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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Observatório Dietrich Schiel. Parceria entre professor e centro de ciências. Encontros II “Parte A” Temas 4 e 6. Profa . Dra. Claudia Munte Instituto de Física de São Carlos - USP Pedro Donizete Colombo Junior pedro.colombo@usp.br. O ESPECTRO ELETROMAGNÉTICO.

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parceria entre professor e centro de ci ncias

UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

Observatório Dietrich Schiel

Parceria entre professor e centro de ciências...

Encontros II “Parte A”

Temas 4 e 6

Profa. Dra. Claudia Munte

Instituto de Física de São Carlos - USP

Pedro Donizete Colombo Junior

pedro.colombo@usp.br

slide2

O ESPECTRO ELETROMAGNÉTICO

Adaptado de http://blogs.edf.org/climate411/wp-content/files/2007/07/ElectromagneticSpectrum.png

slide3

NOSSA FONTE DE LUZ: O SOL

http://osoleasaude.blogspot.com/2007/05/radiao-solar.html

slide4

HISTÓRIA DA ESPECTROSCOPIA

~330 a.C. Aristóteles

Luz existe independentemente do olho humano

~295 a.C. Euclides de Alexandria

1º tratado de Ótica: engloba tudo relacionado à visão direta (não refração nem reflexão)

“Raios de Visão”: para que um objeto possa ser visto devemos (a) iluminá-lo e (b) olhar para ele

~250 a.C. Archimedes

refração do raio de luz

estuda o fenômeno do “arco-íris”

~55 a.C. Tito Lucrécio

átomos são incolores; cores provém da incidência da luz

slide5

~ 145 Ptolomeu

Ótica: inclui refração e reflexão

~ 1280 Alhazen (ibn al-Haitam)

cores surgem devido a diferentes condições da luz

pedra de leitura (lentes de cristais de rocha)

1289 Qutbaddin as-sIrazi

explicação para o arco-íris por analogia entre gotas de chuva e esfera de vidro contendo água

1608 Hans Lipperhey

descoberta da luneta (telescópio)

1609 Galileo Galilei

constrói telescópio e o aponta para o céu: atronomia

slide7

1626 Rene Descartes

Lei da Refração

1666 Isaac Newton

decomposição da luz solar em um prisma: 6 ou 7 (!) cores

recomposição em um segundo prisma

luz branca é uma mistura de diferentes tipos de “raios luminosos”, refratados em ângulos ligeiramente diferentes, cada um produzindo uma cor espectral diferente

slide9

1777 Carl Wilhelm Scheele

luz violeta é a mais energética do espectro

1800 Friedrich Herschel

descobre a radiação infravermelha

na luz solar

região espectral acima da cor vermelha

fornece uma grande potência calorífica

slide10

1802 Johann Ritter

descobre a radiação ultravioleta na luz solar

região espectral abaixo da cor violeta é capaz de reduzir melhor a prata

slide11

1802William Wollaston

5 ou 7 (!) linhas pretas no espectro solar

1802 Thomas Young

fenômeno da interferência, cálculo de 

slide12

1814 Joseph Fraunhofer

desenvolvimento do espectroscópio: análise espectral

espectro do Sol possui centenas de linhas negras sobre as cores espectro de cada estrela poderia fornecer sua composição química (“impressão digital“)?

slide13

Espectro luminoso e composição química da atmosfera de um gigante exoplaneta, que gira em torno de uma estrela normal, comparável ao Sol. (Janeiro de 2010)

http://www.apolo11.com/spacenews.php?posic=dat_20100115-192511.inc

slide14

1848 Armand Fizeau

objetos se afastando em alta velocidade causam o deslocamento das linhas espectrais para o vermelho (“red-shift”)

movimento de uma estrela afeta a posição das linhas no seu espectro

(1924 Edwin Hubble

comprova a expansão do Universo)

slide15

1859 Robert Bunsen; Gustav Kirchhoff

espectroscopia: cada elemento químico possui seu espectro único (“impressão digital”)

descobrem novos elementos químicos

(Césio, Rubídio)

espectro de elementos químicos dentro

do espectro solar: análise espectral

de objetos cósmicos

Lítio Sódio Cobre

slide17

H

N

O

C

Ar

Fe

slide18

1864 James Maxwell

luz é radiação eletromagnética

1868 Joseph Lockyer

descoberta do gas solar Hélio (na Terra somente 27 anos depois)

1874 Hermann Vogel

vapor d’água presente nos espectros das atmosferas de Marte e Saturno: habitáveis!!

