Clase N° 10 – TPN° 9 - Flexion Compuesta

1. Clase N° 10 – TPN° 9Flexión Compuesta Curso de Estática y Resistencia de Materiales Ing. Gabriel Pujol Para las carreas de Ingeniería Industrial de la Facultad de Ingeniería de la Universidad de Buenos Aires

2. PARTE DERECHA PARTE IZQUIERDA Concepto de ESFUERZO CARACTERÍSTICO Partimos de un cuerpo (chapa) en equilibrio Gd Gi Realizamos una sección (corte) transversal cualquiera Ri d La estructura queda dividida en una parte izquierda y en una parte derecha Ri Rd La Resultante de las fuerzas que quedan en la parte izquierda serán la equilibrante de la parte derecha luego de producido el corte (y viceversa). Ri = - Rd La Resultante izquierda (Ri)aplicada a la parte derecha restaurará el equilibrio de la parte derecha. La cara dónde se aplica la resultante es la cara positiva del corte M Si trasladamos Ri al baricentro de la parte derecha aparecerá un momento M = Ri. d Si proyectamos Ri sobre el plano de la sección y sobre su normal aparecerán dos fuerzas N = Ri. cos a y Q = Ri. sen a Veamos algunos Conceptos Preliminares

3. PARTE DERECHA PARTE IZQUIERDA Concepto de ESFUERZO CARACTERÍSTICO Partimos de un cuerpo (chapa) en equilibrio a Gd Gi N Realizamos una sección (corte) transversal cualquiera Q Ri d La estructura queda dividida en una parte izquierda y en una parte derecha Ri Rd La Resultante de las fuerzas que quedan en la parte izquierda serán la equilibrante de la parte derecha luego de producido el corte (y viceversa). Ri = - Rd La Resultante izquierda (Ri)aplicada a la parte derecha restaurará el equilibrio de la parte derecha. La cara dónde se aplica la resultante es la cara positiva del corte M Si trasladamos Ri al baricentro de la parte derecha aparecerá un momento M = Ri. d Si proyectamos Ri sobre el plano de la sección y sobre su normal aparecerán dos fuerzas N = Ri. cos a y Q = Ri. sen a El Sistema de Fuerzas M; N; Q es equivalente a la ResultanteRi y se denominan esfuerzos característicos. Veamos algunos Conceptos Preliminares

4. PARTE DERECHA PARTE IZQUIERDA Concepto de ESFUERZO CARACTERÍSTICO Partimos de un cuerpo (chapa) en equilibrio a Gd Gi N Realizamos una sección (corte) transversal cualquiera Q La estructura queda dividida en una parte izquierda y en una parte derecha Ri Rd La Resultante de las fuerzas que quedan en la parte izquierda serán la equilibrante de la parte derecha luego de producido el corte (y viceversa). Ri = - Rd La Resultante izquierda (Ri)aplicada a la parte derecha restaurará el equilibrio de la parte derecha. La cara dónde se aplica la resultante es la cara positiva del corte M Si trasladamos Ri al baricentro de la parte derecha aparecerá un momento M = Ri. d Si proyectamos Ri sobre el plano de la sección y sobre su normal aparecerán dos fuerzas N = Ri. cos a y Q = Ri. sen a El Sistema de Fuerzas M; N; Q es equivalente a la ResultanteRi y se denominan esfuerzos característicos. Designamos Flexión Compuesta, a la solicitación para la cual al reducir al baricentro de la sección las fuerzas que actuando a uno y otro lado de la misma, éstas se reducen a una resultante normal al plano pero que no pasa por el baricentro de la sección; o lo que es lo mismo a una resultante baricéntrica normal al plano y su correspondiente momento de traslación. (esto es: Q = 0)

5. Algunas DEFINICIONES Al punto A determinado por la recta de acción de la fuerza P y el plano que contiene a la sección considerada SS lo denominaremos centro de presión Baricentro de la sección G A la línea LFque une al baricentro G de la sección considerada con el punto A la denominaremos línea de fuerzas Cuando la resultante relativa de la parte suprimida es normal al plano de la sección, pero no pasa por el baricentro de la misma, se origina flexión compuesta

6. G A Si P está situada en un plano que pasa por un eje principal de inercia, eje x (a), la barra está sometida a flexión compuesta recta; en caso contrario (c), se presenta la flexión compuesta oblicua.

7. G A En este caso, momento de traslación de la fuerza P al baricentro de la sección valdrá: Veamos el caso de flexión compuesta recta

8. = excentricidad G A La tensión en cualquier punto de la sección será igual a la suma algebraica de la tensión 1debida a la fuerza axil P actuando sobre Gy a la tensión 2debida a la flexión originada por el momento M=P.ex

9. Suponiendo una fuerza P = cte, las tensiones 1también lo serán, pero las tensiones 2variarán en función de la excentricidad ex

10. Suponiendo una 1de compresión (negativa) pueden darse los siguientes casos: 1>2;1<2 y1 =2

11. Si predominara la tensión de flexión 1, el diagrama de tensión total será trapezoidal Si predominara la tensión de flexión 2, el diagrama de tensión total será doblemente triangular … y si 1 = 2 se obtiene un diagrama triangular con vértice en un borde de la sección

12. Obsérvese que: si eXentoncesM= P . eX siMentoncess2= [M . x] / JY  sis2entoncess2>>  sis2>> entonces el eje neutro se acerca al baricentro G Si el eje neutro no corta al diagrama de tensiones normales y todas las tensiones tendrán el mismo signo Si el eje neutro es tangente al diagrama de tensiones y todas las tensiones tendrán el mismo signo Si el eje neutro corta al diagrama de tensiones y las tensiones tendrán distinto signo Nota: En todos los supuestos precedentes el punto N señala el punto de tensión = 0 y que por consiguiente pertenecerá al eje neutro

