1 / 36

FITRI UTAMININGRUM, ST, MT

FITRI UTAMININGRUM, ST, MT. GRAF. Graf digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut.

fletcher-kent
Download Presentation

FITRI UTAMININGRUM, ST, MT

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. FITRI UTAMININGRUM, ST, MT

  2. GRAF • Graf digunakanuntukmerepresentasikanobjek-objekdiskritdanhubunganantaraobjek-objektersebut.

  3. Teorigrafditulispertamakalipadatahun 1736 olehseorangmatematikawan Swiss yang bernama Leonard Euler. Yang digunakanuntukmenyelesaikanmasalahjembatanKönigsberg (sekarang, bernama Kaliningrad). Berikutadalahilustrasimasalahtersebut :

  4. Definisi Graf • Graf merupakanstrukturdiskrit yang terdiri • simpul (vertices, vertex) dan • himpunansisi (edges) • Notasi sebuah graf adalah G = (V, E), dimana : • V merupakanhimpunantakkosongdarisimpul-simpul (vertices), misalkan V = { v1, v2, ... , vn} • E merupakanhimpunansisi – sisi (edges) yang menghubungkansepasangsimpul, misalkan E = {e1, e2, ... , en} • Jikagraftersebutmempunyaihimpunansisi yang merupakanhimpunankosong, dinamakan null graph atau empty graph.

  5. CONTOH JembatanKönigsberg • Misalkan graf tersebut adalah G(V, E) dengan • V = { A, B, C, D } • E = { (A, C), (A, C), (A, B), (A, B), (B, D), (A, D), (C, D)} = { e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7}

  6. LATIHAN Gambarkan Graf G(V,E) dengan : • V terdiridari 4 simpul, yaitusimpul A, B, C dan D • E terdiridari 6 sisi, yaitu e1 = (A, C) ; e2 = (A, A) e3 = (A, D) ; e4 = (C, D) ; e5 = (B, C) ; e6 = (B, C)

  7. Terminologi Graf Berikutiniadalahbeberapaterminoogi yang penting, yaitu : • Bertetangga (Adjacent) Duabuahsimpuldikatakanbertetanggajikakeduasimpultersebutterhubunglangsungolehsuatusisi. Padagrafdiatas : simpul P bertetanggadengansimpul Q dan S, tetapisimpulP tidakbertetanggadengansimpul R.

  8. Bersisian (Incidency) Suatusisie dikatakanbersisiandengansimpulv1 dansimpulv2 jikae menghubungkankeduasimpultersebut, dengankata lain e = (v1, v2). Contoh : PerhatikangrafdarimasalahjembatanKönigsbergberikutini : makae1 bersisiandengansimpulA dansimpulC , tetapisisitersebuttidakberisiandengansimpulB.

  9. 3. Simpul Terpencil (Isolated Vertex) Jika suatu simpul tidak mempunyai sisi yang bersisian dengannya maka simpul tersebut dinamakan simpul terpencil Contoh : Perhatikan graf berikut : Simpul T dan simpul U merupakan simpul terpencil.

  10. 4. Derajat (Degree) Derajat suatu simpul merupakan jumlah sisi yang bersisian dengan simpul tersebut. Misalkan, suatu simpul v mempunyai 3 buah sisi yang bersisian dengannya maka dapat dikatakan simpul tersebut berderajat 3, atau dinotasikan oleh d(v) = 3. Contoh • Pada graf diatas : • d(P) = d(Q) = d (S)= 5, sedangkan d(R) = 3. • Derajat sebuah simpul pada suatu graf berarah dijelaskan sebagai berikut : • • din(v) merupakan jumlah busur yang masuk ke simpul v • • dout(v) merupakan jumlah busur yang keluar dari simpul v • Dengan demikian derajat pada simpul tersebut, diperoleh : d(v) = din(v) + dout(v)

  11. 5. Lintasan (Path) • Lintasandarisuatusimpulawalv0kesimpultujuanvTdidalamsuatugrafG merupakanbarisansebuahsisiataulebih (x0, x1), (x1, x2), (x2, x3), …, (xn-1, xn) pada G, dimanax0= v0 danxn= vT. Lintasaninidinotasikanoleh : x0, x1, x2, x3, …, xn • Lintasaninimempunyaipanjangn, karenalintasaninimemuat n buahsisi, yang dilewatidarisuatusimpulawalv0kesimpultujuanvTdidalamsuatugrafG. Suatulintasan yang berawaldanberakhirpadasimpul yang samadinamakanSiklus (Cycle) atauSirkuit (Circuit).

