Probabilidad y Procesos Estocásticos

1. Probabilidad y Procesos Estocásticos Variable Aleatoria Multidimensional René Játiva Espinoza

2. Estadística Conjunta de dos variables aleatorias • Dadas las v.a. x, e y, se desea determinar la probabilidad de que el punto (x,y) se encuentre en una región especificada D, del plano xy. • Esta probabilidad no puede expresarse en términos de Fx(x) y Fy(y). • La estadística conjunta de las v.a. x e y están completamente determinadas si la probabilidad de este evento se conoce para cada x e y. René Játiva Espinoza

3. y y1 D y2 x X1 X2 Estadística Conjunta de dos variables aleatorias René Játiva Espinoza

4. Densidad y Distribución Conjuntas • La distribución conjunta de las v.a. x, e y se nota por Fxy(x,y) o por F(x,y), y corresponde a la probabilidad del siguiente evento: • La densidad conjunta de las v.a. x, e y es por definición la función siguiente: René Játiva Espinoza

5. Propiedades de la Distribución Conjunta • La función F(x,y) es tal que se cumple: René Játiva Espinoza

6. Propiedades de la Distribución Conjunta • Dados los eventos {x1<x<x2,y≤y} y {x<x,y1<y≤y2} se cumple: • Dado el evento {x1<x<x2,y1<y≤y2}, puede demostrarse lo siguiente: René Játiva Espinoza

7. Estadística Conjunta • Puede demostrarse que la probabilidad de que el punto (x,y) esté en la región D del plano xy es igual a la integral de f(x,y) en D, siendo {(x,y) elemento de D} el evento que contiene todas las realizaciones tales que el punto (x,y) se encuentre en D. René Játiva Espinoza

8. Estadísticos Marginales • En el estudio de algunas v.a., los estadísticos de cada uno de ellos se denominan marginales. Así, Fx(x) y fx(x) son la la distribución marginal y la densidad marginal de x, respectivamente. En particular: René Játiva Espinoza

9. El Caso Discreto • Si las v.a, x e y son discretas y toman los valores xi e yk con probabilidades p{x=xi}=pi, p{y=yk}=qk, su estadística conjunta se determina en términos de probabilidades conjuntas p{x=xi,y=yk}=pik • Se cumple lo siguiente: René Játiva Espinoza

10. Teorema de Existencia • Dada una función F(x,y) o f(x,y) que cumpla las siguientes propiedades, pueden encontrarse dos v.a., x e y definidas en algún espacio U, con distribución F(x,y) o densidad f(x,y). René Játiva Espinoza

11. Normalidad Conjunta • Se dice que las v.a, x e y son normalmente conjuntas si su densidad conjunta está dada por f(x,y), y se nota por N(η1,η2,σ1,σ2,r). • Las densidades marginales corresponden a fx(x) y fy(y). René Játiva Espinoza

12. Normalidad Conjunta • En particular cuando r=0, η1=η2=0, y σ1=σ2=σ, f(x,y), se reduce a N(0,0,σ,σ,0), y fx(x) y fy(y) son distribuciones normales de media cero y varianza : • Observación: Si dos v.a., son conjuntamente normales, ellas serán marginalmente normales. Lo inverso no es cierto. René Játiva Espinoza

13. Dos funciones de dos variables aleatorias • Dadas dos v.a. x e y, y dos funciones g(x,y) y h(x,y), formamos las v.a. z y w. Se desea obtener la estadística conjunta de z y w en términos de las funciones g(x,y) y h(x,y) y de la estadística conjunta de x e y. René Játiva Espinoza

14. Densidad Conjunta • Dadas las v.a. x, y, z, w, y las funciones g(x,y) y h(x,y), se puede demostrar que fzw(z,w) puede calcularse como sigue: René Játiva Espinoza

15. w y y1 w1 Dxy Dzw y2 w2 x z z1 z2 X1 X2 Estadística Conjunta de dos variables aleatorias René Játiva Espinoza

16. Densidad Conjunta • Donde J(x,y) es el Jacobiano de la transformación, y todos los pares (xn,yn) son las raíces reales que resultan de resolver el sistema g(x,y)=z y h(x,y)=w. • El teorema anterior se prueba considerando que el diferencial de área dzdw se relaciona con los diferenciales en el plano xy a través del Jacobiano: René Játiva Espinoza

