probabilidad y estadistica l.
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PROBABILIDAD Y ESTADISTICA. PROBABILIDAD. PROBABILIDAD. El concepto de probabilidad es manejado por mucha gente. Frecuentemente se escuchan preguntas como las que se mencionan a continuación: ¿ Cuál es la probabilidad de que me saque la lotería o el melate ?

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- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
probabilidad

PROBABILIDAD

El concepto de probabilidad es manejado por mucha gente. Frecuentemente se escuchan preguntas como las que se mencionan a continuación:

¿ Cuál es la probabilidad de que me saque la lotería o el melate ?

¿ Qué posibilidad hay de que me pase un accidente automovilístico ?

¿ Qué posibilidad hay de que hoy llueva ? para llevar mi paraguas o no.

¿ Existe alguna probabilidad de que repruebe el primer parcial ?,

probabilidad3

PROBABILIDAD

Estas preguntas en el lenguaje coloquial esperan como respuesta una medida de confianza representativa o práctica de que ocurra un evento futuro, o bien de una forma sencilla interpretar la probabilidad.

En este curso lo que se quiere es entender con claridad su contexto, como se mide y como se utiliza al hacer inferencias.

probabilidad4
PROBABILIDAD

El conocimiento de la probabilidad es de suma importancia en todo estudio estadístico.

El cálculo de probabilidades proporciona las reglas para el estudio de los experimentos aleatorios o de azar, que constituyen la base para la estadística inferencial.

probabilidad5
PROBABILIDAD

Fenómenos Aleatorios y

Fenómenos Deterministicos.

Fenómeno Aleatorio.-

Es un fenómeno del que no se sabe que es lo que va a ocurrir, están relacionados con el azar o probabilidad.

Fenómeno Determinista.-

Es el fenómeno en el cual de antemano se sabe cual será el resultado.

probabilidad6
PROBABILIDAD

La probabilidad estudia el tipo de fenómenos aleatorios.

Experimento aleatorio.-

Una acción que se realiza con el propósito de analizarla. Tiene como fin último determinar la probabilidad de uno o de varios resultados.

Se considera como aleatorio y estocástico, si sus resultados no son constantes.

Puede ser efectuado cualquier número de veces esencialmente en las mismas condiciones.

probabilidad7
PROBABILIDAD

Un experimento es aleatorio si se verifican las siguientes condiciones:

  • Se puede repetir indefinidamente, siempre en las mismas condiciones;
  • Antes de realizarlo, no se puede predecir el resultado que se va a obtener;
  • El resultado que se obtenga, s, pertenece a un conjunto conocido previamente de resultados posibles.
probabilidad8
PROBABILIDAD

Ejemplos:

Tirar dardos en un blanco determinado

Lanzar un par de dados

Obtener una carta de una baraja

Lanzar una moneda

probabilidad9
PROBABILIDAD

Otros ejemplos de eventos:

A: que al nacer un bebe, éste sea niña

B: que una persona de 20 años, sobreviva 15 años más

C: que la presión arterial de un adulto se incremente ante un disgusto

probabilidad10
PROBABILIDAD

Probabilidad e Inferencia.

Se presentan dos candidatos al cargo de la presidencia del CEUDLA, y se desea determinar si el candidato X puede ganar.

Población de interés: Conjunto de respuestas de los estudiantes que votarán el día de las elecciones.

Criterio de gane: Si obtiene el más del 50% de los votos.

probabilidad11
PROBABILIDAD

Supóngase que todos los estudiantes de la UDLA van a las urnas y se elige de manera aleatoria, una muestra de 20 estudiantes.

Si los 20 estudiantes apoyan al candidato

¿ Qué concluye respecto a la posibilidad que tiene el candidato X de ganar las elecciones ?

probabilidad12
PROBABILIDAD

1.- EL CANDIDATO X GANARA

2.- EL CANDIDATO Y GANARA

3.- NO SE PUEDE CONCLUIR NADA

probabilidad13
PROBABILIDAD

1.- EL CANDIDATO X GANARA

GANAR IMPLICA OBTENER MAS DEL 50%

Y COMO LA FRACCION QUE LO FAVORECE EN LA MUESTRA ES 100%, ENTONCES LA FRACCION QUE LO FAVORECERA EN LA POBLACION SERA IGUAL.

