Primarni i dualni oblik problema linearnog programiranja

1. Primarni i dualni oblik problema linearnog programiranja Silvija Vlah EF, Ožujak 2007.

2. Primjer 1. (Proizvodnja) Neko poduzeće proizvodi dvije vrste proizvoda A i B, na dvije grupe strojeva, S1 i S2. Dnevni su kapaciteti i karakteristike strojeva dani u tablici: Sastavite linearni model dnevne proizvodnje koja će osigurati maksimalnu dobit.

3. Primjer 1. (Proizvodnja) Cilj: osigurati maksimalnu dobit uz zadana ograničenja na kapacitete resursa Znači: dobit varira, kapaciteti su fiksni

4. maksimiziraj dobit zadani kapaciteti Primjer 1. (Proizvodnja) Primarni problem (primal)

5. Primjer 1. (Proizvodnja) Umjesto: dobit varira, kapaciteti su fiksni trošak resursa varira, dobit je fiksna Novi cilj: pronaći minimalni trošak resursa potrebnog za zadanu razinu dobiti (trošak resursa ne može biti manji od dobiti)

6. minimiziraj trošak resursa zadana dobit Primjer 1. (Proizvodnja) Varijable odlučivanja: y1 utrošak resursa 1 y2 utrošak resursa 2 h = 16 y1 + 20 y2  min 0.5 y1 + 0.2 y2 ≥ 200 0.4 y1 + 0.2 y2 ≥ 150 y1, y2 ≥ 0 Optimalno rješenje duala: (y1*,y2*)=(400,0), h*=6400. Dualni problem (dual)

7. Primjer 1. (Proizvodnja) Grafička metoda na računalima...

8. Primjer 2. (Investiranje) Marketinški odjel banke A raspolaže s viškom novčanih sredstava od 1 000 000 kn koje želi plasirati na jednu godinu u dugoročne kredite i vrijednosne papire tako da ostvari najveći ukupni profit. Povrat sredstava (kamate umanjene za pripadajuće troškove) od dugoročnih kredita stanovništva iznosi 10%, od dugoročnih kredita tvrtkama 20%, od kredita financijskim institucijama 7%, te od kredita javnom sektoru 5%. Plasman u kratkoročne vrijednosne papire donosi povrat sredstava od 10%, a plasman u dugoročne vrijednosne papire, povrat od 12%.

9. Primjer 2. (Investiranje) Udio pojedinih dugoročnih kredita u ukupnom kreditnom potencijalu je: dugoročni kredit stanovništvu 35%, tvrtkama 45%, financijskim institucijama 15% i javnom sektoru 5%. Plasman u kratkoročne vrijednosne papire čini 80%, a plasman u dugoročne vrijednosne papire 20% ukupnih investicija u vrijednosne papire. Određena se sredstva u obliku vrijednosnih papira moraju držati kao pričuva likvidnosti. Tako se za pokriće ukupnih kreditnih sredstava uzima najmanje 20% te iste vrijednosti u kratkoročnim vrijednosnim papirima, a za pokriće kredita javnom sektoru najmanje 20% te vrijednosti u dugoročnim vrijednosnim papirima. Formulirajte matematički model i odredite onaj program investicija koji daje maksimalni profit.

10. Primjer 2. (Investiranje) Cilj: Maksimizirati ukupni profit

11. Primjer 2. (Investiranje) Udio pojedinih dugoročnih kredita u ukupnom kreditnom potencijalu je: dugoročni kredit stanovništvu 35%  x1 : (x2 + x3 + x4 + x5 + x6) = 0.35 : 0.65 0.65 x1 = 0.35 (x2 + x3 + x4 + x5 + x6) 0.65 x1 = 0.35 x2 + 0.35 x3 + 0.35 x4 + 0.35 x5 + 0.35 x6 0.65 x1 - 0.35 x2 - 0.35 x3 - 0.35 x4 - 0.35 x5 - 0.35 x6 = 0 sličan postupak za udio tvrtkama, financijskim institucijama itd...

12. Primjer 2. (Investiranje) Za pokriće ukupnih kreditnih sredstava uzima se najmanje 20% te iste vrijednosti u kratkoročnim vrijednosnim papirima  x5 ≥ 0.20 (x1 + x2 + x3 + x4) x5 ≥ 0.20 x1 + 0.20 x2 + 0.20 x3 + 0.20 x4 -0.20 x1 - 0.20 x2 - 0.20 x3 - 0.20 x4 +x5 ≥ 0 Za pokriće kredita javnom sektoru najmanje 20% te vrijednosti u dugoročnim vrijednosnim papirima  x4 ≥ 0.20 x6 x4 – 0.20 x6 ≥ 0

13. Primjer 2. (Investiranje)