4. Conducción transitoria.

1. 4. Conducción transitoria.

2. Un problema en conducción es un cambio repentino de ambiente. Ti t ≥ 0 T(t) T∞ < TiT = T(t) Se asume que la temperatura del sólido es parcialmente uniforme durante el proceso transitorio el gradiente de temperatura es Insignificante. De acuerdo a Ley de Fourier esto implica que existe una conductividad Infinita, lo cual no es posible. Este efecto puede ser equivalente, cuando la resistencia a la conducción dentro del sólido es pequeña en comparación al calor transferido entre el sólido y sus alrededores. Haciendo un balance de energía en el sólido a)MÉTODO DE LA CAPACITANCIA TÉRMICA

3. Integrando en ambos lados de la ecuación: 0.368 t Nota: Observeque la contante de tiempo pequeña Implica que la temperatura del cuerpo, desciende más rápido que una mayor debido a su capacitancia Térmica la cual depende de la capacidad calorífica “C” y de la densidad “ρ” del cuerpo Para el calor disipado. 1 0.632 t SIGUE MÉTODO DE LA CAPACITANCIA TÉRMICA

4. ¿Bajo que condición se puede usar el método razonablemente para analizar el transitorio? T Ts1 Ts2 T∞,h Ts2 Ts2 0 L x Bajo condición de estado estable, el balance en la superficie. Bi → Número de Biot. Relación de la caída de temperatura del sólido, a la diferencia de temperaturas del sólido y el fluido Si se satisface que: El error de usar el método es pequeño VALIDÉZ DEL MÉTODO

5. Considerando un muro como se muestra: ρ,C,V T(0)=Ti Talr T∞,, h Ae As Ae Área de calor de entrada As Área de convección y radiación Si no hay calor de entrada, gen y convecc. Si Talr = 0 (radiación al espacio) ANÁLISIS DE LA CAPACITANCIA EN GENERAL

6. Se asume: Temperatura de la esfera es uniforme, radiación despreciable y propiedades constantes. Propiedades: Cobre a 3330C: ρ = 8933 Kg/m3 K = 398 W/mK: Cp = 389 J/KgK Diagrama: T(0) = 660C T∞ = 270C d T(69) = 550C Con: θ = T - T∞ COMENTARIO: Las asunciones de espacialidad isotérmica es razonable Ejemplo. Se tiene una esfera de cobre; d = 12.7 mm a 660C antes de introducirla en aire a 270C. Se introduce instantáneamente y asando 69 s adquiere una temperatura de 550C. Justifique que la esfera se comporta como un cuerpo isotérmico y encuentre “h”.

7. Si no es despreciable el gradiente de temperatura dentro del medio. Pared plana sin efecto espacial, no generación Interna y k = Cte. L Mitad del espesor de la pared En forma adimensional la dependencia queda Para una geometría prescrita, la distribución de temperatura es una función universal de: CONDUCCIÓN TRANSITORIA UNIDIRECCIONAL ADIMENSIONAL

8. Usando como base para el análisis: L k, α T∞,h Aislado T (x,0) = Ti ANÁLISIS: Si los parámetros son iguales para ambas paredes entonces: Evaluando esos parámetros se tiene: 1.563x10-4 t2 =0.150 Ejemplo. Se tienen dos paredes de diferentes dimensiones y características térmicas:Pared L (m) α(m2/s) k (w/mK) Ti(0C) T∞(0C) h (w/m2K) I 0.10 15x10-6 50 300 400 200 II 0.40 25x10-6 100 30 20 100 La temperatura para la pared I a: x = L después de t1 = 100 s es T1(L1,t1) = 315 0C. ¿Cuánto tiempo tomará la pared II para llegar a 28.5 0C en x = L2 ?

9. Para una pared plana. Ti = T(x,0) Ti = T(x,0) y sumido en un fluido a: T∞,h T∞ ≠ Ti T∞,h -L L Las condiciones de convección similares a: Hay simetría en la distribución de temperatura en: Los valores característicos de ςn son raíces positivas de: ςn Tan ςn = Bi Solución aproximada: Si F0 =0.2 Representa la temperatura del plano medio La transferencia total de energía en el transitorio: Se integra sobre el volumen de la pared. Usando la aproximación LA SOLUCIÓN EXACTA

