CHAPTER

1. CHAPTER 31 可能性理論

2. 31.1 簡　介 • 可能性理論最初是由Zadeh [1978] 對可能性理論處理不確定事物的補充。對可能性理論之理由，最好的敘述為Zadeh [1978]： • Wiener與Shannon在通訊上的統計理論之先驅工作已經導致信用上的全面性承認，而資訊在自然界本質上為統計並且按其準確意義來說，必須由可能性理論提供的方法來處理。

3. 31.1 簡　介 • 無疑地，統計學的觀點已深深地貢獻到基礎的過程，包含編碼、資料的傳送與接受，並且在現代通訊、發現與遙測系統的研發裡扮演主要的角色。然而，在近幾年來，一些其他的重要應用已經超過其重要結果，而中心不在於資訊的傳送而在其意義。在這類的應用，關心的是對相關資訊回答問題的能力，而其被儲存在資料庫中，如以自然語言處理、知識表示、語音識別、機器人、醫學診斷、稀有事件的分析、在不確定性下的決策、圖片分析、資訊修正與相關領域。

4. 31.1 簡　介 • ……我們主要的關心是在資訊的意義——更確切的是其量測——對資訊分析適當的架構與其說是在自然界的或然性不如說是可能性，因此意味著這種分析所需要的不是可能性理論而是類似的——但是不同的——可能被稱為可能性理論。

5. 31.2 可能性直覺的方法 • 31.2.1　可能性分佈與可能性測量 • 這個方法是由模糊限制的概念開始。令x為一個變數在論域U上取值而且A是在U上的模糊集合。則命題「x是A」能夠被解釋為放在x上的模糊限制並且這個限制是由歸屬函數μA來描述。換言之，我們能夠解釋μA(u)為x=u的可能性程度(degree of possibility)。

6. 定義 31.1 • 已知在U上的模糊集合與命題「x是A」，聯合x的可能性分佈表示為πx，定義為數值上等於A的歸屬函數，也就是 (31.1) 對所有。

7. 31.2 可能性直覺的方法 • 如一個範例，考慮模糊集合「小的整數」定義為 (31.2) 則命題「x是小的整數」與聯合x的可能性分佈為 (31.3) 其中如0.8/3項表示在已知「x是小的整數」時， x是3的可能性為0.8。

8. 定義 31.2 • 令C為U的明確子集合而且πx為聯合x的可能性分佈。x屬於C的可能性量測以POSx(C)表示且定義為 (31.4)

9. 31.2 可能性直覺的方法 • 如可能性量測的舉例說明，考慮由(31.2) 式定義的模糊集合「小的整數」並且給予命題「x是一個小的整數」。令C={3,4,5}，則x等於3、4或5的可能性量測為 (31.5)

10. 31.2 可能性直覺的方法 • 31.2.2　邊際可能性分佈與非互相影響性 (31.6) (31.7) (31.8) (31.9)

11. 31.2 可能性直覺的方法 • 31.2.3　條件可能性分佈 (31.10) (31.11) (31.12) (31.13)

12. 31.2 可能性直覺的方法 (31.14) (31.15) (31.16) (31.17)

13. 31.3 公理法到可能性 • 在Klir, Folger [1988], Klir及Yuan [1995] 中，可能性理論被開發於Dempster-Shafer證據理論的架構。因為這個方法建立在公理的基礎上，數學特性的多樣化能夠被導出。在證據理論，有二個重要的測度：似合理性測度與相信測度；在可能性理論基本概念透過這二個測度而被定義。

14. 31.3 公理法到可能性 • 31.3.1　似合理性與相信測度 • 在可能性量測的定義中，有一個強烈要求 ——加法性公理，也就是 (31.18) 其中Pro(‧)代表機率量測，而A與B是定義域U的子集合使得A∪B=φ（空集合）。

15. 定義 31.3 • 已知論域U與U的子集合之非空家族F，似合理性測度(plausibility measure) 為函數Pl:F→[0,1]使得 • (p1) Pl(φ)=0與Pl(U)=1（邊界條件） • (p2) 對所有， (31.19) （子加法性）

16. 定義 31.3 • (p3) 對任意遞增序列 ，如果 ，則 (31.20) （由下方連續性）

17. 定義 31.4 • 已知論域U與U的子集合之非空家族F，相信測度(belief measure) 為函數Bel:F→[0,1]使得 • (p1) Bel(φ)=0與Bel(U)=1（邊界條件） • (p2) 對所有， (31.21) （超加法性）

