slide1 n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Sterowanie – metody alokacji biegunów II PowerPoint Presentation
Download Presentation
Sterowanie – metody alokacji biegunów II

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 36

Sterowanie – metody alokacji biegunów II - PowerPoint PPT Presentation


  • 221 Views
  • Uploaded on

Sterowanie – metody alokacji biegunów II. Rozważamy systemy (MIMO). System ciągły. System dyskretny. Przy czym:. wymiar. wymiar. wymiar. wymiar. wymiar. wymiar. rząd ;. rząd. oraz. Rozwiązanie. Obiekt. Przypadek ciągły:.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Sterowanie – metody alokacji biegunów II' - finola


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
slide1

Sterowanie – metody alokacji biegunów II

Rozważamy systemy (MIMO)

System ciągły

System dyskretny

Przy czym:

wymiar

wymiar

wymiar

wymiar

wymiar

wymiar

rząd ;

rząd

oraz

slide2

Rozwiązanie

Obiekt

Przypadek ciągły:

Macierz kompensacji wzmocnień statycznych (macierz sprzężenia w przód)

Sterownik (prawo sterowania)

slide3

Równania opisujące system zamknięty:

Stąd:

Równanie stanu systemu zamkniętego

i macierz systemu zamkniętego

CL – close loop

oraz macierz wejścia

Na system działają dwie wielkości zewnętrzne

- stan początkowy

- sygnał wartości zadanej

slide4

Rozważamy systemy liniowe – zasada superpozycji upoważnia do rozdzielnego rozważania

Przypadek ciągły – działanie regulacyjne

Działanie regulacyjne ma na celu przeprowadzenie wektora stanu systemu ze stanu

początkowego do stanu operacyjnego (końcowego) przy zadanych warunkach

Będzie to wynikać z odpowiedniego doboru macierzy

tego przejścia i/lub osłabieniu wpływu zakłóceń tak, aby osiągnąć stan ustalony

Dla obliczenia macierzy przyjmujemy (zgodnie z zasadą superpozycji)

Równanie

Redukuje się do postaci

Wymaganie minimalne – stabilność: wszystkie wartości własne macierzy

w lewej półpłaszczyźnie - zapewnienie odwracalności i osiągnięcie stanu równowagi

slide5

Przypadek ciągły – działanie śledzące

Działanie śledzące ma na celu uzyskanie w stanie ustalonym ( ) spełnienie

warunku

Równanie stanu systemu zamkniętego sprowadza się do

stąd

Równanie wyjścia systemu zamkniętego przyjmuje postać

stąd

slide6

Przypadek p = q (wymiar p wektora sterowań u = wymiar q wektora wyjścia y)

Macierz kwadratowa i jeżeli odwracalna

Uwaga 1: macierz wzmocnień jest równa odwrotności wzmocnienia statycznego systemu zamkniętego (liczonego od uM do y)

Równania opisujące ten system zamknięty:

Stąd:

Równanie stanu tego systemu zamkniętego

i macierz tego systemu zamkniętego

oraz macierz wejścia

slide7

Macierz transmitancji systemu opisywanego równaniem stanu

określona jest

,

U nas

,

stąd

Wzmocnienie statyczne

slide8

Macierz kompensacji wzmocnienia statycznego

jest idealna tylko,

Uwaga 2:

jeżeli parametry systemu, których zależy, są dokładnie znane i nie zmieniają się

w czasie. Kompensacja niespełnienia tych dwóch wymagań – dodanie członu całkującego w pętli sterowania (później !!!)

Przypadek p  q (wymiar p wektora sterowań u wymiar q wektora wyjścia y)

Najczęściej: p < q

Macierz nie może być określona poprzez obliczenie macierzy odwrotnej

Wymaganie jednostkowości wzmocnienia określonego zależnością

można zastosować jedynie do dostępnych sterowań i odpowiadających wyjść i wartości zadanych

Gdy: p > q

Można przeciwnie odrzucić stosowanie wymagania jednostkowości dla p – q dostępnych sterowań

slide9

Rozwiązanie

Przypadek dyskretny:

Obiekt

Opóźnienie

Macierz kompensacji wzmocnień statycznych (macierz sprzężenia w przód)

Sterownik (prawo sterowania)

slide10

Równania opisujące system zamknięty:

