Corso di Introduzione alla Finanza Quantitativa ( matematica computazionale )

Corso di Introduzione alla Finanza Quantitativa(matematicacomputazionale) Desenzano 10/11 Settembre 2011 17/18 Settembre 2011 A cura di: Luigi Piva www.intermarketstrategies.eu EquityLineSolutions – Londra

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PROGRAMMA DEL CORSO MODULO 1 - Sabato 10 settembre h10.00-13.00 e 14.30-18.00 INTRODUZIONE ALLA MATEMATICA FINANZIARIA • 1. Logica matematica, numeri, sistemi e funzioni. • 2. Le operazioni finanziarie, terminologie, l’uso dell’asse dei tempi, simboli e loro significato; • 3. Lo spazio euclideo e altri spazi nella rappresentazione economico-finanziaria. • 4. Il regime di interesse e sconto semplice: la capitalizzazione semplice, lo sconto semplice o razionale; particolari operazioni di prestito: prestiti obbligazionari. • 5. Il regime di interesse e sconto composto: la capitalizzazione composta annua (durata intera e frazionaria, convenzione lineare e convenzione esponenziale), fattore di capitalizzazione semplice e fattore di capitalizzazione composta. • 6. Tassi equivalenti: relazione tra tassi equivalenti nel regime ad interesse semplice, relazione tra tassi equivalenti nel regime ad interesse composto, operazioni a tassi variabili, tasso medio. • 7. Serie e sequenze e loro applicazione. • 8. Trasferimento di un capitale nel tempo e sua valutazione. • 9. Applicazione modelli di pricing di azioni ordinarie. • 10. Applicazione modelli di approssimazione di prezzo

1.Analisi Quantitativa Definizione Una tecnica di analisi finanziaria che cerca di capire il comportamento dei mercati utilizzando modelli matematici e statistici complessi . Assegnando un valore numerico alle variabili, gli analisti quantitativi cercare di replicare matematicamente la realtà . L'analisi quantitativa può essere fatto per una serie di motivi, quali la misurazione, valutazione delle performance di attivita’, fondi, ecc.. o la valutazione di uno strumento finanziario. Può anche essere usato per prevedere gli eventi nel mondo reale come le modifiche in un prezzo delle azioni. In altre parole , l'analisi quantitativa è semplicemente un modo di misurare le cose. Esempi di analisi quantitativa comprendono dai semplici ratios finanziari come gli utili per azione, a qualcosa di così complicato come flussi di cassa scontati, o di valutazione delle opzioni. Anche se l'analisi quantitativa è un potente strumento di valutazione degli investimenti, racconta raramente una storia completa senza l'aiuto del suo opposto – l 'analisi qualitativa.

Analisi Quantitativa Secondo alcune stime, il trading quantitativo o algoritmico rappresenta ormai piu’ della meta’ del volume degli scambi negli Stati Uniti. Ci sono, naturalmente, innumerevoli libri sulle avanzate strategie matematiche utilizzate dai trader istituzionali in questo campo. Il trading quantitativo, noto anche come trading algoritmico, è la negoziazione sull’ acquisto / vendita di titoli basata rigorosamente su decisioni computerizzate tramite l’uso algoritmi. (con il termine algoritmo si intende un metodo per ottenere un certo risultato, risolvere un certo tipo di problema, attraverso un numero finito di passi) Gli algoritmi sono spesso progettati e programmati dagli stessi traders, basandosi su dati storici.

Analisi Quantitativa Il trading quantitativo e l'analisi tecnica sono dunque sinonimi? Una strategia basata sull'analisi tecnica può essere parte di un sistema di trading quantitativo se può essere pienamente codificato come computer software. Tuttavia, le tecniche chartiste come la formazione di un testa e spalle potrebbe non essere incluse nell’ arsenale di un trader quantitativo perché sono molto soggettive e non possono essere quantificabili. Il trading quantitativo comprende molto più della soloa analisi tecnica. Molti sistemi di trading quantitativo incorporano dati fondamentali : i numeri come i ricavi, cash flow, il debit-toequityratio , e altri.

