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PROBABILIDAD Y ESTADISTICA IME261

PROBABILIDAD Y ESTADISTICA IME261. PROF.: Dra. Sonia Salvo Garrido. Ayudantes: Tamara Manzano Felipe Matheson. Primer Semestre 2006. Unidad I: Probabilidad. 1.0 Introducción. Los primeros estudios sobre probabilidad tuvieron su origen en los juegos de azar.

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  1. PROBABILIDAD Y ESTADISTICA IME261 PROF.: Dra. Sonia Salvo Garrido Ayudantes: Tamara Manzano Felipe Matheson Primer Semestre 2006

  2. Unidad I: Probabilidad

  3. 1.0 Introducción • Los primeros estudios sobre probabilidad tuvieron su origen en los juegos de azar. • Por muchos años las ideas de probabilidades estuvieron asociadas a los juegos de azar, hasta que en el siglo XVIII los matemáticos Laplace y Gauss muestran que las probabilidades son también aplicables a otras actividades. • La teoría de probabilidades conocida hoy en día fue desarrollada por el matemático Kolmogorov quien en su paper titulado “Foundations of Theory of Probability”, desarrolló la teoría axiomática de la probabilidad. • En esta unidad se presentará un modelo matemático que recoja la idea vaga de probabilidad que se tiene y le de un contexto preciso.

  4. 1.1 Conceptos Importantes • Experimento Aleatorio: Operación cuyo resultado no puede ser predicho con certeza antes de realizarlo. • Espacio Muestral (Ω): Conjunto de resultados posibles al desarrollar un experimento, que posee las siguientes características: • Si Ω tiene un número finito o infinito numerable de elementos, se dirá que es Discreto. • Si Ωtiene como elementos todos los puntos de algún intervalo de la recta real, se dirá que es Continuo. • Evento o Suceso: Subconjunto cualquiera del espacio muestral.

  5. Ωespacio muestral E espacio muestral E espacio muestral E espacio muestral SUCESO COMPLEMENTO SUCESO A A’ A A B B INTERSECIÓN UNIÓN

  6. Ejemplo 1: Seleccionar al azar una ficha desde una caja con seis fichas. El experimento consiste en extraer una ficha. Si las fichas están enumeradas del 1 al 6, entonces Ω={1,2,3,4,5,6}, con lo que el resultado de una extracción es un número entre el 1 y el 6.

  7. Ejemplo 2: Observar las caras de dos dados al ser lanzados al aire. El experimento consiste en lanzar dos dados al aire, por lo que el espacio muestral es: Este experimento tiene 36 eventos elementales. Se definen los siguientes eventos: A1: “La suma de los dos números es divisible por tres”. A2: “Los dos dados muestran el mismo número”. A3: “El segundo número es el cuadrado del primero”. Evidentemente estos eventos son compuestos y se pueden describir:

  8. E espacio muestral E espacio muestral 100% A B Definición de probabilidad • Probabilidad: Es una función de conjunto, definida sobre una clase Ade subconjuntos del espacio muestral Ω, tal que a un subconjunto cualquiera A de A le asocia un número P(A), llamado probabilidad de A, y que debe satisfacer los siguientes axiomas:

  9. A es una clase específica, una σ-álgebra, que incluye al conjunto ø, al espacio muestral y es cerrada bajo uniones e intersecciones numerables de sus conjuntos. • La formulación de los axiomas de probabilidad completa la descripción matemática de un experimento aleatorio, que consta de tres elementos fundamentales: un espacio muestral Ω, una σ-álgebra de eventos A, y la función de probabilidad P. • La terna ordenada (Ω, A, P) constituye un espacio de probabilidad asociado a un experimento aleatorio. • En todo experimento aleatorio, el espacio muestral Ω juega el papel de conjunto universal de manera que todos los complementos son tomados con respecto a Ω.