¿ ES CORRECTA ESTA INFERENCIA ?.

probabilidad14
PROBABILIDAD

TOME UNA MONEDA HONRADA Y LANCELA 20 VECES ANOTANDO LOS RESULTADOS.

LLAME X = CAE AGUILA

Y = CAE SOL.

¿ CUAL ES LA FRACCION DE AGUILAS Y CUAL ES LA FRACCION DE SOLES ?.

probabilidad15
PROBABILIDAD

TOME UNA MONEDA HONRADA Y LANCELA 20 VECES ANOTANDO LOS RESULTADOS.

LLAME X = CAE AGUILA

Y = CAE SOL.

¿ CUAL ES LA FRACCION DE AGUILAS Y CUAL ES LA FRACCION DE SOLES ?.

probabilidad16
PROBABILIDAD

1.- EL CANDIDATO X GANARA

SERIA IMPOSIBLE QUE 20 DE LOS 20 VOTANTES DE LA MUESTRA LO APOYARAN, SI EN REALIDAD, MENOS DEL 50% DE LOS VOTANTES PENSARIA VOTAR POR EL.

¿ ES CORRECTA ESTA INFERENCIA ?.

probabilidad17
PROBABILIDAD

NO.

SI BIEN NO ES IMPOSIBLE OBTENER 20 VOTANTES A FAVOR DE X EN UNA MUESTRA DE 20, SI ES PROBABLE QUE MENOS DEL 50% DE LOS VOTANTES ESTE A FAVOR DE EL, AUN CUANDO SEA MUY POCO PROBABLE.

probabilidad18
PROBABILIDAD

Espacio Muestral

Es el conjunto de todos los posibles resultados de interés de un experimento dado, y se le denota normalmente mediante la letra S.

Ejemplos:

1.- Experimento: Se lanza una moneda.

Espacio muestral = total de formas en como puede caer la moneda, o sea dos formas de interés, que caiga sol o que caiga águila. (Si cae de canto no es de interés y se repite el lanzamiento).

S= {s, a }

probabilidad19
PROBABILIDAD

2.- Experimento: Se lanza un dado.

Espacio muestral = total de caras en que puede caer el dado, o sea seis formas de interés:

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }

probabilidad20
PROBABILIDAD

Los eventos aleatorios se denotan normalmente con las letras mayúsculas A, B, C, ...

Son subconjuntos de S, esto es, A, B, C,… S

Los eventos aleatorios son conjuntos que pueden contener un solo elemento, una infinidad de elementos, y también no contener ningún elemento.

Al número de puntos muestrales de S se le representa por N(S)

probabilidad21
PROBABILIDAD

Eventos aleatorios que aparecen con gran frecuencia en el cálculo de probabilidades:

Evento seguro.- Siempre se verifica después del experimento aleatorio, son los mismos del espacio muestral.

E = S y N(E) = N(S)

Evento Imposible.- Es aquel que nunca se verifica como resultado del experimento aleatorio. No tiene elementos de interés para su fenómeno. Es un subconjunto de S, y la única posibilidad es que el evento imposible sea el conjunto vacío.

 S, y N() = 0

probabilidad22
PROBABILIDAD

Evento Elemental.- Es el evento E que contiene exactamente un punto muestral de S, esto es, N(E) = 1.

Cada elemento del espacio muestral, es un evento elemental. También se le denomina como punto muestral.  

Si s1, s2 S entonces s1, s2 son eventos elementales.

probabilidad23
PROBABILIDAD

Ejemplos (1) y (2):

En el experimento 1,

S= {s, a }, s y a son sucesos elementales

N(S) = 2

A = Que caiga sol = { s }, N(A) = 1

B = Que caiga águila = { a }, N(B) = 1

probabilidad24
PROBABILIDAD

En el experimento 2,

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }, 1, 2, 3, 4, 5 y 6 son sucesos elementales, y

N(S) =6

A = Que caiga un uno = { 1 }

B = Que caiga un dos = { 2 }

: : :

F = Que caiga un seis = { 6 }

probabilidad25
PROBABILIDAD

Evento Compuesto.- Es el evento E que contiene más de un punto muestral de S, por tanto

N(E) > 1

Evento contrario a un evento A: También se denomina evento complemento de A y es el evento que se verifica si, como resultado del experimento aleatorio, no se verifica A.