Stąd:

Równanie stanu systemu zamkniętego

i macierz systemu zamkniętego

CL – close loop

oraz macierz wejścia

slide11

Przypadek dyskretny – działanie regulacyjne

Podobnie jak w przypadku ciągłym, przyjmujemy

Problem sterowania sprowadza się do określenia sekwencji wartości

otrzymywanych dla z zależności , która przeprowadzi system ze

stanu początkowego w stan końcowy

slide12

Przypadek dyskretny – działanie śledzące

Działanie śledzące ma na celu uzyskanie w stanie ustalonym ( ) spełnienia

warunku

Równanie stanu systemu zamkniętego sprowadza się do

stąd

Równanie wyjścia systemu zamkniętego przyjmuje postać

stąd

slide13

jeżeli p = q:

Podobnie: macierz wzmocnień jest równa odwrotności wzmocnienia statycznego systemu zamkniętego (liczonego od uM do y)

Wzmocnienie statyczne

slide14

Metody projektowania macierzy sterowania (sprzężenia zwrotnego) L

Dwie grupy metod:

 Metody alokowania biegunów (metody rozmieszczania biegunów)

Dane jest a priori rozmieszczenie biegunów systemu zamkniętego (na płaszczyźnie s lub z) i macierz L jest wyznaczana tak, aby system zamknięty posiadał rzeczywiście takie bieguny

 Metody specyficzne dla systemów MIMO

slide15

Metoda alokacji biegunów

Podstawy metody

Metoda związana z działaniem regulacyjnym (związane z warunkiem początkowym ,

przy przyjęciu

Nie bierze się pod uwagę równania wyjścia , gdyż brane jest ono pod uwagę przy

projektowaniu macierz kompensacji wzmocnień

lub

lub

lub

Schemat sterowania systemu ze sterowaniem od stanu

slide16

Projektowanie metodą alokacji biegunów polega znalezieniu stałej macierzy sprzężenia zwrotnego (od stanu) takiej, że wartości własne systemu zamkniętego

zarówno systemu ciągłego jak i dyskretnego, znajdują się w danych położeniach na płaszczyźnie s lub z

Warunki istnienia macierzy

Wszystkie wartości własne systemu mogą być przemieszczone do nowych dowolnych położeń wtedy i tylko wtedy, gdy system jest całkowicie sterowalny

Sterowalność, warunki sterowalności, dekompozycja kanoniczna sterowalności

- poprzednie wykłady

System niesterowalny (niecałkowicie sterowalny)

Przez przekształcenie podobieństwa

znajdujemy postać dekompozycyjną kanoniczną sterowalności systemu

slide17

Dekompozycyjna postać kanoniczna sterowalności

System ciągły

System dyskretny

gdzie

- sterowalne zmienne stanu nowego wektora stanu

- niesterowalne zmienne stanu nowego wektora stanu

Sterowanie sprzężeniem od stanu

System ciągły

System dyskretny

slide18

daje system zamknięty o równaniu stanu

System ciągły

System dyskretny

Blokowo – diagonalna macierz systemu zamkniętego ma wartości będące połączeniem wartości własnych macierzy

System dyskretny

System ciągły

Wybór wartości własnych systemu zamkniętego nie jest w tym przypadku arbitralny, ponieważ musi on zawierać wartości własne (system ciągły) lub (system

dyskretny)

slide19

Ogólna procedura wyznaczania macierzy L

Przy warunku równanie stanu systemu zamkniętego

Wartości własne macierzy systemu zamkniętego , które

zostały wybrane, są zerami wielomianu charakterystycznego systemu zamkniętego

gdzie, oznacza, że współczynnik wielomianu zależy od elementów nieznanej

macierzy

Arbitralny wybór wartości własnych jest równoważny arbitralnemu

wyborowi współczynników wielomianu, ponieważ

slide20

Przyrównując do siebie współczynniki powyższych wielomianów, otrzymujemy układ równań

()

t.j. układ n równań (określone ) o p x n niewiadomych (wymiar macierzy L)