  10. Teorema 1.1: Sean A y B dos eventos arbitrarios ( ) f = a) P 0 ( ) = - C P ( A ) 1 P A b) ( ) £ Ì P ( A ) P B c) Si A B , entonces Teorema 1.2 : A Sean y B dos eventos arbitrarios ( ) ( ) ( ) È = + - Ç P ( A B ) P A P B P A B 1.3 Axiomas de Probabilidad

  11. W Teorema 1. 3 : Dado un espacio muestral y Ì W A cualquier evento ( ) ( ) k = P A P A å i = i 1 = donde A , i 1 ,... k son eventos elementales distintos y i k = A A U i = i 1

  12. Teorema de la urna: Consideremos una urna que contieneM elementos de la misma forma y numerados del 1 al M, donde los MI primeros elementos son del tipo I y los restantes MII = M- MI del tipo II. Se seleccionan n elementos de uno en uno y se definen los siguientes eventos:

  13. Conclusiones • Los Axiomas Ax1, Ax2 y Ax3 y sus resultados obtenidos, definen las propiedades de una medida de probabilidad, las cuales son consistentes con nuestra noción intuitiva. • El Teorema 1.3 da una caracterización de los eventos compuestos mediante eventos elementales, lo que facilita en gran medida el cálculo de probabilidades, sobre todo en aquellos casos en que Ω es finito.

  14. Ejemplo

  15. E espacio muestral “tamaño” de uno respecto al otro A B 1.4 Probabilidad Condicional, Independencia. A veces se sabe que un evento determinado ocurre y basándose en esta información, se quiere averiguar cuál es la probabilidad de otro evento. Probabilidad Condicional: Sean dos eventos A y B, la probabilidad condicional de que A ocurra, dado que ha ocurrido B, es: → Las probabilidades Condicionales satisfacen los axiomas de probabilidad.

  16. A A B B Intuir la probabilidad condicionada P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(AB) = 0,10 P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(AB) = 0,08 ¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B? P(A|B)=0,8 P(A|B)=1

  17. A A B B Intuir la probabilidad condicionada P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(AB) = 0,005 P(A) = 0,25 P(B) = 0,10 P(AB) = 0 ¿Probabilidad de A sabiendo que ha pasado B? P(A|B)=0 P(A|B)=0,05

  18. Probabilidad de la intersección: Esta probabilidad es frecuentemente más utilizada, ya que generalmente la probabilidad condicional aparece como dato, por lo tanto para cualquier par de eventos A1 y A2:

  19. Ejemplo En Temuco, la probabilidad de que llueva el primero de Julio es 0.5. Si llueve el día 1 de Julio, la probabilidad que llueva al día siguiente es 0.8. ¿Cuál es la probabilidad que llueva los dos primeros días de Julio?

  20. Ejemplo • Una caja contiene dos bolas blancas y tres negras. Una bola se selecciona al azar y enseguida se extrae la otra de las restantes. ¿Cuál es la probabilidad que la primera sea negra y la segunda blanca?. ¿Cuál es la probabilidad que la segunda sea blanca? • Definimos los siguientes eventos: • A: “la primera bola es negra” • B: “la segunda bola es blanca” • Tenemos entonces que P(A)=3/5 y la segunda extracción depende de lo que haya sucedido en la primera extracción. Si la primera fue negra, restan dos blancas y dos negras para la segunda extracción. Así, de acuerdo a nuestra notación P(B/A)=2/4 y luego • P(A∩B) = P(B/A)P(A) = 2/4 x 3/5 = 3/10 • Para la segunda pregunta, notemos que B = (A∩B) U (Ac∩B) y por Ax.3 • P(B) = P(A∩B) + P(Ac∩B) = 2/4 x 3/5 + 1/5 x 2/5 = 2/5

  21. Una caja de fusibles contiene 20 unidades, de los cuales 5 son defectuosas. Si tres de estos fusibles son tomados al azar, en sucesión y sin reemplazo. • ¿Cuál es la probabilidad de que los tres sean defectuosos? • Si en cada uno de las dos primeras se extrajo un defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que el tercero extraído sea bueno?. • Si los dos primeros estaban buenos, ¿Cuál es la probabilidad de que el tercero extraído sea defectuoso? • ¿Cuál es la probabilidad que los dos primeros sean buenos y el tercero defectuoso? • Considerando los siguientes eventos: • A = El primer fusible extraído es defectuoso. • B = El segundo fusible extraído es defectuoso. • C = El tercer fusible extraído es defectuoso. … Ejemplo