Analisi Quantitativa Quando si tratta di giudicare la performance finanziaria di una società rispetto ai suoi concorrenti o rispetto alla sua performance storica, il computer è spesso altrettanto valido degli analisti finanziari e il computer può guardare migliaia di aziende contemporaneamente. Alcuni sistemi quantitativi avanzati possono incorporare anche news come input: Oggi, è possibile usare un computer per analizzare e comprendere la notizia. IBM ha lavorato e sta lavorando su sistemi computerizzati in grado di capire quello che un documento contiene. Finché è possibile convertire le informazioni in bit e byte che il computer può capire, può essere considerato come parte del trading quantitativo.

1.Logica Matematica, numeri, sistemi e funzioni Logica Quasi tutti pensano di sapere che cos’e’ la logica, ma il problema inizia quando e’ necessario darne una definizione formale. Una causa legale, per esempio, puo’ essere incentrata sul tentativo di trarre conclusioni logiche. L’accusa tenta di dimostrare la colpevolezza basandosi sui “fatti”. In questo caso c’e’ pero’ un’asimmetria nei confronti delle prove. La difesa non deve provare l’innocenza. Ne consegue che spesso la tattica difensiva consiste nel dimostrare la scarsita’ delle prove portate dall’accusa o nel sostenere che, anche in presenza di fatti, la colpevolezza non arriva da una conclusione logica. Quello che appare chiaro e’ che il soggetto della logica si applica al trarre delle conclusioni . E’, in un certo senso, la scienza del ragionare correttamente. Al suo livello piu’ semplice la logica porta a concludere che “B deriva da A” o che “A implica B” o che “se A, allora B”.

Logica Se un matematico annuncia la validità di un risultato ha l’onere della prova, di dimostrare, cioè, che tale risultato e’ vero. Per esempio, se asserisco che: per ogni coppia di interi N e M , e’ vero che M+N=N+M Ho l’onere della dimostrazione che tale conclusione deriva da una serie di fatti. Una giuria di matematici valuterà la validità dei fatti. In contrasto con asserzione di validità di un risultato, se io dichiaro la falsità ho bisogno solo di fornire un singolo esempio. Per esempio: Per ogni intero A, c’e’ un intero B tale che A=2B Puo’ essere provato falso con un solo esempio A=3

TeoriaAssiomatica C’e’ una struttura che viene ritenuta necessaria in ogni teoria matematica: • I Fatti usati devono essere identificati esplicitamente e ognuno di essi si assume sia vero o che sia stato dimostrato vero da altri fatti • Le Regole di inferenza, le logiche applicate per provare i fatti, devono essere “corrette” e la definizione di correttezza deve essere oggettiva e immutabile nel tempo. • L’insieme di conclusioni provate dai fatti di cui al punto 1 , usando le logiche di cui al punto 2, definito Teorema, deve essere Consistente. Per nessuna proposizione P , l’insieme dei teoremi puo’ includere sia “P e’ vera” che “ P e’ falsa”. • L’insieme di tutti i teoremi deve essere Completo. Per ogni preposizione P, “la proposizione P e’ un teorema” o “la negazione della proposizione P e’ un teorema”.

TeoriaAssiomatica Puo’ sembrare sorprendente che, al punto 1, la “verita’” dei fatti assunti non sia il requisito principale,ma che il requisito sia che tali fatti siano esplicitamente identificati. Il punto e’ che non ci sono fatti in matematica che siano, allo stesso tempo, “veri” e indipendenti da altri fatti o enunciazioni. Di conseguenza, determinati insiemi di fatti devono essere assunti veri e questi saranno gli Assiomi della teoria. In altre parole, tutte le teorie matematiche sono assiomatiche poiche’ assumono vero un determinato insieme di fatti e, basandosi su questo, altri fatti vengono provati . Differenti teorie matematiche richiederanno insiemi di assiomi differenti. Gli assiomi assunti per dimostrare teorie sui numeri interi saranno differenti dagli assiomi usati per sviluppare una teoria di geometria piana.