Ya que los eventos son conjuntos, este evento se denota con el símbolo Ac o bien Ā, y se define como:

probabilidad26
PROBABILIDAD

Ejemplo:

Experimento: Se lanza una moneda tres veces.

Espacio Muestral:

Ω = {(S,S,S),(S,S,A),(S,A,S),(A,S,S),(A,A,S),(A,S,A),(S,A,A),(A,A,A)},

N(Ω) = 8, S es el evento seguro.

Evento simple:

B:Que salgan tres soles; B ={ (S,S,S) } , N(B) = 1

Evento compuesto:

E: Que salgan al menos dos soles;

E = { (S,S,S), (S,S,A), (S,A,S), (A,S,S) }, N(E) = 4

Evento imposible:  (conjunto vacio). N() = 0

probabilidad27
PROBABILIDAD

Si un espacio muestral contiene n puntos muestrales, hay un total de 2n subconjuntos o eventos ( se le conoce como conjunto potencia ).

Por tanto para el ejemplo anterior existen:

28 = 256, eventos posibles.

Para el caso del experimento: se tira una moneda,

el espacio muestral es de 2 puntos muestrales

S = {A, S}, por lo que se tienen 22 = 4 subconjuntos y el conjunto potencia es: (A,S), (A), (S),  (conjunto vacio).

probabilidad28
PROBABILIDAD

Operaciones Básicas con Eventos Aleatorios

Ya que los eventos aleatorios son subconjuntos del conjunto Ω, espacio muestral, se pueden aplicar las conocidas operaciones con conjuntos, a los eventos, como son la unión, la intersección y la diferencia de eventos.

probabilidad30

S

A

B

PROBABILIDAD

Gráficamente estas operaciones se pueden representar a través de los diagramas de Venn.

Sea Ω el espacio muestral y A y B eventos tal que A, B  Ω gráficamente se puede expresar como:

Fig. 1 Los eventos A y B no tienen elementos del espacio muestral en común.

probabilidad31

S

A

B

PROBABILIDAD

Fig 2. Los eventos A y B tienen elementos del espacio muestral en común.

probabilidad32
PROBABILIDAD

De acuerdo a lo indicado en las figuras 1 y 2, la unión de dos eventos se presenta de dos formas diferentes: cuando los eventos son mutuamente exclusivos (que no tienen elementos en común) y cuando entre los eventos hay elementos comunes.

Definición.- Se dice que dos eventos A y B son mutuamente exclusivos, cuando no pueden ocurrir simultáneamente, es decir, A  B = , lo que ocurre en la fig. 1.

probabilidad33
PROBABILIDAD

Ejemplo:

Experimento: Se lanza un dado.

Espacio muestral = total de caras en que puede caer el dado, o sea seis formas de interés:

S = { 1,2,3,4,5,6 }, N(S) = 6

Sean A, B, C los eventos:

A: Que caiga un número impar = { 1, 3, 5 } ,

N(A) = 3

B: Que caiga un número mayor de 2 y menor que 5 = { 3, 4 }, N(B) = 2

C: Que caiga un número par = { 2, 4, 6 } ,

N(C) = 3

probabilidad34
PROBABILIDAD

A B = { 1, 3, 5 } { 3, 4 } = {1,3,4,5}, N(A B) = 4

A  C = { 1, 3, 5 } { 2,4,6 } = {1,2,3,4,5,6}=S, N(A C) = N(S) = 6

B  C = { 3, 4 }  { 2, 4, 6 } = {2,3,4,6}, N(B  C) = 4

A B  C = { 1, 3, 5 } { 3, 4 } { 2,4,6 }= {1,2,3,4,5,6}=S,

N(A B  C) = 6

S

B

1

A

3

4

5

C

2

6

probabilidad35
PROBABILIDAD

A  B={ 1, 3, 5 }  { 3, 4 } = {3}, N(AB) = 1

A  C={ 1, 3, 5 }  { 2,4,6 } = {}, N(A  C) = N{) = 0

B  C={ 3, 4 }  { 2, 4, 6 } = {4}, N(B  C) = 1

(A  B)  C = ({ 1, 3, 5 }  { 3, 4 })  { 2,4,6 }= {3} { 2,4,6 }={},

N((A  B)  C) = N{) = 0

A  (B  C) = { 1, 3, 5 }  ({ 3, 4 }  { 2,4,6 })= { 1, 3, 5 }  { 4 }={},

N(A  (B  C)) = N{) = 0

S

B

A

3

4

C

probabilidad36
PROBABILIDAD

A – B = ={ 1, 3, 5 } - { 3, 4 } = { 1, 5 }, N(A – B) = 2

A – C = { 1, 3, 5 } - { 2,4,6 } = { 1,3,5 } = A, N( A – C) = N(A) = 3

B – C = { 3, 4 } - { 2,4,6 } = { 3 }, N(B-C) = 1

S

B

1

A

3

5

C

probabilidad37
PROBABILIDAD

Ac = { 2, 4, 6} = C N(Ac ) = N( C )= 3

Bc = {1, 2, 5, 6 } N(Bc ) = 4

Cc = {1, 3, 5 } = A N(Cc ) = N(A) = 3

S

B

1

A

3

4

5

C

2

6

probabilidad38
PROBABILIDAD

Probabilidad Clásica y Frecuencial.

Probabilidad frecuencial y regularidad estadística

Las frecuencias relativas de un evento tienden a estabilizarse cuando el número de observaciones se hace cada vez mayor.

Ejemplo: La regularidad estadística en el experimento del lanzamiento de monedas, indica que las frecuencias relativas del evento: que salga sol {s }, se tiende a estabilizar aproximadamente en .5= 1/2.

probabilidad39
PROBABILIDAD

Probabilidad frecuencial y regularidad estadística

La probabilidad de un evento A, denotada por P(A), es el valor en el que se estabilizan las frecuencias relativas del evento A, cuando el número de observaciones del experimento se hace cada vez mayor.

probabilidad40
PROBABILIDAD

Esto es:

donde

N(A) = número de elementos del evento A

N(Ω) = número de elementos del espacio muestral Ω.

probabilidad41
PROBABILIDAD

Probabilidad clásica.-

Sea S un espacio muestral cualquiera y A un evento de ese espacio. Se define la probabilidad P del evento A, como:

donde

NCF - número de casos favorables

NCT - número de casos totales

probabilidad42
PROBABILIDAD

Ejemplo:

Experimento.- Se lanza una moneda

Evento A.- que al lanzar una moneda caiga águila.

Calcular la probabilidad de A:

S = { A, S}, N(Ω) = 2

A = { A }, N(A) = 1

probabilidad43
PROBABILIDAD

Leyes De La Probabilidad

Las relaciones que se dan entre los eventos al ser aplicadas las operaciones que se presentaron, se facilitan y comprenden mejor haciendo uso de los axiomas y teoremas de probabilidad (Leyes de Probabilidad).

Axioma.- es una verdad evidente que no requiere demostración.

Teorema.- Es una verdad que requiere ser demostrada.

probabilidad44
PROBABILIDAD

Axioma 1.- Sea S un espacio muestral cualquiera y A un evento, tal queA  S, entonces se cumple que

0  P(A)  1 (3)

esto significa que la probabilidad de cualquier evento no puede ser más grande que uno, ni ser menor que cero. Si es igual a 1 se llama evento seguro, y cuando es cero se llama evento imposible.

P(A)

___________________________________

  • -2 -1 0 1 2
probabilidad45
PROBABILIDAD

Axioma 2.- La probabilidad del espacio muestral Ω es un evento seguro, es uno

P(Ω) = 1

Ejemplo.-

Experimento.- Se lanza un dado

Si A =Ω, es decir si el evento A coincide o es igual al espacio muestral, entonces.

probabilidad46
PROBABILIDAD

Teorema 1.- Si  es el conjunto vacío, entonces la probabilidad de  es igual a 0

Ejemplos:

Una persona que quiere ganar la lotería nacional, pero no compra boleto.

Que aparezca un siete al lanzar un dado

Que una persona viva 250 años

En estos casos los eventos son vacíos

probabilidad47

A  B

PROBABILIDAD

Axioma 3.- Sea Ω un espacio muestral cualquiera y sean A y B dos eventos tales que

A  Ω, B  Ω y A  B = , es decir, dos eventos mutuamente exclusivos, entonces

P(A  B) = P(A) + P(B).

