Grundlæggende teoretisk statistik

1. Grundlæggende teoretisk statistik Kapitel D Stokastiske variable

2. Stokastiske variable • Stokastisk variabel • Knytter en talværdi til ethvert udfald i et tilfældigt eksperiment • Sandsynligheder knyttes til værdierne af den stokastiske variable • Diskrete vs. kontinuerte stokastiske variable • Diskrete kan antage nogle bestemte værdier, f.eks. Antal fødte børn en given dag på en given barselsgang. • Kontinuerte kan antage et uendeligt antal værdier, d.v.s. alle værdier evt. i et givet interval, f.eks. den tid som fødslerne ovenfor varede.

3. Diskrete stokastiske variable • Diskrete stokastiske variable • Sandsynligheder knyttes til værdierne af den stokastiske variable • Punktsandsynligheder • f(x) = P(X = x) • 0 ≤ f(x) ≤ 1 for alle x • Σ f(x) = 1 for alle x • Fordelingsfunktion, F • F(x0) = P( X ≤ x0) = Σ f(x) hvor x ≤ x0

4. Forventning og varians • Begrebsapparat • μ= Gennemsnit på X i populationen • σ2 = Variansen i populationen • σ= Standardafvigelsen i populationen • = gennemsnit. - stikprøven • s2 = Empirisk varians – (stikprøven) • s= Empirisk standardafvigelse – (stikprøven) • Forventet værdi: μx = E(X) = Σ x f(x) • σ2 = VAR (X) = Σ (x – μ)2f(x) Populations-parametre / Statistikker (stikprøven)

5. 55 indkøb – grupperede data Den relative frekvens

6. Forventning og varians • Regneregler for forventning og varians • σ2 = VAR (X) = E(X2) – E2 (X) = E(X2) – μ2 • E(a X) = a E(X) • E(X + a) = E(X) + a • E(X + Y) = E(X) + E(Y) = μx + μy • E(X - Y) = E(X) - E(Y) = μx – μy • VAR (a X) = a2 VAR (X) • VAR (X + a) = VAR (X) • VAR(X±Y) = VAR(X) + VAR(Y) hvis X og Y er uafhængige

7. Forventning – et eksempel • Opgave: • En privat pilot ønsker at forsikre sit fly til en værdi af 2 mio. kr. • Forsikringsselskabet forventer tab med flg. sandsynligheder: • total tab med sandsynlighed 0.002 • 50% tab med sandsynlighed 0.01 • 25% tab med sandsynlighed 0.1 • 1. Hvad er det forventede tab i kroner ? • 2. Hvilken samlet præmie skal betales, • hvis forsikringsselskabet ønsker et forventet profit på 3000 kr ?

8. Samvariation mellem variable • Covarians og korrellation • Populationens covarians: • Stikprøvens covarians: • Hvis X og Y samvarierer positivt er COV(X,Y)>0 • Hvis X og Y samvarierer negativt er COV(X,Y)<0 • Hvis X og Y er uafhængige er COV(X,Y) = 0

9. Covarians - fortolkning • Covariansen mellem X og Y udtrykker, hvilken indflydelse X og Y har på hinanden, altså i hvilken grad de 2 variable samvarierer. • Begge variable skal være målt på mindst intervalskala • Eksempler: Covariansen mellem • X = salg af cykler og Y = cykelpumper er positivt. • X = købte charterrejser i maj og Y = solskinsdage i maj er negativt. • X = Aktiekursen på GN Store Nord og Y = OMXC20-indexet • Covarians er en absolut størrelse, der ikke kan fortolkes – se blot på enheden af covariansen!

10. Covarians - definition • Definition og regneregler

11. Excel: Beregn covarians I vektor 1 og 2 angives x- og y-værdierne

12. Eksempel:Finanstilsynet - covariansmatricer

13. Finansministeriet: Beregning af varians- og covariansmatrix for valutakursændringer Til brug for finansielle virksomheders indberetning af valutaindikator 2 skal virksomhederne beregne et skøn over spredningen på nettopositionernes kroneværdi. Dette skøn baseres på historiske varianser og covarianser mellem ændringen i 8 valutaer. Finanstilsynet beregner varianser og covarianser, hvorefter de via tilsynets hjemmeside stilles til rådighed for de finansielle virksomheder. Kvartalsvis beregnes varianser og covarianser over en 36 måneders periode. Kvartalerne er forskudt i forhold til kalender-kvartalerne, således at første kvartal vedrører december til februar, mens andet kvartal vedrører marts til maj osv. Der beregnes fire sæt varianser og covarianser i løbet af et kalenderår.

14. Eksempel: Nationalbanken

15. Portefølje - styring • Praktisk eksempel • Investering i 4 aktier • Investeringssum på 100.000 US$ • Hvor meget skal investeres i hver aktie – dvs. vægtning? • Regneark: • Invest.xls (mdl. afkast på 4 aktier i 4 år) • Sammensæt porteføjlen så forventet afkast og risiko (std.afvigelse) afbalanceres.

16. Portefølje-styring • Vægtning 25% til hver aktie giver • Forventet afkast 2,69% pr. md. • Std.afvigelse på afkastet på 4,03% • Vægtning 10%, 40%, 30% og 20% giver • Forventet afkast 2,29% pr. md. • Std.afvigelse på afkastet på 4,23% • Vægtning 70% samt 3 x 10% giver • Forventet afkast 3,78% pr. md. • Std.afvigelse på afkastet på 7,05% • Vægtning 30%, 15%, 20% og 35% giver • Forventet afkast 2,85% pr. md. • Std.afvigelse på afkastet på 4,13%

17. Korrellation • Måleskala: Mindst interval for begge variable • Korrellationskoefficienten (græske bogstav rho): • Korrellationskoefficienten er den standardiserede covarians, og derfor uden enhedsangivelse • Korrellationskoefficienten måler styrken og retningen af den lineære samvariation mellem X og Y

18. Korrellation ρxy= +1 ρxy= -1 ρxy= 0 ρxy= 0

19. Excel: Korrellationskoefficient I vektor 1 og 2 angives x- og y-værdierne

20. Opgaver • Opgavesamling i Statistik 2009 fra Statistica: • Opgave 18 (+ evt. 21) • Kovarians og korrellation : • Opgave 67_data.xls • Lav X-Y diagram i Excel • Beregn Kovarians og Korrellationskoefficient