TeoriaAssiomatica I requisiti fondamentali , gli assiomi devono essere: • Adeguati a sviluppare una teoria interessante ed utile • Consistenti in modo che non possano essere usati per provare sia che “la proposizione P e’ vare” che per provare che “la proposizione P e’ falsa”. • Minimali e’ auspicabile avere assiomi semplici e poco numerosi per sviluppare una teoria snella e chiara La fondazione del metodo assiomatico viene generalmente attribuita ad Euclide di Alessandria (325-265 AC) che per primo, nel suo “Elementi” ha introdotto un approccio assiomatico alla geometria a due e tre dimensioni.

Inferenza Lo sviluppo logico negli “Elementi” di Euclide dipende dalle “regole di inferenza”, ma non include formalmente la logica come una teoria in se’. Uno sviluppo formale della teoria della logica non e’ stato ottenuto per circa due millenni, dato che i matematici, seguendo Euclide, erano certi che la “logica” da loro applicata fosse inconfutabile. Per esempio, se tentiamo di provare che una certa soluzione di un’equazione soddisfa x<100 e il calcolo rivela che x<50, senza altri passaggi noi abbiamo svolto il nostro compito. • “x<50 implica che x<100” e’ una proposizione vera • “x<50 e’ una proposizione vera secondo i calcoli • “x<100 e’ una proposizione vera per deduzione”

Inferenza • In maniera astratta, Se P=>Q e P (e’ vera/falsa), allora Q (e’ vera/falsa). Questo e’ un esempio di metodo di prova diretto applicato alla proposizione condizionale P=>Q, che viene anche chiamata implicazione (P implica Q). • Sempre in maniera astratta, se P=>Q e ˜Q, allora ˜P . Qui viene usato il simbolo ˜ che significa “la negazione di Q e’ vera” che equivale nel linguaggio logico a “Q e’ falsa”. Questo metodo di prova, simile al precedente, viene chiamato contrappositivo derivante dalla proposizione condizionale P=>Q e di conseguenza puo’ essere considerato un metodo di prova indiretto.

Paradossi • Ci si potrebbe chiedere quando e perche’ i matematici sono diventati cosi’ formali nello sviluppo delle teorie e nella logica, ritenendo necessaria una teoria assiomatica e una formalizzazione delle regole di inferenza. Un motivo importante e’ da ricercarsi nel riconoscimento che, nonostante i primi sforzi, come gli “Elementi” di Euclide, la matematica non fosse abbastanza formale e il risultato e’ stato la scoperta di numerosi paradossi. • Un paradosso, per definizione, e’ una proposizione o un insieme di enunciazioni che sembra vero ma, allo stesso tempo produce una contraddizione o un conflitto con l’intuito.

Paradossi L’esempio piu’semplice e’ il paradosso del bugiardo: “questa proposizione e’ falsa” La proposizione e’ paradossale perche’ se e’ vera. Allora deve essere falsa e, al contrario, se e’ falsa deve essere vera. Tornando alla matematica, prendiamo ad esempio la “prova” che 1=0, sviluppata attraverso la seguente serie di passaggi: • a=1 • a²=1 • a²-a=0 • a(a-1)=0 • a=0 • 1=0 Il trucco qui e’ abbastanza facile da identificare. Abbiamo diviso per a-1 prima del quinto passaggio., ma dal primo passaggio abbiamo che a-1=0. In un certo senso, questa derivazione puo’ essere usata come conferma dell’illegittimita’ della divisione per zero, siccome ci porta a concludere che 1=0.