10. Cilindro. Razonable el análisis para: L/r0 ≥ 10 Los valores discretos de ςn son las raíces positivas de: Solución aproximada: F0 >0.2 (cilindro infinito) Energía total transferida. Esfera Los valores discretos de son las raíces positivas de: Solución aproximada: F0 >0.2 Energía total transferida SISTEMAS RADIALES CON CONVECCIÓN

11. FUNCIONES DE BESSEL TABLAS

12. Se conoce: Prop. de placa y temps. Encontrar: T (L, 9 min) Se asume: Cond. Unidim. Y prop. Ctes Diagrama: Ti = T(x, 0) k, ρ, c T∞, h x 2L Análisis: No se debe usar el análisis de la capacitancia térmica Con: Bi-1 = (1/0.5) = 2, y En gráfica 2 se tiene que: Con Gráfica 1, con: Bi-1 = 2 y (x/L) = 1 Combinando estas dos ecuaciones: Ec.1 y Ec.2 Problema. Una placa plana de espesor 0.1 m está a 250 0C, se sumerge en aceite a 300C. Si h = 500 W/m20K en el baño, calcule la temperatura en superficie de la pared9 Min después de la inmersión. Propiedades de la pared son k = 50 W/m20K, ρ = 7835 kg/m3, c = 465 J/kg0K

13. Ejemplo. Una barra de acero muy larga de 20 Cm de diámetro está a 980 0C; se sumerge instantáneamente en aceite a 40 0C, se estima que h = 565 W/m2 0C. Calcule el tiempo que tarda para que la temperatura del centro de la barra alcance 260 0C si las propiedades de la barra son:ρ =7817 kg/m3, c = 0.46 kJ/kg 0C, k = 16.3 w/m 0C, ά = 0.444x10-5 m2/s. Solución: El número de Biot para este caso es En la Fig. D.4 Pag. 872 se obtiene el número de Fourier que es 0.53 por lo que::

14. GRÁFICO DE HEISLER (no. 1)Distribución de temperatura pared plana espesor 2L θ/θ0

15. GRÁFICA 2: CAMBIO DE ENERGÍA INTERNA CON EL TIEMPO PARED PLANA ESPESOR 2L

16. El modelo considera una parte identificable y el resto tiende a infinito. Se pone en contacto de pronto con un fluido a T∞ y se desea conocer la temperatura de la placa T(x,t) La ecuación del transitorio es dada por: Ts x Se tienen soluciones para tres casos diferentes con su respectiva CF. CASO III Caso I. T(0,t) = Ts T∞ Caso II. Ti Caso III. x SÓLIDO SEMIINFINITO

17. SOLUCIÓN DE CASO I. Para transformar la Ec. de calor, de ecuación diferencial parcial en “x” y “t” a una Ec. Dif. ordinaria en términos de “η”, se realiza una transformación de operadores: Sustituyendo en el modelo, la ecuación de calor se convierte en: Con x = 0; corresponde a η = 0: T(η = 0) = Ts Con x → ∞ como t = 0; corresponde a η → ∞: T(η → ∞) = Ti

18. SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DE CALOR TRANSFORMADA Las nuevas condiciones iniciales y frontera son independientes de “x” y “t”, “η” es una variable de similaridad y T(η) se puede obtener de la ecuación de calor transformada re-arreglándola como:

19. FLUJO DE CALOR Y CASOS 2 Y 3 El flujo de calor en la superficie puede encontrarse por la Ley de Fourier.

20. CASO ESPECIAL Dos sólidos semiinfinitos con temperatura uniforme inicial “TAi” y “TBi” en el instante de contacto ( t = 0 ). Ambas temperaturas llegan a una misma temperatura “Ts”: TBi < Ts <TAi . Para llegar a una temperatura de equilibrio se debe cumplir:

21. Valores de la Función de Error (erf) y la Función de Error Complementaria (erfc)

22. PROBLEMA. Se tiene un bloque grande de acero con: k = 45 w/m 0C, α = 1.4x10-5 m2/s a una Ti = 35 0C., la superficie se expone a un flujo de calor. Calcular la temperatura a 2.5 cm en; t = 30 s, si: (a) La Temperatura de superficie se eleva a 250 0C, (b) Con un flujo de calor de 3.2x105 w/m2. Análisis: (a) Caso 1. Para el sólido semiinfinito se tiene: (b) Caso 2. Para flujo de calor constante. La temperatura en la superficie después de 30s se usa misma ecuación con x = 0 y es de: T(x=0) = 199.4 0C