1 / 41

Plan de la présentation

Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéaires B. Marx sous la direction de D. Georges et D. Koenig Laboratoire d’Automatique de Grenoble UMR CNRS-UJF-INPG B.P. 46, 38402 Saint Martin d’Hères, France. Introduction aux systèmes singuliers

dolf
Download Presentation

Plan de la présentation

An Image/Link below is provided (as is) to download presentation Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author. Content is provided to you AS IS for your information and personal use only. Download presentation by click this link. While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server. During download, if you can't get a presentation, the file might be deleted by the publisher.

E N D

Presentation Transcript

  1. Contribution à la commande et au diagnostic de systèmes algébro-différentiels linéairesB. Marxsous la direction de D. Georges et D. KoenigLaboratoire d’Automatique de GrenobleUMR CNRS-UJF-INPGB.P. 46, 38402 Saint Martin d’Hères, France 16 décembre 2003

  2. Introduction aux systèmes singuliers Placement optimal de capteurs et d'actionneurs Diagnostic robuste de défauts Commande multicritère et commande tolérante aux défauts Conclusion & Publications Introduction Plan de la présentation Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande Conclusion 16 décembre 2003

  3. Pour la modélisation de systèmes physiques on utilise des • relations dynamiques (loi de comportement, stockage, PFD, etc.) • relations statiques (maillage, équilibre de bilans, etc.) • On a donc un modèle du type : • après linéarisation, le modèle devient : • avec • on peut supposer Introduction Définition des Systèmes singuliers Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande Conclusion 16 décembre 2003

  4. pour P et Q non singulières on a : • Forme équivalente standard : sous-syst. usuel sous -syst. non propre • Forme équivalente par décomposition par valeurs singulières : dynamique statique Introduction Formes équivalentes Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande Conclusion 16 décembre 2003

  5. Réponse temporelle sous-syst. usuel sous syst. non propre Introduction Réponse temporelle Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande Conclusion • régularité unicité de la trajectoire x(t) pour u(t) et x0 données det(sE-A) 0 • système non impulsif •  admet une représentation usuelle •  a une fonction de transfert propre • N=0, dans la forme équivalente standard • A22 inversible dans la forme équivalente par SVD de E 16 décembre 2003

  6. signification physique des variables combinaison de relations dynamiques et statiques systèmes rectangulaires systèmes interconnectés systèmes impulsifs mauvais conditionnement de E-1A, pour E inversible Introduction Intérêts des systèmes singuliers Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande Conclusion 16 décembre 2003

  7.  K tel que les pôles finis de (E,A+BK) soient arbitrairement placés  L tel que les pôles finis de (E,A+LC) soient arbitrairement placés sous-syst. usuel observable sous-syst. usuel commandable     sous-syst. non propre commandable sous-syst. non propre observable (E,A,B)Imp- commandable (E,A,C)Imp- observable  K tel que (E,A+BK) soit non impulsif  L tel que (E,A+LC) soit non impulsif     (E,A,C) observable Introduction Commandabilité des syst. singuliers Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande Conclusion (E,A,B) commandable 16 décembre 2003

  8. i2(t) i1(t) R v(t) C L décrit par la forme singulière de fonction de transfert (E,A,B) R-commandable et Imp-commandable (E,A,C) R-observable et Imp-observable x(t), avec retour d'état normalisant Éstimée de x(t), avec retour d'état observé État du système Introduction Exemple Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande Circuit RLC parallèle : à t=1, on applique v=1 V Conclusion 16 décembre 2003

  9. Problème : quelles grandeurs mesurer ? sur quelles grandeurs agir ? Introduction Placement optimal de capteurs/actionneurs Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande Conclusion • Méthodes(pour systèmes usuels) : • • assurer l'observabilité / la commandabilité • • minimiser une erreur d'estimation / un coût de commande pour un type d'observateur / correcteur donné • • performances en boucle fermée (norme H,…) • • maximiser les transferts d'énergie 16 décembre 2003