Paradossi Un esempio di un paradosso piu’ vecchio e piu’ complesso e’ in matematica e’ il Paradosso di Zeno che prende spunto da una mitologica corsa tra Achille e una tartaruga. Zeno di Elea (490-430 AC) notava che se entrambi si muovono nella stessa direzione, con Achille che e’ inizialmente dietro, Achille non potra’ mai superare la tartaruga . Egli argomentava che ad ogni movimento di Achille che raggiunge un ceto punto della strada, la tartaruga sara’gia’ arrivata a quel punto e quindi la tartaruga rimarra’ sempre avanti, non importa quanto veloce sia Achille. Questo e’ un paradosso per l’ovvio motivo che osserviamo corridori piu’ veloci superare quelli piu’ lenti continuamente. Ma come e’ possibile risolvere quest’argomento?

Paradossi La risoluzione deriva dalla dimostrazione che l’infinito insieme di osservazioni che Zeno descrive tra Achille e la tartaruga si verifica in un periodo finito di tempo. La conclusione di Zeno riflette implicitamente l’assunzione che se in ognuno degli infiniti numeri di osservazioni in cui la tartaruga e’ avanti ad Achille, dev’essere che la tartaruga e’ avanti sempre. Una risoluzione formale richiede lo sviluppo di una teoria nel quale la somma di un’infinito insieme di numeri puo’ essere indirizzato, mentre in questo caso ogni numero rappresenta la lunghezza dell’intervallo di tempo tra le osservazioni.

Paradossi Un altro famoso paradosso e’ conosciuto come il Paradosso del Barbiere. Secondo la storia, in una citta’ c’e’ un barbiere che rade tutti gli uomini che non si radono da soli e solo questi uomini. La domanda e’: il barbiere si rade? In maniera simile al paradosso del bugiardo, concludiamo che il barbiere si rade da solo solo se non si rade da solo. Il problema qui viene dal cuore stesso del set di teorie, dove abbiamo precedentemente assunto che un set possa essere definito come ogni insieme che soddisfa un dato criterio e una volta definito, si puo’ definire in modo inequivocabile se un dato elemento e’ un membro del set. Qui il set e’ definito come l’insieme degli individui che soddisfano la condizione “non si radono da soli” e non possiamo derivare nessuna conclusione logica se il barbiere sia o meno membro di questo insieme.

Logica Proposizionale Tabelle della Verita’ Molta della logica matematica puo’ essere capita piu’ facilmente con l’introduzione delle tabelle della verita’. Il punto di partenza consiste nel definire una proposizione in una teoria matematica come una proposizione dichiarativa che sia o vera o falsa, ma non entrambe le cose. Per esempio “oggi il cielo e’ blu” o “5<7” sono enunciazioni o proposizioni. Un espressione come “x<7” non e’ una proposizione perche’ non possiamo assegnare V (vero) o F (falso) senza sapere quale valore assume la variabile x. Tale espressione viene chiamata formula, come vedremo in seguito.

LogicaProposizionale Una formula non e’ una proposizione poiche’ la variabile x e’ una variabile libera, puo’ essere trasformata in una proposizione trasformando x in una variabile vincolata. Il modo piu’ diffuso per fare questo e’ usare il qualificatore (o connettivo ) universale ∀ , e il qualificatore (o connettivo ) esistenziale, ∃, definiti come: ∀ x denota “per ogni x” ∃x denota “ esiste una x tale che” Per esempio, ∀x(x<7) e ∃x(x<7) ora sono enunciazioni. La prima, “per ogni x, x e’ minore di 7” e’ assegnata e F, la seconda “ esiste una x tale che x sia minore di 7” e’ V.