13. Obsérvese que: si eXentoncesM= P . eX siMentoncess2= [M . x] / JY  sis2entoncess2>>  sis2>> entonces el eje neutro se acerca al baricentro G Analíticamente, su ecuación resulta de hacer: …y como: resulta: de dónde: que es la ecuación del eje neutro, referida al sistema de ejes x-y El signo negativo (-) indica que el eje neutro está situado en la región opuesta (respecto del baricentro) a la del centro de presión (A)

14. En muchos materiales (hormigón, ladrillo, fundición) se impone la necesidad de trabajar con tensiones de compresión, con exclusión de tensiones de tracción. Esta condición exige que: ≤ 0 En consecuencia, una pieza sometida a flexión compuesta recta, trabajará exclusivamente a compresión, si el centro de presión A, dista del baricentro G, una longitud igual o menor que: Llamaremos núcleo centralal área dentro de la cual debe encontrarse el centro de presión para que la sección sea solicitada únicamente por tensiones de igual signo

15. Determinaremos en forma gráfica el núcleo central de una sección rectangular

16. n Definimos el punto K K Consideremos a la línea que pasa por ADcomo eje neutro n-n y determinaremos el centro de presión C1correspondiente n

17. n Trazamos la línea que pasa por Ky por G1 K G1 C1 Calculamos el radio de giro iyy graficamos (en escala de longitudes) el punto G1tal que GG1=iy n Trazamos por G1 la normal a la línea KG1 y defino el punto C1

18. n K G1 C1 Los triángulos rectángulos KG1Gy G1C1Gson semejantes, por lo que se cumple que: n

19. n K G1 C1 El segmento C1G representa la excentricidad e del centro de presión que hace que el eje neutro n-nsea tangente al lado AD n

20. Núcleo Central Procediendo de forma análoga para los lados AB, BCy CD; podemos determinar los puntos C2, C3y C4que definirán el núcleo central

21. Si la carga excéntrica P no incide sobre uno de los ejes principales de inercia, x-x o y-y, de la sección, la flexión compuesta es oblicua Sustituyendo la flexión oblicua por dos flexiones rectas de momentos: La tensión total (s), por el principio de superposición de los efectos, será la suma algebraica de la tensión s1 de compresión P aplicada en G, de la tensións2originada por el momento MX; y de la s3 producida por el momento MY: …o también: Veamos ahora, el caso de flexión compuesta oblicua …dónde:

22. Sea: Los radios de giro por su parte valen: …por lo que la ecuación queda: De ésta se obtiene la ecuación del eje neutro, caracterizado por la condición s = 0: que puede escribirse: Por consiguiente el eje neutro, en la flexión compuesta oblicua, no es paralelo a ninguno de los ejes principales de inercia del perfil Veamos la ecuación del eje neutro

23. Sea: Los radios de giro por su parte valen: …por lo que la ecuación queda: De ésta se obtiene la ecuación del eje neutro, caracterizado por la condición s = 0: que puede escribirse: Por consiguiente el eje neutro, en la flexión compuesta oblicua, no es paralelo a ninguno de los ejes principales de inercia del perfil Veamos la ecuación del eje neutro … y haciendo sucesivamente x = 0 e y = 0 obtenemos los puntos donde el eje neutro corta a los ejes coordenados:

24. Sobre una columna de sección rectangular (35 cm x 40 cm), se aplican dos fuerzas excéntricas: 30 Tnen el punto P (x = 4 cm , y = 3 cm) y 50 Tnen el punto Q (x = -5 cm , y = 0). Se pide: • Dibujar el eje neutro. • Hallar las tensiones en los vértices de la sección y el punto de máxima tensión normal Problema 1 • Trazar el diagrama de tensiones para solicitación axil, las dos flexiones normales y el diagrama de tensiones totalespara flexión compuesta oblicua. Veamos el siguiente ejemplo

25. Trasladando las dos fuerzas al centro de gravedad G de la sección obtenemos: y Y las tensiones serán: x Q . xQ Resolución P . xP P. yP Las características geométricas de la sección, por su parte, son: Veamos el siguiente ejemplo …por lo que las tensiones resultan:

26. …y haciendo sucesivamente x = 0 e y = 0 obtenemos los puntos donde el eje neutro corta a los ejes coordenados: y x Resolución Y las tensiones en los vértices de la sección las obtenemos a través de la expresión: y x El eje neutro será aquel para el cual las tensiones normales (z) se anulan:

27. …y haciendo sucesivamente x = 0 e y = 0 obtenemos los puntos donde el eje neutro corta a los ejes coordenados: y x Resolución Y las tensiones en los vértices de la sección las obtenemos a través de la expresión: y x El eje neutro será aquel para el cual las tensiones normales (z) se anulan: dmax La tensión máxima corresponderá a la fibra más alejada del eje neutro, por lo tanto:

28. y y x Resolución x Tracemos los diagramas de tensiones:

29. y Resolución x Tracemos los diagramas de tensiones:

30. Bibliografía Estabilidad II - E. Fliess Introducción a la estática y resistencia de materiales - C. Raffo Mecánica de materiales - F. Beer y otros Resistencia de materiales - R. Abril / C. Benítez Resistencia de materiales - Luis Delgado Lallemad / José M. Quintana Santana Resistencia de materiales - V. Feodosiev Resistencia de materiales - A. Pytel / F. Singer Resistencia de materiales - S. Timoshenko

31. Muchas Gracias