  12. contoh Perhatikan Graf Berikut: • Padagraftersebutlintasan P, Q, R memilikipanjang 2. Sementaraitulintasan P, Q, S, R memilikipanjang 3. • Lintasan P, Q, R, S, P dinamakansiklusatausirkuitdenganpanjang 4. • Antarasimpul P dan U maupun T tidakdapatditemukanlintasan.

  13. 6. Cut-Se t Cut-set darisuatugrafterhubungG adalahhimpunansisi yang jikadibuangdariG menyebabkanG tidakterhubung. Jadi, cut-set selalumenghasilkanduabuahsubgraf . Padagrafdibawah, {(1,4), (1,5), (2, 3), (2,4)} adalahcut-set. Terdapatbanyakcut-set padasebuahgrafterhubung. Himpunan {(1,5), (4,5)} jugacut-set, tetapi {(1,4), (1,5), (4,5)} bukancut-set.

  14. BEBERAPA JENIS GRAF • Graf tak berarah • Graf berarah

  15. Beberapa jenis graf tak berarah adalah • Graf sederhana (simple graph ) Graf sederhanamerupakangraftakberarah yang tidakmengandunggelangmaupunsisi-ganda

  16. Graf Ganda (multigraph). Graf ganda merupakan graf tak berarah yang tidak mengandung gelang (loop).

  17. Graf semu(Pseudo graph) Graf semumerupakangraf yang mengandunggelang (loop).

  18. Beberapa jenis graf berarah • Graf berarah(directed graph ataudigraph). Graf berarahmerupakangraf yang setiapsisinyamempunyaiarahdantidakmempunyaiduasisi yang berlawananantaraduabuahsimpul (takmempunyaisisiganda)

  19. Graf ganda berarah (directed multigraph). Graf ganda berarah merupakan graf berarah yang membolehkan adanya sisi ganda pada graf tersebut (boleh mempunyai dua sisi yang berlawanan antara dua buah simpul).

  20. Dari jenis-jenis graf yang telah dijelaskan di atas, kita dapat membuat ringkasan (sebagai bahan perbandingan), sebagai berikut :

  21. Macam Graf Khusus • Graf Teratur • Graf Lingkaran

  22. GRAF TERATUR

  23. GRAF LINGKARAN

  24. MatriksKetetanggaan (adjacency matrix) danMatriksBersisian (incidency matrix) dariSuatu Graf Padapembahasansebelumnya, kitatelahmemperkenalkanbahwaduabuahsimpuldikatakanbertetanggajikakeduasimpultersebutterhubunglangsungolehsuatusisi. Matriksketetanggaanuntukgrafsederhanamerupakanmatriksbujursangkar yang unsur-unsurnyahanyaterdiridariduabilanganyaitu 0 (nol) dan 1 (satu). Barisdankolompadamatriksini, masing-masingmerupakanrepresentasidarisetiapsimpulpadagraftersebut. Misalkanaijmerupakanunsurpadamatrikstersebut, maka : • Jikaaij= 1 makahaliniberartisimpulidansimpulj bertetangga. • Jikaaij= 0 makahaliniberartisimpulidansimpulj tidakbertetangga.

  25. Contoh • Perhatikan graf sederhana berikut ini : BagaimanaMatriksketetanggaandarigrafdiatas?

  26. JAWAB

  27. Lintasan dan Sirkuit Euler Lintasan Euler dalamsuatugrafmerupakanlintasan yang melaluimasing-masingsisididalamgraftersebuttepatsatu kali. Jikalintasantersebutkembalikesimpulawal, sehinggamembentuklintasantertutup (sirkuit) makalintasaninidinamakansirkuit Euler. Dengandemikian, sirkuit Euler merupakansirkuit yang melewatimasing-masingsisitepatsatu kali. Graf yang memuatsirkuit Euler dinamakangraf Euler (Eulerian graph), sedangkangraf yang memuatlintasan Euler dinamakangraf semi Euler (semi-Eulerian graph).