LogicaProposizionale Una tabella delle verita’ e’ un ausilio meccanico per dicifrare la verita’ o falsita’ di una proposizione complicata basato sulla verita’ o falsita’ delle sue proposizioni. Enunciazioni complesse sono costruite usando i Connettivi in varie combinazioni. Se P e Q sono proposizioni, definiamo i seguenti connettivi e presentiamo la tabella della verita’ associata. La negazione e’ un connettivo unico o singolare mentre gli altri sono connettivi binari. In ogni caso la tabella di verita’ identifica tutte le combinazioni possibili di V o F per ogni data proposizione.

TabellediVerita’ Negazione Congiunzione: P ∧ Q denota la proposizione “P e Q”

TabellediVerita’ Disgiunzione: P ∨ Q denota la proposizione “P or Q” inteso come “P e/o Q” Condizionale: P ⇒ Q denota la proposizione “P implica Q” Bi-condizionale: P ⇔ Q denota la proposizione “P se e solo se Q”

LogicaProposizionale In generale quindi abbiamo le seguenti enunciazioni di verita’: ˜P ha il valore di verita’ opposto a P (not) P ∧ Q e’ vero solo quando sia P che Q sono veri (and) P ∨ Q e’ vero se almeno uno di P e Q e’ vero (or) P ⇒ Q e’ vero a meno che P e’ vero e Q e’ falso (implica) P ⇔ Q e’ vero se P e Q hanno gli stessi valori di verita’ (doppia implicazione) E’ quindi un gioco sintattico, simbolico. L’obiettivo e’ costruire formule ben formate. Per esempio: ˜ ∧ P Non e’ una formula ben formata perche’ non si deriva da una combinazione logica delle formule elementari, mentre ˜ P ∧ Q ⇒ S e’ una formula ben formata

LogicaProposizionale Prendiamo un semplice e sempio dell’uso della tabella di verita’. Supponiamo che un nostro amico arrivi dicendo , facendo la proposizione : “ho preso la patente quindi so guidare”, con “prendere la patente=Q” e “sapere guidare=P”, in pratica: P ⇒ Q arriva poi un secondo amico che dice “so guidare quindi ho preso la patente” ”, con “prendere la patente=Q” e “sapere guidare=P”, in pratica: Q ⇒ P Come facciamo a valutare la verita’ delle proposizioni dei due amici? Confrontando le due tabelle di verita’

LogicaProposizionale P ⇒ Q Q ⇒ P

LogicaProposizionale In pratica, chiedendomi se sonovereentrambe mi chiedo se le due propodizioniP ⇒ Q “ho preso la patente quindi so guidare” e Q ⇒ P “so guidare quindi ho preso la patente” sono equivalenti. Abbiamoricostruito le tabellediverita’ delle due proposizioni. SonoSimmetriche, ma le due proposizionihannotabellediverita’ diverse. Quindi se la prima proposizione e’ vera (la ssumiamovera per ipotesi) , la seconda non puo’ esserevera.

MetodidiProva Praticamente l’essenza di ogni prova matematica e’ una dimostrazione della verita’ dell’implicazione P⇒Q. A questo fine, la prima scelta che abbiamo e’ quella di provare la proposizione diretta condizionale P⇒Q o il suo contrario ˜P⇒˜Q . Queste enunciazioni sono logicamente equivalenti, in altre parole: (P ⇒ Q) ⇔(˜Q⇒˜P) E’ una tautologia, infatti per ogni assegnazione dei valori di verita’ per P e Q, questa proposizione ha sempre il valore di verita’ “vero”.

MetodidiProva In alcune prove, la proposizione diretta comporta una maggiore facilita’ di prova mentre in altri il metodo contrario funziona meglio, per alcune proposizioni poi entrambi funzionano bene e in altre entrambi falliscono miseramente. L’unica regola generale e’: se il metodo che stai usando fallisce, prova con l’altro. L’esperienza fatta di successi e fallimenti aumenta le possibilita’ di riconoscere il metodo migliore. Per esempio, supponiamo di volere provare P⇒Q dove: P:a=b Q: a²=b²