1885 Johann Balmer

linhas do espectro do Hidrogênio: Linhas de Balmer

slide19

ANÁLISE ESPECTRAL

rede de

difração

Lâmpada

incandescente

espectrocontínuo

gás quente

espectro de emissão

gás frio

espectro de absorção

slide20

ESPECTRO ATÔMICO

n=inteiro

Eaumenta

O elétron estando no

estado excitado (n=2)

retorna ao seu estado

fundamental (n=1),

e emite “algo” com

energia E.

O que é esse “algo”?

O que leva o elétron ao

estado excitado?

emiteenergia

E= E2- E1

slide21

Fóton: velocidade c(m/s)

frequência  (Hz ou s-1)

comprimento de onda  (m)

energia E(J)

 e  se relacionam:

A energia do fóton será:

O fóton será absorvido caso sua energia E for idêntica à diferença de energia Eentre o estado fundamental e o estado excitado

c= 3 x 108 m/s (veloc. da luz) h= 6.624 x 10-34 J/s (const. de Planck)

fóton

estado fundamental

fóton

estado excitado

estado fundamental

slide22

ÁTOMO DE HIDROGÊNIO

limite de ionização

série de Lymann (UV)

série de Balmer

série de Paschen (IR)

estado fundamental

slide24

MOLÉCULAS

Energias:

translacional

rotacional

vibracional

Os diversos estados (fundamental, excitado) apresentam uma grande quantidade de níveis de energia permitidos.

in cio do s culo xx
INÍCIO DO SÉCULO XX
  • Pilares
    • Mecânica (Newton)
    • Eletromagnetismo (Maxwell)
  • Físicos reescrevem a estória bíblica da criação na forma

No início Ele criou os céus e a terra -

e Ele disse, “Faça-se a luz” -

  • Terceiro suporte
    • Termodinâmica (Carnot, Mayer, Helmholtz, Clausius, Lord Kelvin) e Mecânica Estatística (Maxwell, Clausius, Boltzmann, Gibbs)
radia o de corpo negro
RADIAÇÃO DE CORPO NEGRO
  • Cálculo da intensidade de radiação emitida por uma cavidade aquecida, em um determinado comprimento de onda
  • Solução: Planck (1900)
  • Baseia-se na termodinâmica e na mecânica estatística
  • Início da Mecânica Quântica
1 radia o t rmica
1. Radiação Térmica

Radiação emitida por um corpo devido à sua temperatura

  • Corpo emite e absorve para o meio, continuamente
    • Corpo mais quente que o meio: taxa de emissão > taxa de absorção
    • Corpo mais frio que o meio: taxa de emissão < taxa de absorção
    • Equilíbrio térmico: taxa de emissão = taxa de absorção
slide29
Matéria em estado consensado (sólido, líquido) emite um espectro contínuo de radiação
    • Espectro é praticamente independente do material
    • Espectro é dependente da temperatura do material
    • Temperatura usual: corpo é visível pela luz que reflete
    • Temperatura muito alta: corpo tem luminosidade própria
    • Maior parte da radiação emitida está na região do infra-vermelho (fora do visível)
  • Primeiras medidas precisas do espectro de radiação
    • Lummer, Pringsheim (1899)
    • Espectrômetro de prisma (lentes especiais transparentes em altos λ); bolômetro
slide30
Radiância espectral
    • = energia emitida em radiação com comprimento de onda entre λ e λ +dλ,por unidade de tempo e por unidade de área, de uma superfície à temperatura T
    • = ( )
    • = potência irradiada entre λ e λ +dλ, por unidade de m2 , por um corpo à temperatura T
  • Radiância
    • = potência irradiada por unidade de m2 , por um corpo à temperatura T
    • = área total sob a curva
    • =
slide31
Espectro de radiação
    • Função de distribuição da radiância espectral em função do comprimento de onda λ da radiação emitida
    • versus λ
slide32
Características da função de distribuição observada
    • Baixas T : pouca potência irradiada em altos λ

radiância nula para λ→ 0 ou λ→∞.

