8.4 QR 方 法

1. 8.4 QR方 法 8.4.1 QR算法 QR方法是一种变换方法，是计算一般矩阵（中小型矩 阵）全部特征值问题的最有效方法之一. QR方法主要用来计算： （1）上海森伯格阵的全部特征值问题， （2）计算对称三对角矩阵的全部特征值问题，且QR方法具有收敛快，算法稳定等特点.

2. 其中 为上三角阵， 为正交阵. 对于一般矩阵 （或对称矩阵），首先用豪斯 霍尔德方法将 化为上海森伯格阵 （或对称三对角阵）， 显然， 是由 经过正交相似变换得到，因此 与 特征 值相同. 然后再用QR方法计算 的全部特征值. 设 ，且对 进行QR分解，即 于是可得到一个新矩阵

3. 再对 进行QR分解，又可得一个新的矩阵，重复这一过 程可得到矩阵序列： 设 将 进行QR分解 求得 后将 进行分解 作矩阵 形成矩阵 QR算法，就是利用矩阵的QR分解，按上述递推法则 构造矩阵序列 的过程.

4. 只要 为非奇异矩阵，则由QR算法就完全确定 . 设 . 构造QR算法： （4.1） 记 则有 （1） 相似于 ，即 （2） （3） 的QR分解式为 定理21 （基本QR方法）

5. 显然，当 时有 ， 设 有分解式 其中利用了 证明 （1）,（2）显然，下面证（3）. 用归纳法， 于是

6. 由第5章定理30或定理31知，将 进行QR分解，即将 用正交变换（左变换）化为上三角矩阵 其中 , 故 这就是说 可由 按下述方法求得： （2） 右变换 （1） 左变换 (上三角阵）；

7. 设 . (1) 如果 的特征值满足： ； (2) 有标准型 其中 ， 且设 有三角分解 ( 为单位下三角阵， 为上三角阵.则由QR算法产生的 本质上收敛于上三角矩阵， 定理22 （QR方法的收敛性） 即

8. （4.2） （4.3） 若记 ，则 当 时 极限不一定存在.

9. 如果对称矩阵 满足定理20的条件，则由QR 算法产生的 收敛于对角阵 . 设 ，且 有完备的特征向量集合，如果 的 等模特征值中只有实重特征值或多重复的共轭特征值，则 由QR算法产生的 本质收敛于分块上三角矩阵（对角 块为一阶和二阶子块）且对角块中每一个2×2子块给出 的 一对共轭复特征值，每一个一阶对角子块给出 的实特征值， 定理23 关于QR算法收敛性的进一步结果有： 即

10. 其中 ， 为2×2子块，它给出 的一对共轭特征 值.

11. 定理22中 的速度依赖于比值 ， 当 很小时，收敛较快. 如果 为 的一个估计，且对 运用QR算法， 则 元素将以收敛因子 线性收敛于零， 元素将比在基本算法中收敛更快. 设 为了加速收敛，选择数列 ，按下述方法构造矩阵 序列 ，称为带原点位移的QR算法. 8.4.2带原点位移的QR方法

12. 求得 后，将 进行QR分解 （4.4） （4.5） 对 进行QR分解 若令 ， 则有 ， 并且矩阵 有QR分解式 形成矩阵 形成矩阵

13. 当 为上海森伯格阵或对称三对角阵时， 可为平面旋转阵， 在带位移QR方法中，每步并不需要形成 和 ，可按 下面的方法计算： 首先用正交变换（左变换）将 化为上三角阵， 即 则

14. 设 为上海森伯格阵，即 如果 ，则称 为不可约上海森伯格阵. 设 ，由定理17可选正交阵 使 对 应用QR算法. 下面考虑用QR方法计算上海森伯格阵的特征值. 为上海森伯格阵，

15. 对于 （4.6） 假设由（4.6）迭代产生的每一个上海森伯格阵 都是不可 约的， 于是，这个问题就分离为 与 两个较小的问题. QR算法： 否则，若在某步有

16. 当 或 时，有 由此可得到 的特征值 ，或由 右下角二阶 阵的特征值求出 . 或

17. 对降阶的 ，用类似的方法可求出 的其余特征值. 实际上，每当 的次对角元适当小时，就可进行分离. 就把 视为零. 一般取 ，其中 是计算中有效数字的位数. 例如，如果

18. 选取 并设 对于 （用位移来加速收敛） 由 实际计算为 8.4.3 用单步QR方法计算上海森伯格阵的特征值 上海森伯格阵的单步QR方法：

19. 其中 为平面旋转阵. 确定平面旋转阵 使 （1）左变换： （2）右变换： （1） 左变换计算

20. 设已完成第1次， 第 次左变换，即有 （4.7） 第 次变换的工作就是要确定平面旋转阵 ， 使 变为0，且完成第 次左变换

21. 这时只需计算（4.7）阵第 行及第 行元素. 这是因为平面旋转阵 只改变矩阵的 行和 行. 在第 次右变换 中，只需计算 第 列及第 列元素. 继续这一过程，最后有 （2） 右变换计算

22. 由上述讨论指出，如果 为上海森伯格阵， 则用QR算法产生的 也是上海森伯格阵. 最后 即上海森伯格阵在QR变换下形式不变.

23. 设：（1） 为不可约上海森伯格阵； （2） 为 一个特征值. 中 下面讨论一个极端的情况 . 定理24 则QR方法 记 证明

24. 从而得到 . 又因为 为奇异矩阵， 因此， 的最后一行为 ， 由设 为不可约阵，则上海森伯格阵 也不可约. 由将上海森伯格阵 约化为上三角阵 的平面旋转 变换的取法可知 这样在QR方法迭代中，参数 可选为 ，即 的 元素, 即 通常可以作为特征值的最好近似.

25. 给定 为上海森伯格阵，本算法计算 且 覆盖 算法3 （上海森伯格阵的QR算法）

27. 如果用不同的位移 ，反复应用算法3就产生正 交相似的上海森伯格阵序列 . 当 充分小时，可将它置为零就得到 的近似特征值 . 再将矩阵降阶，对较小矩阵连续应用算法.

28. 选取 ，则 例9 用QR方法计算对称三对角矩阵 的全部特征值. 解

30. 现在收缩，继续对 的子矩阵 进行变换，得到

31. 算法3是在实数中进行选择位移 , 不能逼近一 个复特征值，所以算法3不能用来计算 的复特征值. 故求得 近似特征值为 而 的特征值是