Konsekwencje:

 p = 1, system jednowymiarowy, układ określony, istnieje jednoznaczne rozwiązanie

 p > 1, system wielowymiarowy, układ niedookreślony, nie istnieje jednoznaczne rozwiązanie

slide21

Systemy jednowymiarowe

Dla p = 1 macierz redukuje się do wiersza

Prawo sterowania, staje się skalarem

Dla systemów niskiego rzędu (do 4 – tego) lub gdy macierz systemu zamkniętego jest rzadka (mało elementów niezerowych) układ równań () można rozwiązywać bezpośrednio dla otrzymania

System dany w postaci kanonicznej sterowalności

Jeżeli system dany w postaci kanonicznej sterowalności (patrz poprzednie wykłady) – macierz systemu zamkniętego

CCF – Controllability Canonical Form

slide23

Macierz ma nadal strukturę kanoniczną sterowalności – współczynniki wielomianu charakterystycznego otrzymujemy bez obliczeń

Współczynniki wielomianu charakterystycznego = elementy ostatniego wiersza macierzy systemu zamkniętego w postaci kanonicznej sterowalności ze znakiem przeciwnym

Twierdzenie 1: Załóżmy, że system sterowania ciągłego, jednowymiarowego jest dany w postaci kanonicznej sterowalności z wielomianem charakterystycznym

i że dla systemu zamkniętego wielomian charakterystyczny

jest postulowany. Wówczas macierz dająca taki wielomian dana jest

slide24

System dany w dowolnej postaci – wzór Ackermann’a

Jeżeli system jest sterowalny, to zawsze można go przekształcić do postaci kanonicznej sterowalności stosując przekształcenie podobieństwa

gdzie jest wektorem stanu odpowiadającym postaci kanonicznej oraz macierz odwrotna

przekształcenia jest dana wzorem

gdzie wiersz jest ostatnim wierszem odwrotnej macierzy sterowalności

Dla postaci kanonicznej sterowalności prawo sterowania ma postać

co daje

slide25

Macierz dająca postulowany wielomian charakterystyczny

Dalej wykorzystywane jest twierdzenie Cayley’a-Hamiltona

Twierdzenie Cayley’a-Hamiltona: Każda macierz kwadratowa wymiaru

spełnia swoje równanie charakterystyczne. Innymi słowy, jeżeli równanie

charakterystyczne macierzy jest

wówczas zachodzi też

slide26

Macierz podobne mają takie same wartości własne, w przypadku rozważanym są to

macierze oraz

Macierz te mają zatem też jednakowe wielomiany charakterystyczne

Zgodnie z twierdzeniem Cayley’a-Hamiltona macierz musi zatem spełniać równanie

równanie macierzy

Równanie charakterystyczne macierzy

daje

mnożąc lewostronnie przez

Podstawiając ten wynik do

dostajemy twierdzenie Ackermann’a

slide27

Twierdzenie 2: Jeżeli system jest sterowalny i postulowany jest wielomian

charakterystyczny systemu zamkniętego postaci

to macierz sterowania należy wybrać jako

gdzie jest ostatnim wierszem odwrotnej macierzy sterowalności a zatem

jest określony

slide28

Przykład 1:

System jednowymiarowy

Zaprojektować sterowanie ze sprzężeniem zwrotnym od stanu, tzn. wyznaczyć

, które są elementami macierzy sterowań

Bieguny (wartości własne) systemu zamkniętego powinny być ulokowane w punktach

slide29

Opis w przestrzeni stanu

Wielomian charakterystyczny systemu zamkniętego

Najpierw

Macierz systemu zamkniętego

slide30

Stąd wielomian charakterystyczny systemu zamkniętego

Pożądany wielomian charakterystyczny systemu zamkniętego

Stąd układ równań

Rozwiązanie

slide33

Dodatek 1

System jednowymiarowy ciągły

Postać kanoniczna sterowalności

Macierz sterowalności (dla dowolnej postaci)

slide35

Przekształcenie do postaci kanonicznej sterowalności

Twierdzenie D1: Jeżeli system jest sterowalny, wówczas jest możliwe za pomocą przekształcenia przedstawić go w postaci kanonicznej sterowalności

gdzie,

i gdzie macierz odwrotna przekształcenia,

slide36

Przy czym wiersz jest ostatnim wierszem odwrotnej macierzy sterowalności

i może zatem być obliczony z następującego układu równań

to znaczy, że zachodzi również