1 / 28

INTEGRO - DIFERENCIÁLNE ROVNICE S ČASOVO-PREMENNÝM ONESKORENÍM

INTEGRO - DIFERENCIÁLNE ROVNICE S ČASOVO-PREMENNÝM ONESKORENÍM. Pavol Chocholatý. Uvažujme Cauchyho úlohu pre ODR kde funkcia sa mení s narastajúcim časom .

eric-perry
Download Presentation

INTEGRO - DIFERENCIÁLNE ROVNICE S ČASOVO-PREMENNÝM ONESKORENÍM

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript


  1. INTEGRO - DIFERENCIÁLNE ROVNICES ČASOVO-PREMENNÝM ONESKORENÍM Pavol Chocholatý

  2. Uvažujme Cauchyho úlohu pre ODR kde funkcia sa mení s narastajúcim časom . • Diferenciálne rovnice s oneskoreným argumentom sa líšia od ODR tým, že derivácia v ľubovoľnom čase závisí aj od riešenia v predchádzajúcich časoch.

  3. Časové oneskorenia vyskytujúce sa v mnohých modeloch aplikovanej matematiky vyžadujú uvedenú závislosť vyjadriť v podobe , kde oneskorený argument • je buď konštanta - vtedy hovoríme o rovniciach s konštantným oneskorením • je funkciou času - vtedy hovoríme o časovo-premennom oneskorení .

  4. Špeciálne, • rovnicu nazývame ODR s diskrétnym oneskorením • rovnicu nazývame ODR s diskrétnym časovo-premenným oneskorením samozrejme s poznámkou, že táto funkcia je nekladná (v opačnom prípade by sme hovorili o ODR s predbiehajúcim argumentom)

  5. Známa je napr. logistická rovnica s oneskorením tvaru tzv. Hutchinsonova rovnica, popisujúca pre kladné konštanty a a funkciu kde je záporné číslo , logistickú rovnicu s oneskorením . Osciláciami riešení tejto rovnice sa zaoberá práca Gopalsamy , Zhang . Viaceré práce sú venované rôznym zovšeobecneniam tejto rovnice.

  6. Oneskorenie môže by tiež distribuované • Príkladom ODR a distribuovaným oneskorením je aj rovnica známa ako Volterrova integro-diferenciálna rovnica. • Štúdium ODR s distribuovaným oneskorením je najčastejšie spojené so snahou získať nejaké oscilačné kritériá v spojitosti s periodickým riešením, napr. Tang , Gopalsamy, He, Xue, Wen .

  7. Berezansky, Braverman sa zaoberajú periodickou logistickou integro-diferenciálnou rovnicou v snahe získať pozitívne riešenia. • Z aplikačného pohľadu je vhodným príkladom ODR s distribuovaným oneskorením systém, v ktorom sa navzájom ovplyvňujú populácie živočíšnych druhov, typu dravec – korisť, známy ako Lotka-Volterrov model, ktorý v prípade distribuovaného oneskorenia je v tvare

  8. kde predstavuje množstvo koristi v danom čase a množstvo dravcov, kladné parametre vyjadrujú vzájomnú interakciu a vývoj týchto druhov, je funkciou reprezentujúcou rýchlosť rastu populácie koristi v závislosti od predchádzajúceho počtu dravcov a vyjadruje rýchlosť rastu populácie dravcov v závislosti od predchádzajúceho množstva koristi. Derivácie predstavujú prírastok danej populácie za jednotku času .

  9. Spomeňme ešte, že aj model šírenia epidémie vírusu HIV v homogénne zmiešanej skupine pohlaví sa najčastejšie vyjadruje v tvare systému ODR a distribuovaným oneskorením... • Privítali sme, že sa v knihe Kim, Pimenov objavil systém dvoch integro-diferenciálnych rovníc s časovo-premenným oneskorením so zadaným tvarom štartovacej funkcie, doplnený jeho exaktným riešením v snahe nájsť efektívnu numerickú metódu na riešenie úloh tohto typu:

  10. vzhľadom na štartovacie funkcie , na intervale . Exaktné riešenie má tvar :

  11. Analýza – numerický prístup: • začiatočná úloha pre ODR • voľba tvaru numerickej metódy • explicitná • implicitná • jednokroková • viackroková • voľba rádu zvolenej numerickej metódy • výpočet určitého integrálu s časovo-premennou hranicou • numerická kvadratúra --- Newtonové – Cotesové vzorce • zatvorené • otvorené • voľba rádu Newtonových-Cotesových vzorcov

  12. ODR s časovo-premenným oneskorením • koordinácia zvolených numerických metód • z hľadiska ich rádov • z hľadiska zvolených uzlov • na riešenie sústavy dvoch rovníc • realizácia výpočtov • porovnanie získaných riešení s exaktným riešením