  10. localisation • des actionneurs • localisation • des capteurs énergie énergie • • fondement théorique : interprétation énergétique des grammiens : Introduction Principe et avantages des méthodes énergétiques de POC/A Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande Conclusion • Principe : environnement (correcteur,…) environnement (observateur, correcteur,…) système énergie énergie • Avantages : • • ne dépend pas de la structure de supervision 16 décembre 2003

  11. (i)Gccc, GcnccetGcc= Gccc + Gcncc satisfont respectivement Introduction Calcul des grammiens généralisés pour systèmes singuliers Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande Conclusion Théorème. (ii) Si (E, A) est stable, Gccc 0, Gcncc 0etGcc  0, sont les uniques solutions de (1), (2) et (3) respectivement (iii)Si (E, A) est stable, (E, A, B) est commandable si et seulement si Gcc>0 est l'unique solution de (3). => Résultats analogues pour l'observabilité (par dualité) => Résultats en temps discrets déjà établis 16 décembre 2003

  12. (i) L'énergie de commande minimale pour amener un système en X, depuis x(t0)=0, en un temps infini, est donnée par : (ii) L'énergie de sortie d'un système libre, générée par une condition initiale x(0)=X, est donnée par : Introduction Interprétation énergétique des grammiens généralisés Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande Conclusion Théorème. Maximisation de Gdc => minimisation de l'énergie de commande Maximisation de (PQ)-TGdo(PQ)-1 => maximisation de l'énergie de sortie 16 décembre 2003

  13. Placement de nc capteursmaximiser l'énergie de sortie le placement optimal correspond à la matrice C solution de sous les contraintes et • Placement de na actionneursminimiser l'énergie de commande • le placement optimal correspond à la matrice B solution de • sous les contraintes et Introduction Optimisation de l'observabilité ou de la commandabilité Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande Conclusion  Problèmes d'optimisation entière 16 décembre 2003

  14. Les énergies de commande optimale, Eu(X), et de sortie, Ey(X), s'écrivent alors : et Introduction Réalisation et grammiens équilibrés Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande Pour (E,A,B,C) commandable et observable, il existe T1 et T2 telles que : cas continu : et cas discret : et où et Conclusion 16 décembre 2003

  15. Placement de nc capteurs et /ou na actionneurs maximiser l'énergie transmise des entrées vers les sorties, le placement optimal correspond à la matrice C et/ou B solution de sous les contraintes Introduction Optimisation jointe de l'observabilité et de la commandabilité Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande Conclusion 16 décembre 2003

  16. généralement insuffisant car : • bruits, dynamiques non modélisées, variation de paramètres… •  perturbations • biais, dérives, pannes,...  défauts •  besoin d'étudier les défauts, malgré les perturbations perturbations défauts mesures consigne actionneurs système capteurs générateur de résidus traitement des résidus nature, valeur, instant d'apparition,... des défauts Introduction Diagnostic robuste Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Modèle nominal Commande Conclusion 16 décembre 2003

  17. méthodes a priori - traitement (logique, statistique,...) des données brutes :  validation de bilans pour systèmes interconnectés Introduction Diagnostic robuste pour systèmes singuliers Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande Conclusion • méthodes a posteriori - comparaison entre des grandeurs mesurées et des grandeurs estimées : •  diagnostic robuste par filtrage-H •  diagnostic robuste par factorisation coprime •  estimation des fautes par observateur PI à entrées • inconnues 16 décembre 2003

  18. Introduction Validation de bilans pour systèmes interconnectés Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande • objectifs : •  détecter et localiser des défauts de mesures (dérives,…) •  détecter et localiser des défauts système (fuites,…) •  validité à l'apparition de défauts multiples Conclusion • méthode : •  approche graphique : système équivalent à un graphe •  génération de résidus par arcs et par nœuds •  logiques de décision pour générer des alarmes • résultats : •  détection et localisation de défauts multiples •  minimisation des fausses alarmes, •  décentralisation possible 16 décembre 2003

  19. Positionnement du problème : • système décrit par • ou Introduction Diagnostic par filtrage-H Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande Conclusion • Objectifs : •  génération de résidus •  modeler la réponse fréquentielle aux défauts •  imposer un gabarit de robustesse aux perturbations • Hypothèse : •  faisceau (E,A) régulier • Méthode : •  généralisation du filtrage-H aux systèmes singuliers 16 décembre 2003

