipo H la condición de contorno será:

2 3 condiciones de contorno para e y h7
2.3 Condiciones de contorno para Ψe y Ψh

Nota: de lo anteriormente expuesto se deduce que para una onda TEM debe cumplirse que la constante kTEM = 0. Esto implica que las constantes Ke y Kh sean kTEM = 0 y por consiguiente las condiciones de contorno para las ondas TEM se obtendrán cuando Ψe = Ψh = constante. De aquí que las condiciones de contorno par alas ondas tipo TEM sea:

2 4 distribuci n de campo en la superficie transversal de la l nea de transmisi n
2.4 Distribución de campo en la superficie transversal de la línea de transmisión.

Como es de notar el campo en la superficie transversal depende de la función Ψe,h,TEM, por lo que para analizar el campo en la superficie transversal debemos obtener las posibles soluciones de la siguiente ecuación diferencial:

Donde para ondas tipo E y H debe cumplirse:

2 4 distribuci n de campo
2.4 Distribución de campo…

NOTA 1: El cumplimiento de las condiciones anteriores implica, que la ecuación diferencial tiene solución solamente para valores positivos y discretos de k, donde a cada valor de k le corresponde una función Ψ, y a esta una estructura de campo diferente. Por esto, en cualquier línea de transmisión regular puede existir un número infinito de campos E y H, los cuales se diferencian entre sí por su estructura en la superficie transversal.

2 4 distribuci n de campo1
2.4 Distribución de campo…

NOTA 2: Para el tipo de campo TEM, ΨTEM la estructura del campo dependerá del número de contornos o conductores existentes en la línea de transmisión. Así, la ecuación de solución tendrá un número de soluciones igual a p-1 soluciones, donde p es el número de contornos del problema. En el caso particular de líneas de transmisión con un solo conductor, la ecuación no tiene solución, lo cual implica que una onda TEM no puede propagarse bajo este tipo de condiciones, por ejemplo en guía de ondas.

2 5 distribuci n de campo a lo largo del eje de la l nea de transmisi n
2.5 Distribución de campo a lo largo del eje de la línea de transmisión.

Como hemos mencionado, el comportamiento a lo largo del eje z. Por tanto, hay que obtener las soluciones a la ecuación diferencial:

Para esto denominemos una constante Γ como constante de propagación, la cual se define por:

2 5 distribuci n de campo a lo largo
2.5 Distribución de campo a lo largo…

Donde Γes una constante compleja que puede definirse en función de la atenuación de la línea de transmisión (α) y de la fase que introduce la línea (β).

La solución a esta ecuación diferencial es de la forma:

2 5 distribuci n de campo a lo largo1
2.5 Distribución de campo a lo largo…

Multiplicando la ecuación por el termino exp(jwt), obtenemos:

Las dos componentes de g(z) son denominadas onda directa y onda reflejada, respectivamente.

2 5 distribuci n de campo a lo largo2
2.5 Distribución de campo a lo largo…

Partiendo que la línea de transmisión es ideal podemos decir que Γes una magnitud que pude ser, real, imaginaria o cero.

Caso 1: K > k. Γ es una magnitud imaginaria pura, de donde concluimos que α=0. Tomando la solución la siguiente forma:

Esta ecuación describe una onda progresiva sin atenuación, la cual es capaz de propagarse en la línea de transmisión y transportar energía.

2 5 distribuci n de campo a lo largo3
2.5 Distribución de campo a lo largo…

Caso 2: K < k. Γ es una magnitud real, de donde concluimos que β = 0. Tomando la solución la siguiente forma:

Esta ecuación describe un campo estacionario que se atenúa exponencialmente con el crecimiento de z. Por tanto, este campo no es capaz de propagarse ni de transportar energía.

2 5 distribuci n de campo a lo largo4
2.5 Distribución de campo a lo largo…

Caso 3: K = k. Γ será cero, por tanto α=β=0. Tomando la solución la siguiente forma:

Esta ecuación describe el paso de un campo estacionario a una onda progresiva y viceversa.

2 5 distribuci n de campo a lo largo5
2.5 Distribución de campo a lo largo…

Nota: Para que ocurra alguno de los casos anteriormente expuesto es necesario que la frecuencia de la onda a propagarse por la línea de transmisión varié alrededor de una frecuencia que será la que determine la condición K=k. Esta frecuencia la llamaremos frecuencia critica wcr, donde la constante k estará determinada por:

De aquí que k sea una valor intrínseco critico y la propagación de la energía se obtiene cuando se cumple que: w > wcr ó λcr > λ.