  22. … Del enunciado tenemos P(A) = 5/20, P(B/A) = 4/19 y P(C /A∩B) = 3/18 Para (a) notemos que la probabilidad que los tres sean defectuosos corresponde a la probabilidad de la intersección de los sucesos recién definidos; esto es. P(A∩B∩C), aplicando la regla del producto y reemplazando los valores correspondientes tenemos P(A∩B∩C) = P(C /A∩B) P(B/A) P(A) = 3/18 x 4/19 x 5/20 = 0.0087 La pregunta (b) es una probabilidad condicional y corresponde a: P(Cc /A∩B) = 1 – P(C /A∩B) = 1 – 3/18 = 15/18 = 0.83 Para la parte (c) tenemos que: P(C / Ac ∩ Bc) = 5/18 = 0.277 Finalmente, la probabilidad de que los primeros sean buenos y el tercero defectuoso está dada por P(Ac ∩ Bc ∩ Cc) = P(C / Ac ∩ Bc) P(Bc /Ac) P(Ac) = 0.15

  23. B B = (B∩A1) U (B∩A2) U ( B∩A3) U ( B∩A4) Divide y vencerás A2 A1 Todo suceso B, puede ser descompuesto en componentes de dicho sistema. A3 A4 Nos permite descomponer el problema B en subproblemas más simples. Créeme. Funciona.

  24. B Teorema de la probabilidad total A2 A1 Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces… … podemos calcular la probabilidad de B. A3 A4 P(B) = P(B∩A1) + P(B∩A2) + P( B∩A3) + ( B∩A4) =P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + …

  25. Ejemplo: En este aula el 70% de los alumnos son varones. De ellos el 10% son fumadores. De las mujeres, son fumadoras el 20%. • ¿Qué porcentaje de fumadores hay en total? • P(F) = P(F∩H) + P(F∩M) = P(F|H) P(H) + P(F|M) P(M)=0,2 x 0,3 + 0,1 x 0,7 • = 0,13 =13% • ¿Se elige a un individuo al azar y resultafumador. ¿Cuál es la probabilidad de que sea un hombre? • P(H|F) = P(F ∩ H)/P(F) = P(F|H) P(H) / P(F) = 0,2 x 0,3 / 0,13 = 0,46 = 46% T. Prob. Total. Hombres y mujeres forman Un Sist. Exh. Excl. De sucesos Mujeres Varones T. Bayes fumadores

  26. Expresión del problema en forma de árbol Fuma P(F) = 0,7 x 0,1 + 0,3x0,2 0,1 Hombre 0,7 0,9 No fuma P(H | F) = 0,3x0,2/P(F) Estudiante • Los caminos a través de nodos representan intersecciones. • Las bifurcaciones representan uniones disjuntas. • Podéis resolver los problemasusando la técnica de vuestrapreferencia. Fuma 0,2 0,3 Mujer 0,8 No fuma

  27. B Teorema de Bayes Si conocemos la probabilidad de B en cada uno de los componentes de un sistema exhaustivo y excluyente de sucesos, entonces… …si ocurre B, podemos calcular la probabilidad (a posteriori) de ocurrencia de cada Ai. A2 A1 A3 A4 donde P(B) se puede calcular usando el teorema de la probabilidad total: P(B)=P(B∩A1) + P(B∩A2) + P( B∩A3) + ( B∩A4) =P(B|A1) P(A1) + P(B|A2) P(A2) + …

  28. Ejemplo • El gerente de una empresa regional dispone de dos autos; uno proporcionado por la empresa y el otro de su propiedad. La probabilidad que utilice su auto es 2/5 y la probabilidad que utilice el auto de la empresa es 3/5. Además se sabe que el gerente llega a tiempo a las reuniones de la empresa con probabilidad de 1/5 y que se utiliza el auto de la empresa, la probabilidad de llegar a tiempo a esas reuniones es 1/4. ¿Cuál es la probabilidad que llegue a tiempo a una reunión dado que utilizó su propio auto?. Dado que el gerente llegó a tiempo a la reunión, ¿Cuál es la probabilidad que haya utilizado el auto de la empresa? • Definamos los siguientes eventos: • A: “el gerente utiliza auto propio”. • B: “el gerente utiliza auto proporcionado por la empresa”. • C: “el gerente llega a tiempo a las reuniones”. …