A

B

probabilidad48
PROBABILIDAD

Ejemplo:

Experimento: Se lanzan dos monedas

Ω = { ss, aa, sa, as}

N(Ω) = 4

Sean:

A: el evento de que al lanzar un par de monedas caigan dos soles exactamente

B: el evento de que al lanzar un par de monedas caiga un sol exactamente.

Los elementos de A y B son

A = { ss }

B = {sa, as}

Se puede ver que A  B = , no hay elementos en común, por lo que los eventos son mutuamente exclusivos o disjuntos, por tanto

P(A  B) = P(A) + P(B)

probabilidad50
PROBABILIDAD

Axioma 4.-

Sean A1, A2, A3, A4, ..., An eventos mutuamente exclusivos:

P(A1  A2  A3  A4, ...  An) =

P(A1) + P(A2) + P(A3) + P(A4) + ...+ P(An)

Este axioma dice que la probabilidad de varios eventos mutuamente exclusivos (que no tienen elementos en común), es igual a la suma de sus probabilidades.

probabilidad52
PROBABILIDAD

Ejemplo:

Experimento:Se lanza un dado

Sean

Evento A: que al lanzar un dado salga el 2 o el 4

Evento B: que al lanzar un dado salga un número mayor a 4

Evento C: que salga el 1 o 3

Los elementos de A, B y C son

A = {2, 4}, N(A) = 2

B = {5, 6}, N(B) = 2

C = {1, 3} , N(C) = 2

probabilidad53
PROBABILIDAD

Como A, B y C son mutuamente excluyentes, ya que A  B = {}, A  C = {},

B  C = {},

Por axioma 4

P(A  B  C) = P(A) + P(B) + P(C)

probabilidad54

A  B

PROBABILIDAD

Teorema 2.-(Ley Aditiva de la Probabilildad). Sean A y B dos eventos no excluyentes, A  B , entonces

P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B)

probabilidad55

A

B

A - B

PROBABILIDAD

Diferencia

Sean A y B dos eventos:

A-B = { x | x  A y x  B }

probabilidad56
PROBABILIDAD

Ejemplo.-

Experimento.- Se lanza un dado y una moneda

Ω = {1s, 2s, 3s, 4s, 5s, 6s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a }

N(Ω) = 12

A: Al lanzar un dado y una moneda aparezcan el

número 2 o 3 con sol.

B: Al lanzar un dado y una moneda aparezcan

números pares con sol.

A = { 2s, 3s }, N(A) = 2

B = { 2s, 4s, 6s } N(B) = 3

A  B = { 2s } N(A  B ) = 1

P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B)

= 2/12 + 3/12 – 1/12 = 4/12 = 1/3

probabilidad57
PROBABILIDAD

Teorema 3.- Sea A un evento cualquiera y Ω un espacio muestral, tal que AS, si Ac es el complemento del evento A, entonces la probabilidad de Ac es igual a 1 menos la probabilidad de A, es decir

P(Ac) = 1 – P(A)

probabilidad58
PROBABILIDAD

Experimento.- Se lanza un dado y una moneda

Ω = {1s, 2s, 3s, 4s, 5s, 6s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a }

N(Ω) = 12

A: Al lanzar un dado y una moneda aparezcan el

número 2 o 3 con sol.

B: Al lanzar un dado y una moneda aparezcan

números pares con sol.

A = { 2s, 3s }, N(A) = 2

B = { 2s, 4s, 6s } N(B) = 3

Ac = { 1s, 4s, 5s, 6s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a }

P(Ac) = 1 – P(A) = 1 – 2/12 = 10/12

Bc = { 1s, 3s, 5s, 1a, 2a, 3a, 4a, 5a, 6a }

P(Bc) = 1 – P(B) = 1 – 3/12 = 9/12

probabilidad59
PROBABILIDAD

Probabilidad Condicional.

Sea A un evento arbitrario de un espacio muestral Ω, con P(E) > 0. La probabilidad de que un evento A suceda una vez que E ha sucedido o en otras palabras, la probabilidad condicional de A dado E, se define como:

probabilidad60
PROBABILIDAD

Eventos Independientes:

Se dice que los eventos A y E son independientes si se cumplen:

Si no se cumplen, se dice que los eventos son dependientes.

probabilidad61
PROBABILIDAD

Probabilidad Condicional.