radiância cresce rapidamente com λ, fica máxima em λmax e depois decai lenta mas continuamente

    • T mais altas: λmax diminui linearmente com o aumento de T

potência irradiada cresce com T de forma mais rápida que a linear

  • Lei de Stefan (1879)
    • Potência irradiada obedece à equação
    • Equação empírica, baseada nas observações experimentais
    • 𝜎 = 5,67. 10-8 W.m-2.K-4 (constante de Stefan-Boltzmann)
  • Lei do Deslocamento de Wien (1894)
    • Comprimento de onda máximo obedece à equação
    • cW = 2,898. 10-3 m.K-1 (constante de Wien)
slide33
Lei exponencial de Wien (1896)
    • Função de densidade espectral deve ter a forma
    • F (λ,T): - relação entre F e a distribuição de velocidades de Maxwell;

- impondo validade da Lei do Deslocamento:

  • Experimentalmente confirmada por Paschen (1899) para baixos λ (1-4 m)
  • Discrepância para medidas posteriores (1900) em mais altos λ (4-60 m)
2 corpo negro
2. Corpo Negro
  • Características
    • Emite espectros térmicos de caráter universal
    • Superfícies absorvem toda a radiação térmica que incide sobre ela
    • Não reflete luz (é negro)
  • Exemplo especial de Corpo Negro
    • Cavidade ligada ao exterior por um pequeno orifício
    • Radiação térmica vinda do exterior incide sobre o orifício e é refletida repetidas vezes pelas paredes interiores, sendo eventualmente absorvida pelas paredes
    • Área do orifício é muito pequena: essencialmente toda a radiação que incide sobre o orifício será absorvida pelo corpo (reflexão para fora é desprezível)

orifício absorve toda orifício tem as

a radiação térmica ⤇ propriedades de

incidente sobre ele um corpo negro

slide35
Aquecendo-se uniformemente as paredes da cavidade até a temperatura T:

Paredes irão emitir radiação térmica que vai encher a cavidade

A pequena fração de radiação térmica que incidir sobre o orifício irá atravessá-lo

Orifício irá atuar como um emissor de radiação térmica

Como o orifício tem as propriedades de um corpo negro, irá emitir uma radiação com espectro de corpo negro

Mas o orifício nos dá uma amostra da radiação dentro da cavidade

Radiação dentro da cavidade tem um espectro de corpo negro à temperatura T

slide36
Densidade de energia (cavidade)
    • = energia contida em radiação com frequência entre ν e ν +dν,por unidade de volume da cavidade à temperatura T
    • =
  • Fluxo de energia (buraco)
    • = energia emitida em radiação com frequência entre ν e ν +dν,por unidade de área do buraco à temperatura T, por unidade de tempo
    • =

T aumenta ⤇ aumenta ⤇ aumenta

Cavidade Buraco

(calculado) (medido)

3 encontrando a fun o de distribui o
3. Encontrando a função de distribuição
  • Supondo uma cavidade com paredes metálicas (temperatura T )

Agitação térmica

movimento dos elétrons

paredes emitem radiação eletromagnética na faixa térmica dos comprimentos de onda

slide38
Objetivo
    • Estudar o comportamento das ondas eletromagnéticas no interior da cavidade
    • Obter a função de distribuição espectral da cavidade e do buraco
  • Estratégia
    • Mostrar que dentro da cavidade a radiação deve existir na forma de ondas estacionárias com nós sobre as superfícies metálicas (eletromagnetismo clássico)
    • Fazer uma contagem do número de ondas com frequências entre ν e ν +dν (argumentos geométricos)
    • Calcular a energia média dessas ondas quando o sistema está em equilíbrio térmico

CLÁSSICA versus QUÂNTICA!!!!!