2 5 distribuci n de campo a lo largo6
2.5 Distribución de campo a lo largo…

Nota: Cada campo tipo E o H tiene su wcr, además como la kTEM=0, la frecuencia critica para este tipo de campo es wTEM=0, por lo que cualquier frecuencia, e inclusive para corriente directa en una línea de transmisión de mas de un conductor, se puede propagar una onda TEM.

Nota: Cada campo tipo E, H o tipo TEM, que corresponda a una frecuencia critica determinada, le llamaremos modo de propagación. De aquí que al modo de menor frecuencia critica o la mayor longitud de onda critica le denominaremos modo dominante.

2 5 distribuci n de campo a lo largo7
2.5 Distribución de campo a lo largo…

En la practica la energía por una línea de transmisión se traslada en el modo dominante y los restantes modos se hacen estacionarios. Esto se logra bajo las siguientes condiciones:

2 6 longitud de onda en la l nea de transmisi n

a

b

z

Δz

2.6 Longitud de onda en la línea de transmisión.

Definición: La longitud de onda en una línea de transmisión χ, es la mínima distancia entre dos puntos del eje de la línea de transmisión Δz=zb-za, cuyas fases se diferencian entre sí en 2π.

De aquí:

2 6 longitud de onda en la l nea
2.6 Longitud de onda en la línea...

Como Δz=χ, entonces:

Teniendo en cuenta que para una onda propagada:

2 6 longitud de onda en la l nea1
2.6 Longitud de onda en la línea…

Entonces:

Para ondas progresivas tipo E y H

Por tanto:

2 6 longitud de onda en la l nea2

Χe,h

ΧTEM

λcr

λ

2.6 Longitud de onda en la línea…

Para ondas tipo TEM, teniendo en cuenta que λTEM=∞, tendremos que χTEM=λ. Lo cual se representa gráficamente como:

2 6 longitud de onda en la l nea3

b’

λ

Et

Ee

z

a

b

Ht

Ez

χ

S

Vf

2.6 Longitud de onda en la línea…

Para ondas tipo E, nosotros conocemos que estas tienen componentes transversal y axial del E, además de componente transversal de H. Esto implica que el vector de Pointing (S) tenga una inclinación hacia la pared de la línea de transmisión, según se muestra en la figura.

2 6 longitud de onda en la l nea4
2.6 Longitud de onda en la línea…

Nota: Como la fase de los puntos b y b’ es la misma, o sea la distancia entre ambos puntos es una longitud de onda correspondiente a la fase del frente de ondas que se propaga en la linea de transmisión, vemos que se forma un triangulo entre los puntos abb’, donde la hipotenusa se corresponde a la distancia minima de puntos con igual fase (longitud de onda en la linea de transmisión). Por tanto, para ondas tipo E y H se cumple:

Para ondas tipo TEM, como hay componentes de campo en la dirección axial, el vector de Pointing estará dirigido en la dirección de eje z, coincidiendo la longitud de onda de la línea de transmisión con la longitud de onda de la información.

2 7 velocidad de fase y de grupo
2.7 Velocidad de fase y de grupo

En las líneas de transmisión la velocidad de propagación de la energía es una función de la frecuencia. En particular este fenómeno ocurre en ondas tipo E y H. Este fenómeno es denominado dispersión de ondas, el cual no ocurre en ondas TEM. La velocidad de la fase de la onda se puede calcular como:

Donde β esta dado por:

2 7 velocidad de fase y de grupo1
2.7 Velocidad de fase y de grupo

Sustituyendo en la expresión el valor de Vf, obtendremos:

Nota 1: En ondas tipo E y H, donde wcr es desigual de cero, la velocidad de fase depende de la frecuencia, esto trae como consecuencia que exista en estos tipos de ondas, dispersión de la señal que se transmite.

2 7 velocidad de fase y de grupo2
2.7 Velocidad de fase y de grupo

La distorsión de la señal esta caracterizada por un parámetro denominado factor de distorsión (δ) y se calcula:

Donde: L es la longitud de la línea de transmisión y Δf es el ancho de banda del espectro de la señal.

2 7 velocidad de fase y de grupo3
2.7 Velocidad de fase y de grupo

Nota 2: En la expresión para la velocidad de fase también observamos que en ondas TEM, donde wcr es igual a cero, no ocurre dispersión de ondas.

Nota 3: También se destaca en esa expresión, que para ondas tipo E y H, la velocidad de fase es mayor que la velocidad de la luz, mientras que para las ondas TEM son iguales.

