SUPUESTO 1

1. Modelo clásico de regresión lineal: fundamentos del método de mínimos cuadrados.- Si quisiéramos saber cuan cerca están β1 y β2 de las contrapartes en la población, o cuan cerca esta ŷᵢ de la verdadera E (Y\Xᵢ). Para esto no solo se debe especificar la forma funcional del modelo, si no también hace ciertos supuestos sobre la forma como genera Yᵢ. Para ver porque es necesario este requisito, observemos la FRP: Yᵢ = β1 + β2Xᵢ + ûᵢEl modelo de Gauss, modelo clásico o estándar de regresión lineal (MCRL), es el cimiento de la mayor parte de la teoría econométrica y plantea siete supuesto. SUPUESTO 1 Modelo de regresión lineal: El modelo de regresión es lineal en los parámetros, aunque puede o no ser lineal en las variables. Es decir, el modelo de regresión como se muestra en la ecuación Yᵢ = β1 + β2Xᵢ + ûᵢ Como analizaremos mas adelante, este modelo puede extenderse para incluir más variables explicativas. Recuerde que la regresada Y y la represora X pueden no ser lineales, como vimos en el capitulo anterior.

2. SUPUESTO 2. Valores ojo de X, o valores de X independientes del término de error: Los valores que toma la regresora X pueden considerarse fijos en nuestras repetidas (el caso de la regresora fija), o haber sido muestreados junto con la variable dependiente y (el caso de la regresora estocástica). En el segundo caso se supone que la(s) variable(s) X y el termino de error son independientes, esto es, cov(xᵢuᵢ) =0. ¿Por qué suponemos los valores de X es no estocástico? suponemos que la variable (s) X es no estocástica por las siguientes razones: Primera, al principio, esto sirve para simplificar el análisis e introducir poco al estudiante a las complejidades del análisis de regresión. Segunda, en situaciones experimentales tal vez no sea irreal suponer que los valores de X son fijos. Por ejemplo, un agricultor puede dividir su tierra en varias parcelas y aplicarles diferentes cantidades de fertilizante para ver el efecto en el rendimiento del cultivo. Asimismo, una tienda de departamentos puede ofrecer diferentes tasas de descuento en un producto para ver su efecto en los consumidores. En ocasiones conviene fijar los valores de X para un propósito específico. Supongamos que deseamos obtener el ingreso promedio semanal de los trabajadores (Y) con varios niveles de escolaridad (X). En este caso, la variable X se puede considerar fija o no aleatoria

3. Tercera, como se va mostrar en un capítulo mas adelante, aunque las variables X sean estocásticas, los resultados estadísticos de la regresión lineal basada en el caso de las regresora fijas también son válidos cuando las variables X son aleatorias, en tanto se cumplan algunas condiciones: una de ellas es que la regresora X y el termino de error uᵢ sean independientes, como señala James David son: “…. Este modelo [es decir, el de la regresora estocástica] ‘imita’ al modelo de regresora fija, y […] muchas propiedades estadísticas de los mínimos cuadrados del modelo de regresora fija siguen siendo válidos” Por todas estas razones, primero analizamos con detalles el CRML, (regresora fija). Sin embargo, en los capitulos siguientes veremos el caso de las regresoras estocásticas en cierto detalle y señalaremos las ocasiones en que es necesario considerar los modelos de regresora estocástica. Por cierto, anote que si la variable X es estocástica, el modelo resultante se llama modelo neoclásico de regresión lineal (MNRL), en contraste con el MCRL, donde las X se tratan como variables fijas o no aleatorias. Para efectos de análisis, denominaremos al primero modelo de regresora estocástica, y al segundo, modelo de regresora fija.

4. SUPUESTO 3 El valor medio de la perturbación ûᵢ Es igual a cero: dado el valor de X, la media o el valor esperado del termino perturbación aleatorio...es cero. Simbólicamente, tenemos que: E(u/X) = 0 O si X no es estocástica E(u) = 0 El supuesto 3 establece que el valor de la media de u, que depende de la X, dadas, es cero. Geométricamente, este supuesto se representa mediante una grafica, como en la figura, que muestra algunos valores de la variable X y las poblaciones Y asociadas a cada uno de ellos.

5. Distribución condicional de las perturbaciones ûᵢ. Y FRP: Y = β1 + β2X Media + u - u 0 X1 X2 X3 X4 X

6. Puede observar que cada población Y correspondiente a un X dado esta distribuida al rededor de su media (que se representa por los puntos dentro de un circulo sobre la FRP), con algunos valores de Y por encima y por debajo de esta. Las distancias por encima y por debajo de los valores medios no son otra cosa que la u. La ecuación requiere que el promedio o valor medio de estas desviaciones correspondientes a cualquier X dado sea cero. Observe, por cierto, que el supuesto E (uᵢ\Xᵢ)=0 implica que E (Yᵢ\Xᵢ)=β1 + β2Xᵢ. (¿Por qué?) Por consiguiente, los dos supuestos son equivalentes. Es importante señalar que el supuesto 3 implica que no hay sesgo de especificación o error de especificación en el modelo del análisis empírico. En otras palabras, el modelo de regresión esta especificado correctamente