MetodidiProva Il metodo diretto di prova potrebbe procedere cosi’ : a = b ⇒ [a² = ab ..e.. ab = b²] ⇒a² = b² il metodo di prova contrario procede identificando prima la negazione della proposizione ˜P: a ≠ b ˜Q: a² ≠ b² Costruendo la prova come ˜Q⇒a² - b² ≠ 0 ⇒(a + b)(a - b) ≠ 0 ⇒[(a + b) ≠ 0 ..e.. (a - b) ≠ 0] ⇒ a ≠ b

LogicaMatematica La logica matematica, in senso stretto, è il settore della matematica che studia i sistemi formali dal punto di vista del metodo di codifica dei concetti intuitivi della dimostrazione e del calcolo. Logica matematica è il nome assegnato da Giuseppe Peano a quella che era nota anche come logica simbolica o formale. In buona sostanza è ancora la logica di Aristotele, ma si pone da un punto di vista che considera l’insieme delle proprie regole e metodologie con la quale viene costruita come branca dell'algebra. Alcuni tentativi di trattare le operazioni delle logica formale con modalità simboliche o algebriche furono effettuati da alcuni dei matematici con attitudini filosofiche più spiccate, come Leibniz e Lambert; i loro sforzi però rimasero isolati e quasi sconosciuti. Furono George Boole e il suo continuatore De Morgan che, intorno alla metà del XIX secolo, proposero modalità matematiche sistematiche per il trattamento della logica. In tal modo la dottrina tradizionale, aristotelica, della logica veniva completata; inoltre veniva cosi’ sviluppato uno strumento adeguato per l'indagine dei concetti fondamentali della matematica.

LogicaMatematica Sebbene molti siano indotti a pensare che la logica matematica sia la matematica della logica, è più giustificato affermare che essa è la logica applicata alla matematica. Essa si occupa delle parti della logica che possono essere modellate matematicamente. Come evidente dagli esempi precedenti, l’obiettivo della logica matematica e’ quello di definire e sviluppare le proprieta’ di sistemi deduttivi che sono svincolati dal contesto. Lo scopo e’ eliminare ogni legame col contesto e tutto quello che e’ familiare in una data teoria per esaminarne la struttura logica di una teoria matematica generale e non specifica. Le aree principali della logica matematica includono la teoria dei modelli e la teoria della dimostrazione. A queste viene aggiunta anche la teoria degli insiemi che ha molte sovrapposizioni con l’informatica Lo studio della semantica dei linguaggi di programmazione è derivato dalla teoria dei modelli.

Applicazioni in Finanza Le applicazioni alla finanza della logica matematica discusse in questa parte sono sia specifiche che generali. Ci sono molti casi specifici in finanza in cui si deve produrre la prova di un risultato . Spesso il contesto per questa prova non e’ un teorema enunciato formalmente . La prova e’, piu’ o meno, un’applicazione o un adattamento di una certa teoria a situazione non anticipate specificatamente dalla teoria o interamente fuori dal contesto anticipato. In alternativa si puo’ sviluppare e testare la validita’ di una varieta’ di implicazioni ipotetiche che sembrano ragionevoli nel contesto dato. L’investigazione qui cercata richiede un processo molto formale di derivazione, deduzione logica, e prova e gli esempi forniti in precedenza possono essere utili per questo scopo.

Applicazioni in Finanza La proposizione Q e’ “io diventero’ ricco in modo imbarazzante poiche’ i profitti inizieranno ad arrivare immediatamente e in misura sostanziosa” Ovviamente il “quant” inesperto commette un errore nella prova della proposizione P⇒Q usando un insieme sbagliato di strumenti o non identificando i rischi che esistono. La domanda che spesso smonta il castello spesso e’: “che grado di sicurezza hai che i titoli siano scambiabili ai prezzi ipotizzati?” In altre parole : “quanto sei sicuro che P sia vera?” La risposta deriva da un’analisi logica dei seguenti argomenti usando sillogismi: • se l’arbitraggio dei quants inesperti funzionasse… • ci sarebbero numerosi quants inesperti enormemente ricchi … • se potessero tradare ai prezzi ipotizzati… • i loro arbitraggi funzionerebbero. • Non ci sono quants inesperti enormemente ricchi.