  13. Realizácia výpočtov Použité numerické metódy na riešenie ODR s krokom : Explicitná Eulerova metóda Implicitná Eulerova metóda Heunova metóda Adamsova-Moultonova metóda Milneho metóda Milneho-Simpsonova metóda Implicitná jednokroková metóda 2. rádu

  14. Použité numerické metódy pri numerickej kvadratúre s krokom : Zložené Newtonové-Cotesové zatvorené vzorce pre Lichobežníkové pravidlo, Simpsonové pravidlo, Triosminové pravidlo • Vysvetlenie: Vieme, že pri použití napr. Simpsonového pravidla počítame na danom podintervale s tromi približnými hodnotami riešenia. Keďže pracujeme s diskrétnymi hodnotami riešenia získanými použitými numerickými metódami na riešenie ODR s krokom , musí byť teda vzdialenosť koncových bodov podintervalu .

  15. Uvažujme riešenie našej úlohy pre a zvolíme deliace body a tak, že pre každé do úvahy prichádzajúce body tohto intervalu platí a v ďalšom sa namiesto sústavy rovníc v premenných venujme len prvej rovnici a premennú označme pre jednoduchosť . • Na jej riešenie použijeme SÚČASNE dve rôzne metódy -prvá na výpočet po „párnych bodoch“ -druhá na výpočet z „párneho na nepárny bod“

  16. PRVÁ: Nasleduje ukážka riešenia pri použití lichobežníkového pravidla: Implicitná jednokroková metóda 2.rádu aplikovaná na rovnicu je v tvare

  17. Touto metódou postupujeme pre pre Teda máme (Z) Vzhľadom na charakter dolnej hranice integrálov je rozumné zvoliť krok použitej numerickej kvadratúry rovný H, platí totiž

  18. a teda môžeme označiť resp. potom (Z) bude v tvare

  19. Ak realizujeme výpočet integrálov zloženým lichobežníkovým pravidlom, dostaneme resp.

  20. DRUHÁ: Explicitná Eulerova metóda (1.rád) v tvare aplikovaná na rovnicu je v tvare

  21. Touto metódou postupujeme pre teda Vidíme, že tvar integrálu je rovnaký ako vyššie s označením , teda píšeme

  22. Cieľom práce bolo • aplikovať uvedené metódy v rôznych kombináciách so snahou nájsť na základe najmenšej celkovej chyby riešenia v koncovom bode intervalu riešenia „najlepšiu voľbu“ numerického prístupu aj na riešenie úloh „podobného typu“ • otestovať vplyv zvolenej numerickej metódy na riešenie Cauchyho úlohy pre ODR v okolí prechodu od spojitej podintegrálnej funkcie k jej diskrétnemu tvaru • pre vybrané metódy analyzovať ich chovanie v závislosti od zjemňovania kroku

  23. Záver Vplyv metód na kvalitu aproximácie riešenia: 1. Uvedené explicitné metódy v kombinácii s kvadratúrnymi metódami • dominancia rádu metódy numerickej kvadratúry nad rádom explicitnej metódy • všetky z uvedených explicitných metód v kombináciách s metódami kvadratúry vykazovali kvalitnejšiu aproximáciu riešenia pri zjemňujúcom sa kroku • výpočty sme realizovali s krokmi pri prvej metóde, resp. pri druhej metóde

  24. 2. Uvedené implicitné metódy v kombinácii s metódami numerickej kvadratúry • takmer rovnaký vplyv rádov oboch typov metód • „nezávisle“ od rádu implicitnej metódy pri každej z použitých kvadratúr je získaná kvalitnejšia aproximácia v okolí bodu prechodu od spojitej podintegrálnej funkcie k diskrétnej • potvrdil sa očakávaný vplyv závislosti kvality aproximácie od zjemňujúceho sa kroku • napr. na danom intervale riešenia bola celková chyba pri použití Milneho-Simpsonovej metódy 5.rádu , Simpsonovho pravidla a kroku v absolútnej hodnote menšia ako tri stotiny v porovnaní s exaktným riešením

  25. Literatúra: Berezansky,L.,Braverman,E.: Oscillation properties of a logistic equation with distributed delay. Nonlinear analysis:Real World Appl. 4 (2003), pp.1-19 Gopalsamy,K.,Zhang,B.: Oscillation and nonoscillation in a nonautonomous delay-logistic equation. Q.Appl.Math.XLVI (1988), pp.267-273 Gopalsamy,K.,He,X.Z.,Xue.Z,Wen,L.Z.: Global attractivity and oscillationin periodic logistic integrodifferential equation., Houston J.Math.17(1991), pp.157-177 Kim,A.V.,Pimenov,V.G.:Numerical methods for delay differential equations. Lecture notes series Number 44, Seoul National University,Seoul 151-742, Korea Tang,X.H.: Oscillation of first order delay differential equations with distibuted delay. Mat.Anal.Appl.289(2004), pp.367-378

  26. Ďakujem za pozornosť

More Related