BENTUK POLAR DARI FUNGSI KOMPLEKS

1. BENTUK POLAR DARI FUNGSI KOMPLEKS YulviZaika

2. Selaindinyatakandalambentuk z = x+iy = (x,y), bilangankompleks z dapatdinyatakan pula dalambentukkoordinatkutubatau Polar, yaitu z = (r,). BENTUK POLAR BILANGAN KOMPLEKS

3. x = r cos , y = r sin, sehingga = arc tan adalahsudutantarasumbu x positifdengan oz didapatjuga Jadi, bentukkutubbilangankompleks z adalah z = (r, ) = r(cos + i sin ). dansekawandari z adalah = (r, -) = r(cos - i sin ). Hubungan (x,y) dengan (r,)

5. Selainpenulisanbilangankompleks z = (x , y) = (r, ) = r(cos + i sin ) = r cis, makadapatmenuliskan z dalamrumus Euler (eksponen), yaitu z = rei, dansekawannyaadalah re-i. Tugas:Buktikanbahwaei = cos + i sin , denganmenggunakanderetMacLaurinuntukcos , sin dan etdenganmengganti t = i.

6. Contoh : Nyatakan bilangan kompleks z = 1 + i dalam bentuk polar dan eksponen !

7. Contoh : Nyatakan bilangan kompleks z = 1 + i dalam bentuk polar dan eksponen ! Jawab : z = 1 + i, r = , tan  = 1, sehingga  = 45⁰=  Jadi z = (cos  + i sin ) = cis  =

8. 2. Betuk Polar • Pembagian Dilakukandengancaramembagipembilangdenganpenyebutdanmengurangisudutpembilangdengansudutpenyebut. Misaldan Maka : • PenambahandanPengurangan Tidakdapatdilakukankecualimemilikisudut yang samaatauhanyaberbedaphasakelipatan 1800 • Misaldan Maka z1= r1 (cos1+i sin1) Z2= r2 (cos2+i sin2) Z2= r2 (cos2+i sin2) z1= r1 (cos1+i sin1) Z1.z2 = r1r2[cos(1+2) + i sin (1+2)

9. Perkalian Telahkitaketahuibahwabilangankompleksdalambentukkutubadalah z = r(cos + i sin ). Jika z1 = r1(cos1 + i sin 1) & z2 = r2(cos2 + i sin 2), makakitaperolehhasilperkaliankeduanyasebagaiberikut : z1 z2 = [r1(cos1 + i sin 1)][r2(cos2 + i sin 2)] z1 z2 = r1 r2 [(cos1cos2 - sin1sin 2) + i (sin 1cos2 + cos1sin 2)] z1 z2 = r1 r2 [cos (1 + 2 ) + i sin (1 + 2)] Dari hasilperkaliantersebutdiperoleh: arg(z1 z2) = 1 + 2 = arg z1+ arg z2

10. Pembagian: Sedangkan pembagian z1 dan z2 adalah sebagai berikut: Setelah pembilang dan penyebut dikalikan dengan sekawan penyebut, yaitu r2(cos 2 - i sin 2), maka diperoleh : [cos (1 - 2 ) + i sin (1 - 2)] Dari rumus di atas diperoleh: arg 1-2 = arg z1 – arg z2.

11. Akibat lain jika z = r(cos  + i sin ), maka: Untuk: . Setelah pembilang dan penyebut dikalikan sekawan penyebut, maka didapat : . . . . . . . 2

13. Perpangkatan

14. Contoh: Hitunglah : Jawab : Misalkan maka karena z di kuadran IV, maka dipilih jadi

15. Akar Bilangan Kompleks Bilangan kompleks z adalah akar pangkat n dari bilangan kompleks w, jika zn = w, dan ditulis . Jika z = (cos +i sin) akar pangkat n dari bilangan kompleks w = r(cos+i sin), maka dari zn = w diperoleh: n(cosn +i sinn) = r(cos+i sin), sehingga n = r dan n= +2k , k bulat. Akibatnya dan Jadi . . .

16. Jadi, akar pangkat n dari bilangan kompleks w = r(cos+i sin) adalah: z = [cos( ) + i sin ( )], k bulat dan n bilangan asli. Dari persamaan zn = w, ada n buah akar berbeda yang memenuhi persamaan itu. Untuk mempermudah dipilih k = 0,1,2,3,…,(n-1); 0 < 2, sehingga diperoleh z1,z2,z3,…,zn sebagai akar ke-n dari z.

17. Contoh : Hitunglah (-81)1/4 Jawab : Misalkan z = (-81)1/4, berarti harus dicari penyelesaian persamaan z4 = -81. Tulis z = (cos +i sin) dan –81 = 81(cos1800+i sin1800), sehingga 4(cos4 +i sin4) = 81(cos1800+i sin1800), diperoleh 4 = 81, atau  = 3 dan . Jadi z= 3[cos( )+i sin( )] Keempat akar yang dicari dapat diperoleh dengan mensubstitusi k = 0,1,2,3 ke persamaan terakhir.

19. 1. Diketahui z1 = 6 + 5i dan z2 = 8 – i. Tentukan z1 +z2, z1 -z2 ,z1z2, dan z1 / z2 2. Jika z = -1-i, buktikan z2 + 2z + 2 = 0. 3. Hitungjarakantara z1 = 2 + 3i dan z2 = 5 – i. 4. Nyatakanbilangankompleks z = 2 -2i dalam bentuk polar daneksponen 5. . Hitunglah (-2+2i)15