Applicazioni in Finanza Una tabella della verita’puo’ spesso essere usata per investigare la validita’ di una sottile derivazione logica che coinvolge una serie di implicazioni e fornire un approccio alternativo al risultato desiderato. Un semplice esempio e’ il principio di arbitraggio che tende ad affascinare chi si avvicina alla finanza quantitativa. In un arbitraggio, si puo’ impostare un’operazione che e’ senza rischio per un certo periodo di tempo e con aspettative positive di produrre un profitto alla fine del periodo e nessuna possibilita’ di perdita. Inevitabilmente, avvicinandosi al trading quantitativo si sviluppano calcoli dettagliati, complessi che identificano arbitraggi nei mercati finanziari. In altre parole questi modelli sono articolate derivazioni della verita’ dell’enunciato P⇒Q , dove, in questa particolare applicazione P e’ l’enunciato “ io vado al rialzo e al ribasso su diversi strumenti ai prezzi di mercato che vedo sui giornali o online”

Numeri e Funzioni I numeri naturali I numeri naturali sono i primi numeri che impariamo. Quando contiamo, partiamo dal numero uno e recitiamo i nomi dei numeri in successione. Questa semplice descrizione ci indica quali siano le proprieta cruciali dei naturali numeri : c'e un primo numero naturale,

I numeri naturali I numeri naturali sono i primi numeri che impariamo. Quando contiamo, partiamo dal numero uno e recitiamo i nomi dei numeri in successione. Questa semplice descrizione ci indica quali siano le proprieta cruciali dei naturali numeri : c'e un primo numero naturale per ogni numero naturale, c'e il numero naturale successivo, o in altre parole, un successore.

I numeri naturali I numeri naturali sono i primi numeri che impariamo. Quando contiamo, partiamo dal numero uno e recitiamo i nomi dei numeri in successione. Questa semplice descrizione ci indica quali siano le proprieta cruciali dei naturali numeri : c'e un primo numero naturale per ogni numero naturale, c'e il numero naturale successivo, o in altre parole, un successore nessun numero naturale e il suo successore.

I numeri naturali I numeri naturali sono i primi numeri che impariamo. Quando contiamo, partiamo dal numero uno e recitiamo i nomi dei numeri in successione. Questa semplice descrizione ci indica quali siano le proprieta cruciali dei naturali numeri : c'e un primo numero naturale per ogni numero naturale, c'e il numero naturale successivo, o in altre parole, un successore nessun numero naturale e il suo successore. nessun numero naturale ha piu di un successore.

I numeri naturali I numeri naturali sono i primi numeri che impariamo. Quando contiamo, partiamo dal numero uno e recitiamo i nomi dei numeri in successione. Questa semplice descrizione ci indica quali siano le proprieta cruciali dei naturali numeri : c'e un primo numero naturale per ogni numero naturale, c'e il numero naturale successivo, o in altre parole, un successore nessun numero naturale e il suo successore. nessun numero naturale ha piu di un successore. nessun numero naturale e il successore di piu di un numero naturale

I numeri naturali I numeri naturali sono i primi numeri che impariamo. Quando contiamo, partiamo dal numero uno e recitiamo i nomi dei numeri in successione. Questa semplice descrizione ci indica quali siano le proprieta cruciali dei naturali numeri : c'e un primo numero naturale per ogni numero naturale, c'e il numero naturale successivo, o in altre parole, un successore nessun numero naturale e il suo successore. nessun numero naturale ha piu di un successore. nessun numero naturale e il successore di piu di un numero naturale solamente il numero 1 non e il successore di alcun numero naturale

