Sinais e Sistemas – Capítulo 4

1. Sinais e Sistemas – Capítulo 4 Simon Haykin Aula 16

2. Representações com Transformada de Fourier para Sinais Periódicos • Seja x(t) um sinal periódico. Então sua representação por FS é • Observe agora que a FT de um impulso deslocado em frequência, δ(ω-kωo), é uma senóide complexa com frequência kωo,, isto é • Combinando as duas expressões, temos Aula 16

3. Representações com Transformada de Fourier para Sinais Periódicos • Consequentemente, a FT de um sinal periódico é uma série de impulsos espaçados pela frequência fundamental ωo. • O k-ésimo impulso tem força 2πX[k], em que X[k] é o k-ésimo coeficiente da FS. Aula 16

4. Representações com Transformada de Fourier para Sinais Periódicos • Exemplo: Encontre a representação por FT para x(t)=cos(ω0t) Solução: A representação por FS para x(t) é Considerando que então Aula 16

5. Representações com Transformada de Fourier para Sinais Periódicos Aula 16

6. Representações com Transformada de Fourier para Sinais Periódicos • Seja x[n] um sinal periódico com período N. Então sua representação por DTFS é • Observe que a DTFT inversa de um impulso deslocado em frequência é uma senóide complexa de tempo discreto. • A DTFT é uma função da frequência com período 2π, de modo que podemos expressar um impulso deslocado em frequência das seguintes formas: Aula 16

7. Representações com Transformada de Fourier para Sinais Periódicos • Expressando um período Usando uma série finita de impulso deslocados e separados entre si por um intervalo de 2π, de modo a obter a função com período 2π Aula 16

8. Representações com Transformada de Fourier para Sinais Periódicos • A DTFT inversa de é obtida usando a propriedade de peneiramento do impulso, isto é • Usando a linearidade e substituindo a última expressão em então Aula 16

9. Representações com Transformada de Fourier para Sinais Periódicos • Uma vez que X[k] tem período N e NΩ0=2π, podemos reescrever a DTFT de x[n] como Aula 16

10. Representações com Transformada de Fourier para Sinais Periódicos • Exemplo: Determine a DTFT inversa da representação mostrada na figura a seguir Solução: um período de X(ejΩ) pode ser expressado como Aula 16

11. Representações com Transformada de Fourier para Sinais Periódicos A DTFT inversa de cada impulso deslocado em frequência resulta em Aula 16

12. Convolução e Modulação com Classes Combinadas de Sinais • É comum haver combinações de sinais periódicos e não periódicos em problemas de convolução e modulação. • Exemplo: aplique um sinal periódico x(t) ou x[n] a um filtro estável. A saída será a convolução do sinal de entrada periódico com a resposta ao impulso do filtro não periódica. • Em casos assim, usaremos como ferramentas de análise a FT e a DTFT. Aula 16

13. Convolução e Modulação com Classes Combinadas de Sinais • Considere a convolução entre os sinais x(t) e h(t), isto é • Digamos que x(t) seja um sinal periódico. Logo, sua FT é dada por em que X[k] são os coeficientes da FS de x(t). Aula 16

14. Convolução e Modulação com Classes Combinadas de Sinais • Substituindo X(jω) na expressão de convolução, temos Aula 16

15. Convolução e Modulação com Classes Combinadas de Sinais • A força do k-ésimo impulso é ajustado pelo valor H(jω). • Y(jω) corresponde a um sinal periódico. Consequentemente y(t) também é periódico, com o mesmo período de x(t). Aula 16

16. Convolução e Modulação com Classes Combinadas de Sinais • Considere a convolução entre os sinais x[n] e h[n], isto é • Digamos que x[n] seja um sinal periódico. Logo, sua DTFT é dada por em que X[k] são os coeficientes da DTFS de x[n]. Aula 16

17. Convolução e Modulação com Classes Combinadas de Sinais • Substituindo X(ejΩ) na expressão de convolução, temos • A forma de Y(ejΩ) indica que y[n] também é periódico, com o mesmo período de x[n]. Aula 16

18. Convolução e Modulação com Classes Combinadas de Sinais • Propriedade da Modulação: Seja x(t) e z(t) sinais não periódicos. Desejamos expressar a FT de y(t)=x(t)z(t). Logo, representando x(t) e z(t) em termos de suas respectivas FTs, temos Logo Aula 16

19. Convolução e Modulação com Classes Combinadas de Sinais • Fazendo η=ω-υ, temos • A integral interna em υ representa a convolução de X(jω) e Z(jω). • A integral externa em ω está na forma da representação de Fourier para y(t). • Daí, em que Aula 16

20. Convolução e Modulação com Classes Combinadas de Sinais • De forma similar, encontramos que em que Aula 16

21. Convolução e Modulação com Classes Combinadas de Sinais • Podemos utilizar a propriedade da modulação mesmo que um dos sinais seja periódico. • Seja a modulação de dois sinais, x(t) e g(t), com x(t) periódico e g(t) não periódico Aula 16

22. Convolução e Modulação com Classes Combinadas de Sinais • A propriedade de peneiramento da função impulso implica que a convolução de qualquer função com um impulso deslocado resulta numa versão deslocada da função original, de forma que Aula 16

23. Convolução e Modulação com Classes Combinadas de Sinais • Seja agora a modulação de dois sinais, x[n] e g[n], com x[n] periódico e g[n] não periódico sendo onde X[k] são os coeficientes da DTFS de x[n]. • Substituindo a última equação na definição de convolução, temos Aula 16

24. Convolução e Modulação com Classes Combinadas de Sinais • Aplicando a propriedade de peneiramento, temos • Logo, a modulação de g[n] com a sequência periódica x[n] resulta numa DTFT que consiste numa soma ponderada de versões deslocadas de G(ejΩ). • Observe que y[n] é não periódico e consequentemente Y(ejΩ) também é não periódico. Aula 16

25. Convolução e Modulação com Classes Combinadas de Sinais • Exemplo: Considere o sinal Use a propriedade de modulação para avaliar o efeito de computar a DTFT usando apenas os 2M+1 valores de x[n], isto é |n|≤M. Solução: Queremos avaliar y[n]=x[n]w[n], onde Aula 16

26. Convolução e Modulação com Classes Combinadas de Sinais A DTFT de é onde de modo que Aula 16

27. Convolução e Modulação com Classes Combinadas de Sinais Considere a propriedade de modulação, isto é onde de modo que Aula 16