17. Momentos Conjuntos • Dadas dos v.a. x e y, y una función g(x,y) de forma que z=g(x,y), se cumple que: René Játiva Espinoza

18. Covarianza • La covarianza C o Cxy de dos v.a. x e y, y el coeficiente de correlación r son por definición los números siguientes, donde r cumple las dos propiedades siguientes: René Játiva Espinoza

19. Función Característica Conjunta • La función característica Φ(w1,w2) de las v.a. x e y, es por definición la integral siguiente: René Játiva Espinoza

20. Segunda Función Característica Conjunta • La segunda función característica Ψ(w1,w2) de las v.a. x e y, es por definición el logaritmo natural de la primera: René Játiva Espinoza

21. Teorema de Momentos • La función generadora de momentos de x e y está dada por: René Játiva Espinoza

22. Teorema de Momentos • Las derivadas de la segunda función generadora de momentos de x e y son por definición los cumulantes conjuntos λkr de x e y. También puede demostrarse lo siguiente: René Játiva Espinoza

23. Ejercicios • Sean X e Y variables aleatorias estadísticamente independientes, con distribuciones Gaussianas, de media cero y varianza unitaria. Se define el proceso Gaussiano Z(t)=Xcos(2πt)+Ysin(2πt). • A) Determine la función de densidad de probabilidad conjunta de las variables aleatorias Z(t1) y Z(t2) que se obtiene de observar Z(t) en los instantes t1 y t2 respectivamente. • B) ¿Es el proceso Z(t) estacionario? ¿Por qué? René Játiva Espinoza

24. Ejercicios René Játiva Espinoza

25. Ejercicios Calculemos el Jacobiano de la Transformación y resolvamos el sistema para x e y. René Játiva Espinoza

26. Ejercicios Reemplazando los valores anteriores se tiene que la función de densidad conjunta de z(t1) y z(t2) es la siguiente: René Játiva Espinoza

27. Ejercicios • R: Se observa que la función de densidad conjunta del proceso Z(t) para los instantes t1 y t2 depende únicamente de la diferencia entre los instantes de tiempo seleccionados, τ= t2-t1. Esto significa que el proceso de salida Z(t) es estacionario respecto de la función de correlación cruzada, y puesto que el valor medio de las variables de salida es constante e igual a cero para cualquier valor de t, se demuestra que el proceso es estacionario en sentido amplio. Así mismo se observa que la función de densidad conjunta corresponde a una distribución Gaussiana, por tanto este proceso es también estacionario en sentido estricto. René Játiva Espinoza

28. Ejercicios: Fabrega 3 C3 • Un sistema de comunicación transmite uno de los cuatro mensajes m1=(1,1), m2=(-1,1), m3=(-1,-1) o m4=(1,-1). El receptor recibe el mensaje (z1,z2)=mi+(n1,n2), donde mi es el mensaje transmitido y (n1,n2) es el valor que toma la variable aleatoria (N1,N2), donde N1 y N2 son Gaussianas normalizadas independientes. El receptor decide que se ha enviado el mensaje mi si (z1,z2) está en el cuadrante i (Vea la figura). ¿Cuál es la probabilidad de error en términos de la función complementaria de error evaluada en el punto 1, Q(1). René Játiva Espinoza

29. Ejercicios: Fabrega 6 C3 • Sea (X,Y) una variable aleatoria con función de densidad conjunta fXY(x,y). Encuentre la función de densidad marginal fX(x). René Játiva Espinoza

30. Ejercicios: Fabrega 16 C3 • Sean X,Y, dos variables aleatorias independien-tes, de valor medio cero y varianza σ2. ¿Cuál es la función de densidad de probabilidad de P=(X2+Y2)1/2? (Utilice coordenadas polares) René Játiva Espinoza

31. Ejercicios: Fabrega 16 C3 • La función de densidad conjunta en el nuevo sistema de coordenadas, se calcula como sigue: René Játiva Espinoza