I numeri naturali I numeri naturali sono come una scala. Se si sa come salire sul primo gradino della scala e come passare da un gradino al successivo, allora si puo raggiungere ogni gradino. Questo e la idea base del principio di induzione, che permette di studiaremolteproprieta dei numeri naturali. L'insieme dei numeri naturali viene indicato con :

Operazioni tra numeri naturali Possiamo addizionare due naturali numeri e otteniamo sempre un altro numero naturale. La sottrazione, invece, non e sempre possibile tra numeri naturali. Per esempio, non posso sottrarre 20 da 15 e ottenere un numero naturale. Possiamo sempre moltiplicare due numeri naturali e ottenere altro numero naturale. Per la divisione, questo non e sempre vero. Per esempio non posso dividere 3 per 10 e ottenere altro numero naturale. Quindi, per quanto riguarda la sottrazione e la divisione, i numeri naturali non sono adeguati.

I numeri interi Primo rimedio Per poter effettuare sempre la sottrazione, sono stati aggiunti ai numeri naturali, lo zero e i numeri negativi. Si ottengono in questo modo i numeri interi. L'addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, e la divisione si estendono facilmente ai numeri interi. Ogni numero ha ancora un successore, ma non c'e piu un primo numero, l'insieme degli interi non ha minimo. Sicuramente pero si puo sottrarre ogni intero da ogni altro intero e ottenere ancora come risultato un intero.

I numeri razionali Secondo rimedio Per poter effettuare sempre la divisione, sono stati introdotti i numeri razionali, cioe frazioni (i numeri decimali periodici) Di nuovo l'addizione, la sottrazione, la moltiplicazione, e la divisione si estendono facilmente a questo sistema espanso. Dobbiamo pero abbandonare l'idea che ogni numero abbia un successore. Ma in compenso, possiamo dividere ogni razionale per ogni altro razionale (tranne zero) e ottenere come risultato un razionale . L'insieme dei numeri razionali viene indicato con il simbolo

Proprieta’ d’ordine Come per le quattro operazioni, la relazione di ordine (essere maggiore di o minore di ) tra numeri naturali (ad esempio 8 > 5 o 5 < 8) si estende facilmente agli interi e ai razionali. Si puo’ quindi dire quando un numero e compreso tra altri due. Se consideriamo due numeri interi, uno dei quali e un successore dell'altro, ad esempio la coppia 5 , 6 o la coppia -4, -3, non esiste alcun numero intero tra di essi. Ma nei razionali c'e un numero tra ogni due numeri razionali distinti, ad esempio la loro media aritmetica. Di piu, ce ne sono infiniti. Questa proprieta’ e chiamata densita’ di Questo significa che si possono scegliere due razionali distinti tanto vicini quanto si vuole.

I numeri razionali non bastano Con i numeri razionali abbiamo ottenuto un sistema di numeri abbastanza utili. Si puo’ operare su due razionali con tutte e quattro le operazioni, e con l'eccezione di dividere per zero, si ottiene un altro razionale. Se si vuole operare con funzioni quali radice quadrata o se si vuole semplicemente calcolare la lunghezza di una circonferenza o l'area di un cerchio, i razionali non sono piu’ sufficienti.

I decimali finiti Se si scrive una cifra dopo la virgola al primo posto signica che si considerano i decimali: 1,4 = 1+ 4/10 Se si scrive una cifra dopo la virgola al secondo posto signica che si considerano i centesimi: 1,41 = 1+ 41/100 Analogamente si ha per il terzo posto dopo la virgola: 1,414 = 1+ 414/1000 e cosi’ via. In generale se un decimale occupa sino all'n-esimo posto dopo la virgola, dobbiamo fare una divisione usando le cifre a destra della virgola poste al numeratore e 10 alla n come denominatore. Cosi’ si capisce immediatamente che i numeri decimali finiti sono tutti numeri razionali.

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