  20. Wf(s) Wf(s) Wf(s) + f Gf(s) génération de résidus modelerGfr(s) gabarit de robustesse f Gf(s) génération de résidus modelerGfr(s) z f Gf(s) Gf(s) + génération de résidus modeler Gfr(s) gabarit de robustesse problème standard H génération de résidus - + - w d - d Wd(s) Gd(s) K(s) d Gd(s) + + K(s) r r Wd(s) Gd(s) Gd(s) + + K(s) z r + + + z u Gu(s) u Gu(s) r u y Gu(s) -Gu(s) -Gu(s) -Gu(s) K(s) Déterminer le K(s) qui minimise ||K(s)Gf(s)-Wf(s) K(s)Gd(s)Wd(s) || Déterminer le K(s) qui minimise ||K(s)Gf(s)-Wf(s)|| Déterminer le K(s) qui minimise la norme H deGwz(s) Introduction Diagnostic par filtrage-H Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste • Formulation sous forme de contrôle H : Commande Conclusion • Résolution : •  synthèse de K(s) par résolution de LMI strictes • Limite de cette approche : •  générateur de résidus éventuellement impulsif 16 décembre 2003

  21. Introduction Diagnostic par factorisation coprime Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande • Système : Conclusion • Objectifs : •  génération de résidus par des filtres propres •  modeler la réponse fréquentielle aux défauts •  imposer un gabarit de robustesse aux perturbations • Hypothèses : •  faisceau (E,A) régulier •  système (E,A,C) Imp-observable et détectable • Méthode : •  factorisation coprime du système •  formulation H du diagnostic 16 décembre 2003

  22. Un système régulier et Imp-observable admet une factorisation coprime avec • et Théorème. Introduction Factorisation coprime de systèmes singuliers Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande Conclusion •  cofacteurs propres, réalisables par une représentation usuelle Application à la génération de résidus •  générateur de résidus • propre (choix de L) 16 décembre 2003

  23. Wf(s) f Gf(s) • 1. Déterminer L, telle que (E,A+LC) soit admissible, par résolution d'une LMI stricte. d Wd(s) Gd(s) d z y + + - u Gu(s) • 2. Déterminer Qd(s), solution d'un problème H standard pour le système non singulier (LMI) f Gf(s) ~ -Nu(s) ~ M(s) + Gd(s) d y + u r Gu(s) r Qd(s) ~ -Nu(s) ~ M(s) + r Introduction Synthèse du module de diagnostic Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande • Théorème. Le choix du gain L, n'influe pas sur les performances du module de diagnostic Conclusion • Algorithme de synthèse du module de diagnostic. 16 décembre 2003

  24. Introduction Exemple de diagnostic par factorisation coprime Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande Conclusion • On considère le système défini par • avec • On applique la synthèse pour les fonctions de pondérations : 16 décembre 2003

  25. Introduction Exemple de diagnostic par factorisation coprime Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande Conclusion • Résultats obtenus : • Fautes (pointillés noirs) et résidus (traits rouge) • Valeurs singulières de la sensibilité à d (bleu), et gabarit (vert) 16 décembre 2003

  26. Introduction Estimation des défauts par observateur PI à entrées inconnues Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande • Système : Conclusion • Objectifs : •  estimation robuste de l'état et des défauts •  gabarit de robusesse • Hypothèses : •  (E, A, C) Imp-observable (H1) •  rang [EE1] = rang E (H2) •  défaut vérifiant df(t)/dt=0 (H3) • Méthode : •  extension de l'observateur PI aux systèmes singuliers •  synthèse d'un banc d'observateurs dédiés 16 décembre 2003

  27. f d u (') y • On propose l'observateur proportionnel-integral défini par : H L3 + - ^ f K L1+L2 M2 boucle integrale ^ y z ^ x J + M1 + C + •  gains à déterminer afin que • et M3 D F Introduction Observateur PI à entrées inconnues Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande • Système équivalent à () par compression des lignes de E : Conclusion 16 décembre 2003