Ley Multiplicativa de la Probabilidad.

Ya que (AE) = (EA) y despejamos a P(AE), se tiene que la probabilidad de la intersección es:

probabilidad62
PROBABILIDAD

Probabilidad Condicional.

Si A y B son independientes:

probabilidad63
PROBABILIDAD

Ejemplo:

Experimento: Lanzar un dado.

A: que al lanzar el dado caiga 3

E: que al lanzar un dado salga un impar

Encontrar la probabilidad de que al lanzar un dado se obtenga un 3 dado que se obtuvo un impar.

Ω = {1,2,3,4,5,6}

A = {3},E = { 1,3,5},(AE) = {3},

P(A) = 1/6

P(A/E) = P(AE)/ P(E)

= 1/6 / 3/6 = (1)(6)/(6)(3)

= 6/18 = 1/3

probabilidad64
PROBABILIDAD

Otra forma de calcular las probabilidades de la intersección y las probabilidades condicionales, de dos eventos A y B, tal que

A  AC = Ω

B  BC = Ω

es elaborando primero la tabla de número de elementos de los eventos y después la tabla de sus probabilidades.

probabilidad68
PROBABILIDAD

Probabilidades condicionales:

P(A/B) = P(A  B)/P(B)

P(B/A) = P(A  B)/P(A)

P(A/Bc) = P(A  Bc)/P(Bc)

P(B/Ac) = P(Ac B)/P(Ac)

P(Ac/B) = P(Ac B)/P(B)

P(Bc/A) = P(A  Bc)/P(A)

probabilidad69
PROBABILIDAD

Ejemplo.-

En cierta ciudad, las mujeres representan el 50% de la población y los hombres el otro 50%. Se sabe que el 20% de las mujeres y el 5% de hombres están sin trabajo. Un economista estudia la situación de empleo, elige al azar una persona desempleada. Si la población total es de 8000 personas,

¿ Cuál es la probabilidad de que la persona escogida sea ?:

probabilidad70
PROBABILIDAD

a).- Mujer

b).- Hombre

c).- Mujer dado que está empleado

d).- Desempleado dado que es hombre

e).- Empleado dado que es mujer

Sean los eventos:

M: Que sea Mujer

H: Que sea Hombre

D: Que sea Desempleado

E: Que sea Empleado

probabilidad73
PROBABILIDAD

P(M) = .50

P(H) = .50

P(E) = .875

P(D) = .125

P(M/E) = P(ME)/P(E) = .40/.875 = .4571

P(D/H) = P(DH)/P(H) = .025/.5 = .05

P(E/M) = P(ME)/P(M) = .40/.5 = .8

P(M/D) = P(MD)/P(D) = .10/.125 = .8

P(H/D) = P(HD)/P(D) = .025/.125 = .2

probabilidad74
PROBABILIDAD

Eventos dependientes e independientes

En el ejemplo anterior se tiene que

P(M) = .50

P(H) = .50

P(E) = .875

P(D) = .125

P(ME) = .40 P(M) P(E) = .4375

P(DH) = .025 P(D) P(H) = .0625

P(MD) = .10 P(M) P(D) = .0625

P(EH) = .475 P(E) P(H) = .4375

probabilidad75
PROBABILIDAD

Por tanto los eventos M y E ,

D y H,

M y D,

E y H

son dependientes.

probabilidad77

A2

A5

A3

A1

A4

A6

An

PROBABILIDAD

Probabilidad total.-

Sean A1, A2, A3..., An eventos disjuntos (mutuamente excluyentes), que forman una partición de Ω. Esto es Ai  Aj =  para toda i y toda j, y además

Ω = A1  A2 A3 An

probabilidad78

A2

A5

A3

A1

A4

A6

An

PROBABILIDAD

Y sea E otro evento tal que E  Ω y E  Ai 

E

E

probabilidad79
PROBABILIDAD

Entonces

E = Ω  E = (A1 A2 A3 An)  E

= (A1 E) (A2 E) (A3 E)

 (An E)

Al aplicar la función de probabilidad a ambos eventos, se tiene que:

P(E) = P(A1E) + P(A2E) +P(A3E) ++P(An E)

Ya que (Ai  E) es ajeno a (Aj  E) para i ≠ j

probabilidad80
PROBABILIDAD

Como (Ai E) = (E  Ai) entonces

P(Ai E) = P(E  Ai) = P(E/Ai) P(Ai)

Entonces la probabilidad completa de E es:

P(E) = P(E/A1) P(A1) + P(E/A2) P(A2) +

P(E/A3)P(A3)+...+ P(E/An) P(An)

probabilidad81
PROBABILIDAD

Ejemplo.-

En una pequeña empresa de tejidos se obtiene su producción con tres máquinas hiladoras M1, M2 y M3 que producen respectivamente 50%, 30% y el 20% del número total de artículos producidos.