2 7 velocidad de fase y de grupo4
2.7 Velocidad de fase y de grupo

Lo anterior no implica una contradicción con los postulados de la teoría especial de la relatividad. Este resultado implica que la propagación de ondas a determinadas frecuencias en un medio puede ser favorecida ante la propagación de la luz en ese medio en particular. Por otro lado, la velocidad de fase no es la velocidad e propagación de la energía en el medio, sino que se introduce un concepto de paquete de onda, el cual viaja a una velocidad denominada velocidad de grupo. Esta velocidad se expresa como:

2 7 velocidad de fase y de grupo5
2.7 Velocidad de fase y de grupo

De lo anterior podemos encontrar una expresión para la velocidad de grupo en función de la frecuencia dada por:

Nota 1: De esta expresión vemos que para ondas tipo E y H; Vg=f(w)=F(λ) y además que la velocidad de grupo es menor que la velocidad de la luz, lo cual trae como consecuencia que la velocidad de propagación de la energía sea la velocidad de grupo, si y solo si el medio es isótropo y homogéneo.

2 7 velocidad de fase y de grupo6

Vg(λ)

VgTEM

c

Vge,h

λ

2.7 Velocidad de fase y de grupo

Nota 2: Para ondas tipo TEM, la velocidad de grupo es igual a la velocidad de la luz en el vacio.

2 8 impedancia intr nseca transversal en una l nea de transmisi n
2.8 Impedancia intrínseca transversal en una línea de transmisión.

Definición: La impedancia intrínseca de cualquier medio es la relación que existe entre las componentes de los campos eléctrico y magnético que se encuentran en la plano perpendicular a la dirección de propagación de la energía. De aquí podemos concluir que:

  • En el espacio libre la onda que transporta energía es una onda tipo TEM, lo que hace que la impedancia intrínseca venga dada por la relación entre el campo eléctrico y magnético total.
  • En el caso de líneas de transmisión, para modos tipo E y H, los campos eléctricos y magnéticos tienen componentes en la dirección de propagación, por tanto hay que hablar de una impedancia intrínseca transversal.
2 8 impedancia intr nseca transversal
2.8 Impedancia intrínseca transversal…

La impedancia intrínseca estará dada por la siguiente relación:

En onda tipo TEM se calculará como:

2 8 impedancia intr nseca transversal1
2.8 Impedancia intrínseca transversal…

Para campo tipo H tenemos que:

De aquí que la impedancia transversal intrínseca sea:

2 8 impedancia intr nseca transversal2
2.8 Impedancia intrínseca transversal…

Para campo tipo E tenemos que:

De aquí que la impedancia transversal intrínseca sea:

2 8 impedancia intr nseca transversal3
2.8 Impedancia intrínseca transversal…

Teniendo en cuenta que:

Y sabiendo que para ondas progresivas: ɣe,h=jβe,h entonces la derivada de ge,h será:

2 8 impedancia intr nseca transversal4
2.8 Impedancia intrínseca transversal…

Sustituyendo en las expresiones de la impedancia intrínseca obtenemos:

Ahora sustituyendo el valor de βe,h obtenemos:

2 8 impedancia intr nseca transversal5
2.8 Impedancia intrínseca transversal…
  • De estas expresiones vemos lo siguiente:
  • Para las ondas progresivas λ>λcr , por lo que ZT será una magnitud real. Para las ondas directas ZT > 0 y para las ondas reflejadas ZT<0.
  • Para los campos estacionarios λ>λcr , por lo que ZT será una magnitud imaginaria pura. Esto quiere decir que entre E y H existe una defasaje de 90° o de 90°+nπ, donde n=0,1,2,…
  • Tenemos que ZhT >(μ/ε)1/2, ZeT<(μ/ε)1/2,y ZTEM=(μ/ε)1/2.
2 9 potencia en la superficie transversal
2.9 Potencia en la superficie transversal…

Teniendo en cuenta que la energía es transportada en la dirección perpendicular a la superficie transversal y que la densidad de potencia media sobre dicha superficie es dad por el vector de Poyting promedio , entonces es necesario calcular el vector de Poyting promedio en un periodo e integrarlo en la superficie transversal. Para esto definamos:

Donde Z0 es un vector unitario en la dirección de propagación de la energía.