32. Ejercicios: Fabrega 16 C3 • Por fin calculemos la función de densidad marginal de P requerida: René Játiva Espinoza

33. Ejercicios • Encuentre la expresión de la segunda función característica de la v.a, n, si ésta tiene una distribución de Poisson con parámetro a. René Játiva Espinoza

34. Ejercicios C3 • Demuestre que si las v.a, x e y son independientes, y verifican la distribución de Poisson, con parámetros a y b respectivamente, su suma z=x+y también verifica la distribución de Poisson con parámetro a+b. René Játiva Espinoza

35. Ejercicios C3 • Demuestre que si las v.a, x e y son normales e independientes, entonces su suma z=x+y es también normal. René Játiva Espinoza

36. Ejercicios: Fabrega C3 • Si el cabezal de un disco se posiciona aleatoria-mente en cualquier punto a lo largo de su radio, de longitud R; determine la función de densidad de la v.a. D que se origina cuando el cabezal se desplaza entre dos accesos consecutivos. René Játiva Espinoza

37. Ejercicios: Fabrega C3 • Calculemos la función de distribución conjunta de X=Xi e Y=Xi+1: René Játiva Espinoza

38. Y R-d R R d X R d Ejercicios: Fabrega C3 • A partir de la geometría calculemos la función de distribución de D: René Játiva Espinoza

39. Ejercicios: Fabrega C3 • El área del trapecio A, puede calcularse, a partir de su geometría; y a partir de la función de distribu-ción, se calcula la pdf. Note que la función de distribución también puede calcularse como sigue: René Játiva Espinoza

40. Ejercicios: Fabrega 39 C3 • Sean las v.a, x e y; cuya función de densidad conjunta fxy(x,y) está dada por la siguiente expresión. A) Determine las funciones de densidad marginales fx(x) y fy(y). B) Calcule su covarianza. C) determine si son independientes. René Játiva Espinoza

41. Ejercicios: Fabrega 39 C3 René Játiva Espinoza

42. Ejercicios: Fabrega 39 C3 René Játiva Espinoza

43. Ejercicios: Fabrega 44 C3 • Se escoge un punto aleatoriamente con distribución uniforme en la región R. ¿Cuál es la probabilidad de que |x-y| sea menor o igual que 1, si x es mayor o igual que 2? René Játiva Espinoza

44. Ejercicios: Fabrega 44 C3 • Calculemos el valor de AR y de la función de densidad conjunta de x e y. René Játiva Espinoza

45. Ejercicios: Fabrega 44 C3 • Calculemos ahora la probabilidad de que el punto (x,y) se encuentre dentro de la región especificada: René Játiva Espinoza

46. Ejercicios: Fabrega 45 C3 • Una moneda con probabilidad de cara p(cara)=p se lanza N veces, donde N es una v.a, de Poisson con parámetro λ. Pruebe que el número X de caras,y Y de cruces en los N lanzamientos son v.a, indepen-dientes. ¿Se puede decir lo mismo si N es un número fijo? René Játiva Espinoza

47. Ejercicios: Fabrega 45 C3 • Puesto que N=X+Y, para probar que X e Y son v.a, independientes, bastará probar que el producto de sus funciones características corresponde a la función característica de N. René Játiva Espinoza

48. Ejercicios: Fabrega 45 • Calculemos las funciones características de X y de Y: René Játiva Espinoza

49. Ejercicios: Fabrega 45 • En forma similar para la v.a, Y: A) Se compueba que en efecto X e Y son v.a. Independientes. B) En caso de N fijo, las v.a. X e Y son dependientes: Y=N-X René Játiva Espinoza

50. Ejercicios: Fabrega 14 C4 • De una urna con dos bolas blancas y tres negras se extraen dos bolas. Sea X la v.a, que representa el número de bolas blancas extraídas. • A) Determine la función característica de X, MX(w) • B) Usando la función característica, encuentre la esperanza y la varianza de X • C) De otra urna idéntica a la anterior se extraen igualmente dos bolas. Encuentre la función característica de la v.a. Y que representa el número de bolas blancas extraídas entre las dos extracciones. • R: MX(w)=(3+6ejw+ej2w)/10 René Játiva Espinoza