7. SUPUESTO 4 Homoscedastidad o varianza constante de u: la varianza del termino de error o perturbación, es la misma o sin importar el valor de X. Simbólicamente, tenemos que Var (uᵢ) = [uᵢ-E(uᵢ\Xᵢ)]² = E (uᵢ²\ Xᵢ) por el supuesto 3 = E (uᵢ²), si Xᵢ son variables no estocástica = 0² Donde var significar varianza

8. La ecuación final del supuesto 4 establece que la varianza de uᵢ para cada Xᵢ (Es decir, la varianza condicional de uᵢ) Es algún numero positivo constante igual a o². Técnicamente, la ecuación representa el supuesto de homoscedasticidad, o igual (homo) dispersión (cedasticidad), o igual varianza. La palabra proviene del verbo griego skedanime, que significa dispersa o espaciar. Planteado de otra forma, significa que las poblaciones Y correspondientes a diversos valores de X tienen la misma varianza. En términos llanos, las variación al rededor de la línea de regresión (la línea de la relación promedio entre X y Y) es la misma para todos los valores de X; no aumenta ni disminuye conforme varia X. En el diagrama de la figura se aprecia esta situación. En contraste, consideramos de la figura siguiente donde la varianza condicional de la población Y varia con X. Esta situación se conoce apropiadamente como heteroscedasticidad, o dispersión desigual, o varianza desigual. Simbólicamente, en esta situación, la ecuación se escribe como Var (uᵢ\Xᵢ)=oᵢ² Observe el subíndice o² en la ecuación el cual indica que la varianza de la población Y ya no es constante.

9. F(u) Figura 1 Homoscedastidad Densidad de probabilidad de u Y X1 X2 Xi FRP: Y = β1 + β2X X

10. F(u) Figura 2 Heteroscedasticidad. Densidad de probabilidad de u Y X1 X2 Xi β1 + β2X X

11. Para diferenciar claramente las dos situaciones, sea Y el gasto de consumo semanal y X el ingreso semanal. Las figuras 1 y 2 muestran que, a media que el ingreso aumenta, el consumo promedio también aumenta. Pero en figura 1 la varianza del consumo permanece igual para todos los niveles de ingreso, mientras que en la figura 2 aumenta con incrementos en el ingreso. En otras palabras, en promedio, las familias más ricas consumen más que las familias más pobres, pero hay también mayor variedad en el consumo que en las primeras. Al invocar el supuesto 4, se sostiene que en esta etapa todo los valores de Y correspondientes a diversos valores de X revisten la misma importancia. Mas adelante veremos lo que sucede cuando se presenta heterocedasticidad. Note que supuesto 4 implica que las varianzas condicionales de yᵢ también son homoscedasticas. Es decir, Var (Yᵢ\Xᵢ)=o² Por supuesto, la varianza incondicional de Y es o²y. Más adelante veremos la importancia de distinguir entre varianza condicional e incondicional de Y.

12. SUPUESTO 5. No hay Autocorrelacion entre las perturbaciones: Dados dos valores cualesquiera de X, la correlación entre dos ui y uj cualesquiera (i ≠ j) En pocas palabras, estas se muestran de manera independiente. Simbólicamente. Cov (ui uj/Xi Xj) = 0 Cov (ui uj) = 0, si X no es estocástica. Cov Significa covarianza.

13. En pocas palabras, postula que las perturbaciones uᵢ y uᵢ no están correlacionadas. Técnicamente, este es el supuesto de no correlación serial, o no autorización. Esto significa que, dado Xᵢ, las desviaciones de dos valores cualquiera de Y de sus valores promedio no muestran patrones como los de la figura 3a y b. • En la figura 3a se ve que las u están correlacionadas positivamente, pues una u positiva sigue una u positiva, o una u negativa sigue una u negativa. • En la figura 3b, las u están correlacionadas negativamente, pues a una u positiva sigue una u negativa y viceversa. • Si las permutaciones (desviaciones) siguen patrones sistemáticos, como los que de las figuras 3a y b, hay correlación serial o auto correlación, y lo que requiere el supuesto 5 es que dicha correlaciones estén ausentes. • La figura 3c muestra que no hay un patrón sistemático para las u, lo que indica cero correlación.

14. +ui +ui -ui +ui -ui +ui -ui -ui b a +ui -ui +ui • Patrones de correlación entre las perturbaciones: • a.- Correlación serial positiva; • b.- Correlación serial negativa; • c.- Correlación cero. -ui c

15. Explicaremos con amplitud la importancia de este supuesto e un capitulo mas adelante. No obstante, mediante la institución, podemos analizar este supuesto de la siguiente forma. Supongamos que en la FRP (Yᵢ=β1+ β2 Xᵢ + uᵢ) uᵢ y uᵢ-1 están correlacionadas positivamente. Entonces Y1 depende no solo X1 sino también de u1 determina en cierta medida a u1. En esta etapa del desarrollo de la materia, al invocar al supuesto 5, se afirma que se considerara el efecto sistemático, si existe, de X1 sobre Y1, sin preocuparse por las demás influencias que podrían actuar sobre Y como resultado de las posibles correlaciones entre las u. No obstante, debe añadirse aquí que la justificación de este supuesto depende del tipo de datos para el análisis. Si los datos son transversales y se obtienen como muestra aleatoria de la población pertinente, a menudo es posible justificar este supuesto. Sim embargo, si los datos corresponden a una serie de tiempo, es difícil mantener el supuesto de independencia. Porque las observaciones sucesivas de una serie de tiempo, como el PBI, están muy correlacionadas.