2 9 potencia en la superficie transversal1
2.9 Potencia en la superficie transversal…

Como el vector de Poyting promedio es igual a:

Integrando el vector de Poyting promedio en la superficie tenemos:

2 9 potencia en la superficie transversal2
2.9 Potencia en la superficie transversal…

Como los vectores E y H están en fase en una onda progresiva, tenemos que:

En el caso de ondas estacionarias, el producto de E y H es una magnitud imaginaria pura, y Ps es igual a cero:

2 10 campo en una l nea de transmisi n real
2.10 Campo en una línea de transmisión real.

Hasta el momento hemos analizado solamente las líneas de transmisión ideales donde las conductancias del dieléctrico y del conductor son cero e infinita, respectivamente. Esto permite obtener una estructura de campo que es idéntica a las líneas de transmisión reales; sin embargo, en lo que concierne a la energía no es valido, ya que las líneas reales existen perdidas energéticas por efecto Joule debido a que en el dieléctrico existen corrientes de conducción y el campo penetrará en el otro conductor.

2 10 campo en una l nea de transmisi n real1
2.10 Campo en una línea de transmisión real.

En este caso la permitividad dieléctrica se hace compleja, pues para las ondas TEM, la velocidad de fase y la de grupo van a depender de la frecuencia trayendo consigo el fenómeno de dispersión y por ende el fenómeno de distorsión, también se tiene en este caso que la impedancia intrínseca en la línea de transmisión en condiciones de ondas progresivas sería compleja, lo que quiere decir que en la línea de transmisión existiría un parte de la energía reactiva que no se trasladaría. Por suerte, ambos problemas son despreciables y solo es importante las perdidas energéticas debidas al dieléctrico y al conductor.

2 10 campo en una l nea de transmisi n real2
2.10 Campo en una línea de transmisión real.

Como hemos indicado para líneas de transmisión reales σd≠ 0 y σc≠ ∞. En este caso qtenemos que las condiciones de propagacion la constante de atenuacion α≠0; por tanto el campo se atenuará según la ley exponencial E=E0exp(-αz) y como la potencia es proporcional al cuadrado de la intensidad de campo tendremos que la potencia se atenuará según la ley P=P0exp(-2αz), de donde:

2 10 campo en una l nea de transmisi n real3
2.10 Campo en una línea de transmisión real.

De aquí tenemos que:

En esta expresión P=PsT y dP es la disminución de potencia en la longitud dz de la línea de transmisión; por esto dP=dPperd que es la potencia perdida en la longitud dz de la línea. Por tanto:

2 10 campo en una l nea de transmisi n real4

n0

dl

dz

2.10 Campo en una línea de transmisión real.

De aquí que:

Donde: αes la constante de atenuación debido a las perdidas en el dieléctrico y en el conductor.

Para hallar αc y αdveamos la siguiente figura:

2 10 campo en una l nea de transmisi n real5
2.10 Campo en una línea de transmisión real.

De aquí que:

Como la potencia se pierde en las paredes del conductor, debemos calcular el vector de Poyting promedio que penetra en el conductor para integrarlo en la superficie.

2 10 campo en una l nea de transmisi n real6
2.10 Campo en una línea de transmisión real.

El vector de Poyting promedio está dado en la dirección normal a la superficie ΔSlat y es igual a:

Donde E y H son las componentes tangenciales de los vectores E y H en la superficie del conductor. En este caso E esta determinado por las condiciones de contorno de Leontovich, ya que el conductor ni el dieléctrico son ideales.

2 10 campo en una l nea de transmisi n real7
2.10 Campo en una línea de transmisión real.

De aquí que:

Sabemos además que:

Donde Zs es la impedancia intrínseca de la superficie lateral ΔS

2 10 campo en una l nea de transmisi n real8
2.10 Campo en una línea de transmisión real.

De aquí que:

Y en este caso:

Donde:

2 10 campo en una l nea de transmisi n real9
2.10 Campo en una línea de transmisión real.

Sustituyendo dPcperdtenemos que:

Y como en los limites de dz, Hτ= const, tenemos que:

2 10 campo en una l nea de transmisi n real10
2.10 Campo en una línea de transmisión real.

Sustituyendo en la ecuación de αc tenemos:

De la expresión para la atenuación del conductor podemos ver que: αc aumenta si μ aumenta y σc disminuye. Por esta razón las líneas se hacen de metales no magnetizados que tengan una gran conductividad.

2 10 campo en una l nea de transmisi n real12
2.10 Campo en una línea de transmisión real.

Calculemos ahora αd considerando αc=∞:

De la expresión para la atenuación del conductor podemos ver que: αc aumenta si μ aumenta y σc disminuye. Por esta razón las líneas se hacen de metales no magnetizados que tengan una gran conductividad.