Los porcentajes de productos defectuosos producidos por estas máquinas son 3%, 4% y 5%. Si se selecciona un artículo al azar,

¿ Cuál es la probabilidad de que el artículo sea defectuoso ?

probabilidad82
PROBABILIDAD

Sea

D el evento: Que sea un artículo defectuoso.

P(M1) = .50 P(D/M1) = .03

P(M2) = .30 P(D/M2) = .04

P(M3) = .20 P(D/M3) = .05

P(D) = P(D/M1) P(M1) + P(D/M2) P(M2) +

P(D/M3) P(M3)

= .03(.50) + .04(.30) + .05(.20) = 0.037

slide83

D

D

D

P(D/M1)=.03

P(M1)*P(D/M1)=.5*.03=.015

M1

P(M1)=.50

ND

ND

ND

P(ND/M1)=.97

P(D/M2)=.04

P(M2)*P(D/M2)=.3*.04=.012

P(M2)=.30

M2

P(ND/M2)=.96

P(D/M3)=.05

P(M1)*P(D/M1)=.2*.05=.01

P(M3)=.20

M3

P(ND/M3)=.95

P(D) = .015+.012+.01=.037

probabilidad84
PROBABILIDAD

Teorema de Bayes.- Supóngase que A1, A2, A3,...,An esuna partición de un espacio muestral Ω. En cada caso P(Ai) ≠ 0. La partición es tal que A1, A2, A3,...,An, son eventos mutuamente exclusivos. Sea E cualquier evento, entonces para cualquier Ai,

probabilidad86
PROBABILIDAD

Ejemplo.-

En una pequeña empresa de tejidos se obtiene su producción con tres máquinas hiladoras M1, M2 y M3 que producen respectivamente 50%, 30% y el 20% del número total de artículos producidos.

Los porcentajes de productos defectuosos producidos por estas máquinas son 3%, 4% y 5%. Supóngase que se selecciona un artículo al azar y resulta ser defectuoso. ¿Cuál sería la probabilidad de que el artículo haya sido producido por la máquina M1?

probabilidad87
PROBABILIDAD

Ejemplo.-

En una pequeña empresa de tejidos se obtiene su producción con tres máquinas hiladoras M1, M2 y M3 que producen respectivamente 50%, 30% y el 20% del número total de artículos producidos.

Los porcentajes de productos defectuosos producidos por estas máquinas son 3%, 4% y 5%. Supóngase que se selecciona un artículo al azar y resulta ser defectuoso. ¿Cuál sería la probabilidad de que el artículo haya sido producido por la máquina M1?

probabilidad88
PROBABILIDAD

Sea

D: Que el artículo sea defectuoso

ND: Que el artículo no sea defectuoso

M1: Que haya sido producido por la máquina 1

M2: Que haya sido producido por la máquina 2

M3: Que haya sido producido por la máquina 3

P(M1) = .50 P(D/M1) = .03

P(M2) = .30 P(D/M2) = .04

P(M3) = .20 P(D/M3) = .05

slide89

D

D

D

P(D/M1)=.03

P(M1)*P(D/M1)=.5*.03=.015

M1

P(M1)=.50

ND

ND

ND

P(ND/M1)=.97

P(D/M2)=.04

P(M2)*P(D/M2)=.3*.04=.012

P(M2)=.30

M2

P(ND/M2)=.96

P(D/M3)=.05

P(M1)*P(D/M1)=.2*.05=.01

P(M3)=.20

M3

P(ND/M3)=.95

P(D) = .015+.012+.01=.037

probabilidad90
PROBABILIDAD

Por teorema de Bayes se tiene:

La probabilidad de que el artículo defectuoso se haya producido en la M1 es del 40.54%