  28. Pour : F=T1A-L2C , L1=FT2 , J=T1B-(L1+L2)B , H=T1R1-L2R2 M1=In , M2=T2 , M3=-T2D, K=R2, l'erreur d'estimation vérifie : avec • Existence • Théorème : sous (H1-H3), l'observateur PI converge •  les erreurs d'estimation sont stabilisables •  • Théorème : l'observateur PI optimal est solution de la minimisation de  sous les contraintes LMI • et • etLest donné parL=X-1Y • Synthèse Introduction Existence et synthèse de l'obs. PI Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande Conclusion 16 décembre 2003

  29.  Synthétiser un banc de nf observateurs : chaque observateur PI dédié à un défaut • Pour i=1,…nf l'observateur PI dédié optimal est déterminé par la minimisation de i sous les contraintes LMI suivantes • où Di est la (n+i)ème colonne de D • etLiest donné parLi=X1i-1Yi Introduction Diagnostic robuste par observateur PI à entrées inconnues Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande Conclusion •  Un gabarit de robustesse est assuré par une fonction de pondération fréquentielleWd(s) • Algorithme de synthèse du module de diagnostic. 16 décembre 2003

  30. Introduction Exemple d'application de l'observateur PI Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste • On considère le système défini par • avec : • et le filtre de pondération : Commande Conclusion 16 décembre 2003

  31. Introduction Diagnostic robuste pour systèmes singuliers : récapitulatif Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande Conclusion Validation de bilans Filtrage H Factorisation coprime Observateur PI à entrées inconnues Nature du système Structure maillée régime stationnaire (E,A) régulier (non impulsif) (E,A) régulier Imp-observable détectable Défauts à dynamiques lentes dans Im(E) Résolution Logique booléenne (E,A) régulier (non impulsif) Problème H non singulier LMI strictes LMI strictes placement de pôles Implémentation Automate logique Filtre singulier (admissible) d'ordre n Filtre propre d'ordre 2r+kf+fd Filtre propre d'ordre n+nf Application Génération de résidus, Génération d'alarmes Estimation robuste des fautes, Accomodation de la loi de commande Génération de résidus, Estimation robuste des fautes, Contrôle tolérant aux fautes Estimation robuste des fautes, Accomodation de la loi de commande 16 décembre 2003

  32. Introduction Commande multicritère Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande • Système : Conclusion • Objectifs : •  placement de pôles (O1) •  contrainte de norme-H sur le transfert de w vers z (O2) •  contrainte de norme-H2 sur le transfert de w vers z2 (O3) • Hypothèses : •  (E, A,B) Imp-commandable •  (E, A,C) Imp-observable •  Ker(E)  Ker(C2) • Méthode : •  formulation LMI des objectifs, et optimisation convexe 16 décembre 2003

  33. Théorème : (E,A) est D-admissible si et seulement si il existe une matrice P définie positive et une matriceStelles que EPET+APET + TEPAT+1mm(AVSUT+USTVTAT) < 0 avec VetUbase du noyau deE etET, et où 1ijdésigne la matrice(ij)de composantes égales à 1 Introduction caractérisation par LMI stricte du placement de pôles Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande Conclusion • Région LMI : région convexe de C 2 matrices =T et  • D-admissible : (E,A), stable, non impulsif et les v.p. finies  D •  Généralisé aux systèmes singuliers incertains 16 décembre 2003

  34. Théorème : Pour une région LMI D et deux réels 2 et  , il existe un retour d'état u(t)=Kx(t) tel que le système en boucle fermée satisfasse (01-03) si il existe des matrices P=PT>0, L, H et S telles que Introduction Synthèse des correcteurs pour commande multicritère Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste •  chaque objectif impose une contrainte LMI stricte Commande •  recherche d'un solution : convexité,… mais conservatisme Conclusion • et le gain est donné par K=(LET+HUT)(PET+VSUT)-1 •  méthode analogue pour le contrôle par retour dynamique de sorties 16 décembre 2003

  35. Introduction Commande tolérante aux fautes Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande • Système : Conclusion • Objectifs : •  performances nominales •  tolérance aux fautes et aux perturbations •  mise en œuvre de filtres propres • Hypothèses : •  (E, A) régulier •  (E, A,B) Imp-commandable et stabilisable •  (E, A,C) Imp-observable et détectable • Méthode : •  factorisation coprime •  formalisme H standard pour systèmes usuels 16 décembre 2003