18. 定義 31.4 • (p3) 對任意遞減序列在F，如果 ，則 (31.22) （由上方連續性）

19. 31.3 公理法到可能性 • 在(31.19) 與(31.21) 式中令n=2,A1=A與 ，我們得到下列似合理性與相信測度的基本不等式： (31.23) (31.24) 更進一步，它能夠顯示似合理性與相信測度是相關的而其透過 (31.25)

20. 31.3 公理法到可能性 • 因此，我們能說似合理性與相信測度是互補的。似合理性與相信測度也被知道上界與下界機率，因為它能夠顯示 (31.26) 證據理論是非常豐富的領域而且有興趣的讀者可以參閱Shafer [1976], Guan及Bell [1991]。

21. 定義 31.5 • 可能性測度(possibility measure) Pos:F→[0,1]定義為特殊的似合理性測度，使用子加法性條件(31.19) 式取代為 (31.27) 其中K為任意的指標集合以及 。

22. 定義 31.6 • 必要性測度(necessity measure) Nes:F→[0,1]定義為特殊的相信測度，使用超加法性條件(31.21) 式取代為 (31.28) 其中K為任意的指標集合以及。

23. 31.3 公理法到可能性 • 因為可能性與必要性測度分別為特殊的似合理性與相信測度，(31.23)～(31.25) 被滿足，也就是 (31.29) (31.30) (31.31)

24. 31.3 公理法到可能性 • 它能夠顯示對每一個在F上的可能性測度Pos存在一個函數π:U→[0,1]使得 (31.32) 對任何 。這個π被定義為可能性分佈(possibility distribution)。也就是在這個方法的可能性分佈是被可能性測度導出。

25. 31.3 公理法到可能性 • 至於(31.29)～(31.31) 式，可能性與必要性測度有一些有趣的特質。例如， (31.33) (31.34) 其中(31.33) 式是從得到，而(31.34) 式是從得到。

26. 31.4 可能性與機率對比 • 31.4.1　最後的討論 • Laviolette, Seaman, Barrett與Woodall [1995] 寫著： • 即使我們對於FST ( 模糊集合理論) 的一些哲學信念有嚴重的存疑，我們仍不能主張這個理論已經無用。有充分文件記載成功的應用，特別是在控制理論，顯示如果小心地使用，FST能夠運作。……尤其是我們持懷疑態度的觀點，到目前為止我們並未在FST發現獨特有用的實例——也就是使用FST無法像使用機率與統計一樣有效地達成，它是無解的。

27. 31.4 可能性與機率對比 • 31.4.2　介於二個理論間的主要不同 • 不同1　雖然二個理論都是處理不確定事物，但對特殊問題它們想要求解是相當不同。 • 不同2　模糊集合理論丟棄排中律，然而機率理論是建立在古典集合理論上，以排中律為基礎。由於這個基礎的不同，二個理論的技術內容是相當不同。

28. 31.4 可能性與機率對比 • 不同3　可能性測度如31.3節中定義，取代機率的加法性公理(31.18) 式具有較弱的子加法性(31.19) 式。這個基礎的不同結果是介於可能性與機率理論間不同，其中一部分如31.3節所示。 • 不同4　從應用觀點來說，計算的演算法由二個理論與資訊要求實現它們通常是相當不同的，即使是演算法研發來解決相同的問題。

29. 31.4 可能性與機率對比 • 31.4.3　如何從工程師的眼光來看爭論 • 藉由引用Zadeh [1995]，我們總結本節與本書： • 在許多案例是來自合作比爭論方法論中哪一個是最好的能有更多的獲益。一個適當的情況是軟性計算的概念。軟性計算不是一個方法論——它是方法論的合作且功能有效地在不精確與／或不確定性的環境並且對準開發不精確、不確定性的容忍以及達到易處理、強健性與低解決成本的事實。在這個時機，軟性計算的主要構成要來為模糊邏輯、類神經計算與機率推論，使用包含最近的基因演算法、證據推論以及學習與渾沌理論的部分。

30. 31.5 總結與更多的閱讀 • 從模糊集合的歸屬函數可能性分佈的推論。 • 可能性測度、邊際與條件可能性分佈與非互相影響性的概念，它是由歸屬函數推論建立在可能性分佈上。 • 似合理性與相信制度與其關係的概念。 • 從似合理性與相信測度與其特質的可能性與必要性測度的推論。 • 在機率理論與模糊集合理論的相似與不同處。