  28. Contoh • Perhatikangrafberikutini : Graf G1 merupakangraf Euler. karenamemilikilintasan yang membentuklintasantertutup (sirkuit), yaitu : pr –rt–ts– sq – qt –tp

  29. Beberapasifattentanglintasandansirkuit Euler : • Suatugraf G merupakangraf Euler (memilikisirkuit Euler) jikadanhanyajikasetiapsimpulpadagraftersebutberderajatgenap. • Graf terhubung G merupakangraf semi Euler (memilikilintasan Euler) jikadanhanyajikadidalamgraftersebutterdapattepatduasimpulberderajatganjil. • Suatugrafterhubungberarah G merupakangraf Euler (memilikisirkuit Euler) jikadanhanyajikasetiapsimpulpadagraftersebutmemilikiderajatmasukdanderajatkeluar yang sama. • Suatugrafterhubungberarah G merupakangraf semi Euler (memilikilintasan Euler) jikadanhanyajika G terhubungsetiapsimpulpadagraftersebutmemilikiderajatmasukdanderajatkeluar yang sama, kecualiduasimpulyaitusimpulpetama (simpulawallintasan) memilikiderajatkeluarsatulebihbesardaripadaderajatmasukdansimpul yang kedua (simpulakhirlintasan) memilikiderajatmasuksatulebihbesardaripadaderajatkeluar.

  30. Lintasan dan Sirkuit Hamilton Sir Wiliam Hamilton padatahun 1859 membuatpermainan dodecahedron yang ditawarkanpadapabrikmainandi Dublin. Permainantersebutterdiridari 12 buah pentagonal danada 20 titiksudut (setiapsudutdiberinamaibukotasetiapnegara) . Permainaninimembentukperjalanankelilingdunia yang mengunjungisetiapibukota Negara tepatsatu kali dankembalilagikekotaasal. Initak lain adalahmencarisirkuit Hamilton. Masalahtersebutdapatdiilustrasikandalamgambarberikutini : Pada ilustrasi diatas, sirkuit hamilton adalah lintasan yang dicetak tebal.

  31. Lintasan Hamilton suatugrafmerupakanlintasan yang melaluisetiapsimpuldalamgraftersebuttepatsatu kali. Jikalintasantersebutkembalikesimpulawal, sehinggamembentuklintasantertutup (sirkuit) makalintasaninidinamakansirkuit Hamilton. • Dengandemikian, sirkuit Hamilton merupakansirkuit yang melewatimasing-masingsisitepatsatu kali. Graf yang memuatsirkuit Hamilton dinamakangraf Hamilton (Hamiltonian graph), sedangkangraf yang memuatlintasan Hamilton dinamakangraf semi Hamilton (semi- Hamiltonian graph).

  32. Graf Isomorfik Perhatikan dua graf berikut ini : Graf diatas, terdiri dari empat buah simpul dimana setiap simpul adalah berderajat tiga.

  33. Definisi : • Graf tersebutdikatakanisomorfikjikaterdapatkorespondensisatu-satuantarasimpul-simpulpadakeduagraftersebutdanantarasisi-sisikeduanyasehinggajikasisie bersisiandengansimpulu danv • Suatugrafdapatdigambarkandenganberbagaicara. • Duabuahgrafdikatakanisomorfikjikamemenuhiketigasyaratberikut (Deo, 1989): 1. Mempunyaijumlahsimpul yang sama. 2. Mempunyaijumlahsisi yang sama 3. Mempunyaijumlahsimpul yang samaberderajattertentu

  34. Jawab • Di siniruas e2 keduatitikujungnyaadalahsimpul yang sama, yaitusimpul A, disebutGelungatau Self-Loop. Sedangkanruas e5 dan e6 mempunyaititikujung yang sama, yaitusimpul B dan C, disebutSisiBergandaatauSisiSejajar

More Related