    • Obter a densidade de energia multiplicando o número de ondas estacionárias, na unidade de frequência, por sua energia média
slide39
ONDAS ESTACIONÁRIAS
  • Toda radiação que incidir sobre as paredes da cavidade será totalmente refletida, e portanto terá a forma de ondas estadionárias

Prova: - onda eletromagnética é uma vibração transversal, com perpendicular à direção de propagação

- direção de propagação é perpendicular à parede

- direção de é paralela à parede

- na parede não deve haver

Radiação dentro da cavidade existe na forma de ondas estacionárias,

com nós sobre as superfícies

slide40
Cavidade “unidimensional”
    • Campo elétrico para a onda estacionária unidimensional
    • Impondo as condições de contorno obtemos

x = 0 , x = a ⤇condições de contorno

slide41
CONTANDO ONDAS (diagrama para n)
  • Em uma dimensão

- número de pontos ni com frequência νi : ⤇

- número de pontos entre n e n+dn :

- número de pontos com frequência entre ν e ν +dν :

2 estados de polarização da luz

slide42
Número de ondas: resumo
    • Cavidade “unidimensional”:
    • Cavidade tridimensional:

Próximo passo: calcular a energia média dessas ondas quando o sistema está em equilíbrio térmico

CLÁSSICA versus QUÂNTICA!!!!!

Finalmente: calcular a densidade de energia espectral

slide43
Tentativas de resolver o problema
    • Cavidade oca é preenchida por radiação preta, independentemente da composição da cavidade
    • Modelo simples para a substância da cavidade: cargas positivas e negativas acopladas por forças elásticas entre si = osciladores com uma  própria
    • Radiação dos osciladores e sua interação com o campo de radiação deve seguir as leis da eletrodinâmica

Leis da eletrodinâmica ⤇ equações para o número de ondas

Osciladores ⤇ energias médias

slide44
Primeira tentativa: Max Planck (1897-1899)

- leis da termodinâmica macroscópica

(relação entre entropia S e energia interna U)

- partindo do princípio que a Lei de Wien é válida,

a entropia de um oscilador deve ter a forma

(a, b = constantes, e = base do ln)

- a energia média do oscilador será portanto

- função densidade de energia espectral:

Lei de Wien-Planck

Lei de Wien

slide45
Segunda tentativa: Rayleigh e Jeans (1900)

- lei da equipartição de energia:

energia média de um oscilador vale

(por grau de liberdade)

- para sistemas harmônicos teremos

- nos 3 casos (1D, 2D, 3D) o grau de

liberdade é 1 (amplitude do campo elétrico)

e a energia média será

- função densidade de energia espectral:

Lei de Rayleigh-Jeans

slide46

R-J

  • Comparando Wien-Planck, Rayleigh-Jeans e experimental

- Rayleigh-Jeans: boa para baixas frequências

péssima para altas frequências

(catástrofe do ultra-violeta)

- Wien-Planck: boa para altas frequências

ruim para baixas frequências

W-P

experimental

Intensidade

Frequência

slide47
Terceira tentativa: Planck (1900)

- interpolação, considerada por muitos a mais importante da história da física;

marca o início da evolução da teoria quântica

- percebeu que as expressões para a entropia nos dois casos (R-J e W-P)

levavam a equações semelhantes para sua segunda derivada

Rayleigh-Jeans (R-J) Wien-Planck (W-P)

- Utilizando chega à equação para a energia do oscilador:

- função densidade de energia espectral:

interpolação

slide48
- Combinando com as duas equações nos seus limites de validade:

baixas frequências: Rayleigh-Jeans (R-J)

devemos ter

altas frequências: Wien-Planck (W-P)

devemos ter

- Solução: Lei de Planck

slide49
Descrição para a radiação de corpo negro – situação em 19.10.1900

Rayleigh-Jeans Planck Wien-Planck

fundamentação existente ausente insatisfatória

teórica

validade baixas  todas altas 

(altos ) (todos) (baixos)

slide50
Descrição completa em 14.12.1900
    • Planck apresenta uma teoria completa para a radiação de corpo negro
    • Coloca a Lei de Planck em base sólida (fundamentação teórica)
    • Persiste no uso da entropia, porém parte para a termodinâmica estatística
    • Consequência: energia total deve ser distribuída por uma quantidade finita de osciladores
    • Osciladores só podem armazenar um múltiplo de um quantum de energia
    • Introduz a constante de Planck h
    • Início da Mecânica Quântica

- função densidade de energia espectral:

Lei de Planck

slide51
Cálculo da energia média – classicamente
    • Probabilidade de encontrar um ente com uma energia entre ε e ε +dεem um sistema em equilíbrio térmico à temperatura T :

Distribuição de Boltzmann

(K = cte. de Boltzmann = 1,38 .10-23 J/K)

    • A função P(ε) tem a forma:
slide52
Supondo que a energia seja uma variável contínua, a função εP(ε) terá a forma:
  • Novamente, supondo um contínuo de energias (integração), podemos calcular a energia média do sistema:

⤇ área sob a curva

  • Resolvendo a integral por partes, obtemos a energia média:

Lei de equipartição de energia

slide53
Cálculo da energia média – quanticamente
    • Supondo que a energia seja uma variável discreta, a função εP(ε) terá a forma:
    • Novamente, supondo um discreto de energias (somatória), podemos calcular a energia média do sistema.

⤇ área sob a curva

slide55
Resumindo: considerar a energia como tendo valores discretos leva a

que é um comportamento semelhante ao encontrado experimentalmente para a radiação de corpo negro

  • Para que os sistemas sejam equivalentes, devemos achar a relação entre Dε e 
  • Supondo a forma mais simples:
  • Caso essa forma for correta, a equação final obtida para a densidade de radiação espectral deverá representar bem os dados experimentais
  • Para encontrar a equação final, devemos calcular a soma

usando

slide58
(v) substituindo novamente na soma

(vi) truque para resolver a soma: substituir (Série de Maclaurin)

slide59
(vii) substituindo novamente na soma

(viii) retornando teremos a equação final

  • Portanto, a energia média do sistema, supondo um discreto de energias, será

com

  • Por analogia, a energia média do oscilador (corpo negro) será
slide60
Observando os limites dessa equação

(i) para

(expansão em série de Taylor)

(ii) para

Equação encontrada para a energia média satisfaz os requisitos nos limites

slide61
Densidade de energia espectral – quanticamente
    • Max Planck (1900)

- distribuição de Boltzmann

- energia possui apenas valores discretos

- a energia média do oscilador será portanto

- função densidade de energia espectral:

Lei de Planck

h = cte. de Planck = 6,63 .10-34 J.s

Planck não alterou a distribuição de Boltzmann, e sim apenas tratou a energia das ondas eletromagnéticas como uma grandeza discreta, ao invés de contínua

slide62
Confirmando a lei de Stefan
    • Equação empírica (Stefan, 1879)
    • Obtendo a equação a partir da lei de Planck

usando teremos

Lei de Planck confirma a lei de Stefan

slide63
Confirmando a lei do deslocamento de Wien
    • Equação empírica (Wien, 1894)
    • Obtendo a equação a partir da lei de Planck

usando

chega-se à equação que tem solução S numérica única, e portanto

Lei de Planck confirma a lei do deslocamento de Wien

4 postulado de planck
4. Postulado de Planck
  • Quantização da energia em sistemas harmônicos simples
    • Qualquer ente físico, com um grau de liberdade cuja “coordenada” é uma função senoidal do tempo (executa oscilações harmônicas simples) pode possuir apenas energias totaisεque satisfaçam à relação

onde  é a frequência de oscilação, e h uma constante universal (cte. de Planck)

    • “Coordenada” (sentido geral): qualquer quantidade que descreve a condição instantânea do ente