  36. Réponse nominale  retour d'état observé • L et F déterminés par LMI strictes d f d f ref u y ref u y + G(s) + G(s) • Tolérance aux fautes  problème standard H • Qc(s) déterminé par synthèse de correcteur H d'un système non singulier. ~ -Nu(s) ~ M(s) + Qc(s) Xr-1(s) -Yr(s) + Xr-1(s) -Yr(s) Introduction Synthèse du correcteur pour la commande tolérante aux fautes Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande Conclusion •  filtres propres •  perf. nominales / tolérance aux fautes : traitées séparément 16 décembre 2003

  37. d f ref u y + G(s) ~ -Nu(s) ~ M(s) + r Qc(s) Qd(s) r Xr-1(s) -Yr(s) + Introduction Commande tolérante aux fautes adaptative Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande • Algorithme de contrôle adaptatif tolérant aux fautes. • 1 Déterminer F et L tels que (E,A+BF) et (E,A+LC) satisfassent les objectifs de contrôle nominal • 2 Déterminer le filtre de diagnostic robuste Qd(s) • 3 Déterminer nf filtres Qci(s) chacun dédié à une faute fi, et un filtre Qc0(s) pour le cas "sans faute" • 4 Implémenter le contrôleur ci-contre, avec • où Jd est la norme H du transfert de d sur r Conclusion 16 décembre 2003

  38. Résidus fournis par le module de diagnostic • Sorties, contrôle nominal avec d=f=0 (ronds), contrôle par retour d'état observé (pointillés), CTF (croix) et CTFA (trait). Introduction Application de la commande tolérante aux fautes Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande • On considère le système défini par • avec Conclusion 16 décembre 2003

  39. Introduction Conclusion & Perspectives Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande • On a proposé des méthodologies complémentaires de 1/ placement optimal de capteurs / actionneurs • 2/ diagnostic robuste • 3/ commande Conclusion • mais de nombreux sujets restent ouverts… • 1/ robustesse du POC / A • 2/ LTR et Loop shaping • 3/ décentralisation de la commande • 4/ aspects numériques de la mise en œuvre 16 décembre 2003

  40.  Georges, Benoit, Chovin, Koenig, Marx & Mauris, Distributed Instruments for Control and Diagnosis Applied to a Water Distribution System, IEEE Instrumentation and Measurement Technology Conference, Anchorage, USA, 2002.  Koenig, Mammar & Marx, H Fault Detection and Isolation for Descriptor : a Matrix Inequalities Approach, American Conference on Control, Anchorage, USA, 2002.  Marx, Koenig & Georges, Optimal sensor/Actuator Location for Descriptor Systems Using Lyapnov-Like Equations, 41st IEEE Conference on Decision and Control, Las Vegas, USA, 2002.  Marx, Koenig & Georges, Robust fault diagnosis for descriptor systems – a coprime factorization approach, IFAC SAFEPROCESS’03, Washington, USA, 2003.  Marx, Koenig & Georges, Robust pole-clustering in LMI regions for descriptor systems, a characterization via strict LMIs, European Control Conference, Cambridge, UK,2003.  Marx, Koenig & Georges, Robust fault diagnosis for linear descriptor systems using proportional integral obsevers, 42nd IEEE Conference on Decision and Control, Hawai, USA, 2003. Soumis: •  Marx, Koenig & Georges, Optimal sensor and actuator location for descriptor systems using generalized gramians and balanced realizations, soumis à American Control Conference, 2004 •  Marx, Koenig & Georges, Pole-Clustering, H2/H Control for Descriptor Systems : a Strict LMI Approach, soumis à IEEE transactions on automatic control (2003) •  Marx, Koenig & Georges, Fault Diagnosis and Robust Fault Tolerant Control for Descriptor Systems, soumis à Automatica (2003) Introduction Publications Syst. Sing. Plact Opt. CA Diag. Robuste Commande Conclusion 16 décembre 2003

  41. Merci de votre attention (ou de votre patience) 16 décembre 2003

More Related