  29. … Tenemos entonces de acuerdo al enunciado que: P(A) = 2/5, P(B)=3/5, P(C) = 1/5 y P(C/B) = 1/4 La primera pregunta corresponde a P(C/A). Del teorema de la probabilidad total tenemos P(C) = P(C /A) P(A) + P(C/B) P(B), de donde P(C/A) = [P(C) – P(C/B)P(B)] / P(A) = [1/5 – (1/4 x 3/5)] / (2/5) = 1/8 La segunda corresponde a P(B/C) y es una aplicación directa del teorema de Bayes. En efecto: P(B/C) = [P(C/B) P(B)] / [P(C/B) P(B) + P(C/A) P(A) = [1/4 x 3/5] / [(1/4 x 3/5) + (1/8 x 2/5)] = 3/4

  30. Dos sucesos son independientes si el que ocurra uno • no añade información sobre el otro. En lenguaje probabilístico: • A indep. B  P(A|B) = P(A) • Dicho de otra forma: • A indep. B  P(AB) = P(A) P(B)

  31. Sistema exhaustivo y excluyente de sucesos A2 A1 Son una colección de sucesos A1, A2, A3,A4… Tales que la unión de todos ellos forman el espacio muestral, y sus intersecciones son disjuntas. A3 A4

  32. Ejemplo Sean A y B dos sucesos independientes, entonces A y Bc son independientes. En efecto: Así, de acuerdo a la definición de independencia entre eventos, A y Bcson independientes.

  33. Ejemplo • La probabilidad que un estudiante estudie para un examen final es 0.20. Si estudia, la probabilidad de que apruebe el examen es 0.80 en tanto que si no estudia, la probabilidad es de sólo 0.50. ¿Cuál es la probabilidad que dicho estudiante apruebe su examen final?. Dado que aprobó su examen, ¿Cuál es la probabilidad que él haya estudiado?. • Consideremos los siguientes eventos: • A: “el estudiante estudia para el examen”. • B: “el estudiante aprueba el examen”. …

  34. … Del enunciado tenemos que: P(A) = 0.20, P(B/A)=0.80, P(B/Ac) = 0.50. La primera pregunta corresponde a la probabilidad de que B ocurra; esto es: P(B) = P(B /A) P(A) + P(B/Ac) P(Ac) = 0.56 reemplazando los valores correspondientes. Notemos que los eventos A y B no son independientes. Por otra parte, la probabilidad que el estudiante haya estudiado, dado que aprobó su examen esta dada por: P(A/B) = P(A∩B) / P(B) = P(B/A)P(A) / P(B) = (0.8 x 0.2) / 0.56 = 0.286

  35. Ejemplo • Se extrae una carta al azar de un juego de naipes de 52 cartas. Dado que la carta extraída es un “mono”, nos interesa determinar la probabilidad que dicha carta sea de “corazón”. • Consideremos los eventos: • A: “la carta extraída es de corazón” • B: “la carta extraída es un mono” • En términos probabilísticos, la pregunta corresponde a la probabilidad condicional de A dado B así:

  36. Ejemplo • Se usa un interruptor para cortar un flujo cuando este alcanza un cierto nivel de profundidad en un estanque. La confiabilidad del interruptor (probabilidad que trabaje cuando debe) se supone de 0.9. Un segundo tipo de interruptor es puesto en paralelo y su confiabilidad es 0.7. Los interruptores trabajan en forma independiente. • ¿Cuál es la confiabilidad de la combinación de los interruptores? • ¿Cuál es la probabilidad, que cuando el flujo alcance el nivel de profundidad sólo trabaje el primer interruptor? • ¿Cuál es la probabilidad que cuando se alcance el nivel, sólo uno de los interruptores trabaje? • Considerando los siguientes eventos: • A1 = “Primer interruptor trabaja”. • A2= “Segundo interruptor trabaja”. …

  37. a) La confiabilidad del sistema está dada por la probabilidad del evento “al menos uno de los dos interruptores trabaja”, que corresponde a la probabilidad del evento A1 U A2 b) Se debe determinar la probabilidad de A1 ∩ A2c, que corresponde al evento que el interruptor 1 trabaje y el 2 no. c) Definamos los eventos: A: “Sólo trabaja el interruptor 1” = A1 ∩ A2c B: “Sólo trabaja el interruptor 2” = A1c ∩ A2

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