Cálculo Diferencial e Integral Derivada

1. Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN Centro de Ciências e Exatas da Terra – CCET Departamento de Estatística – DEST Programa de Educação Tutorial - PET Cálculo Diferencial e IntegralDerivada Retas tangentes e função derivada Derivada de funções e regras de derivação Derivada de ordem superior Estudo da variação de funções Aplicações de máximos e mínimos

2. Retas tangentes e função derivada • Reta tangente ao gráfico de uma função em um ponto do mesmo, é aquela que contém o ponto e que “melhor aproxima” o gráfico de nas vizinhanças deste ponto. Assim, a reta tangente pode ser determinada por seu coeficiente angular e pelo ponto de tangência.

3. Seja a função que está representada no gráfico, e sejam e dois valores de seu domínio. • A razão incremental é dada por: = • Denomina-se função derivada o limite de quando tende a zero. E indica-se por:

4. A função derivada nada mais é do que o coeficiente angular da reta tangente com o gráfico de no ponto . OBS: Como a derivada é um limite, então se o limite existir no ponto especificado, a função é contínua naquele ponto e consequentemente é derivável também, caso contrário a função não é derivável no ponto. Exemplo 1: Dada a função , definida em , calcular a função derivada . Solução

5. Exemplo 2: Qual é a equação da reta tangente à curva no seu ponto de abscissa 4? Solução Então é o ponto de tangência

6. Portanto, o coeficiente angular da reta tangente é 5 e sua equação é: Exercícios Determine, em cada caso, a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto .

7. Derivada de funções e regras de derivação • Derivada de função constante: • Derivada da função identidade: • Derivada da função potência: Exemplos: • Derivada da função seno: • Derivada da função cosseno: • Derivada da função exponencial: • Derivada da função logarítmica neperiana:

8. Regras de derivação • Derivada da soma: Exemplos

9. Regras de derivação • Derivada do produto: Exemplos

10. Regras de derivação • Derivada do quociente: Exemplos

11. Regras de derivação • Regra da cadeia: Exemplos • Fazendo , então • Fazendo , então • Fazendo , então • Fazendo , então

12. Exercícios • Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções

13. Calcule a derivada da função no ponto . • Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto de abscissa -2.

14. Derivada de ordem superior • Suponha que é uma função derivável no intervalo I. Se a função’(x), chamada de derivada primeira de , é derivável no mesmo intervalo, então existe a função derivada de , indica como que é chamada de derivada segunda de . Diz-se então que é duas vezes derivável. • Seguindo esse procedimento sucessivamente e, supondo que é n vezes derivável, obtém-se a função derivada enésima, ou derivada de ordem n, de indicada como . As funções , são as derivadas sucessivas de .

15. Estudo da variações de funções Extremos de uma função: Máximos e mínimos • Diz-se que a função admite um máximo em um ponto , se o valor da função em , , é maior que aqueles valores da função em todos os pontos de uma vizinhança de . • Diz-se que a função admite um mínimo em um ponto , se o valor da função em , , é menor que aqueles valores da função em todos os pontos de uma vizinhança de . OBS: Não confundir máximo/ mínimo com o maior/menor valor da função num intervalo.

16. X1+DX X1+DX x1 X1+DX X1+DX • Se a função , derivável no intervalo , tem um máximo ou um mínimo no ponto , então a derivada de é nula em , ou seja, . Se para e para então existe um máximo em e se para e para então existe um mínimo em . Outro modo de verificar se um ponto é de máximo ou de mínimo é fazendo o cálculo de derivadas sucessivas, se então existe um mínimo em e se então existe um ponto de máximo em .

17. f´(x1)=0 X1+DX X1+DX x1 x1 X1+DX X1+DX MÁXIMO MÍNIMO f´(x1)=0 MÁXIMOS E MÍNIMOS X3 X4 X1 X2

18. Crescimento e decrescimento de uma função • Uma função é crescente num ponto se . • Uma função é decrescente num ponto se . Concavidade Seja uma função contínua no intervalo e derivável no ponto .Dizemos que o gráfico de tem concavidade positiva em se, e somente se, existirem uma vizinhança de tal que, para ,os pontos do gráfico de estão acima da reta tangente à curva no ponto . Analogamente, se existe uma vizinhança de tal que, para , os pontos do gráfico de estão abaixo da reta tangente à curva no ponto , dizemos que o gráfico de tem concavidade negativa.

19. concavidade positiva concavidade negativa • Se é uma função derivável até segunda ordem no intervalo , é interno a e , então: • Quando , o gráfico de tem concavidade positiva em ; • Quando , o gráfico de tem concavidade negativa em .

20. Ponto de Inflexão • Seja uma função contínua no intervalo e derivável no ponto . Dizemos que é um ponto de inflexão do gráfico de se, e somente se, existe uma vizinhança de tal que nos pontos do gráfico de para e a concavidade tem sempre o mesmo sinal, que é contrário ao sinal da concavidade nos pontos do gráfico para .

21. Seja uma função com derivadas, até terceira ordem em . Seja . Se e , então é abscissa de um ponto de inflexão. Variação das funções • Para caracterizar como varia uma função , procuramos determinar: • O domínio; • A paridade • Os pontos de descontinuidade • As interseções do gráfico com os eixos e ; • O comportamento no infinito; • O crescimento ou decréscimo; • Os extremantes; • Os pontos de inflexão e a concavidade; • O gráfico

22. Exemplo • Estudar a variação da função . • Seu domínio é • A função não é par nem ímpar, pois: não é idêntica a nem a . • A função polinomial é contínua em . • Fazendo , temos , isto é, ou ou

23. As interseções com os eixos são os pontos ou crescente decresente

24. ou Então tem um mínimo em e um máximo em . h) concavidade negativa concavidade positiva Como o sinal da concavidade muda em , o gráfico tem um ponto de inflexão em .

25. i) Gráfico de .

26. Exercícios Nos exercícios a seguir, determine o domínio, a paridade, os pontos de descontinuidade, as interseções do gráfico com os eixos, o comportamento no infinito, o crescimento ou decrescimento, os extremantes, a concavidade, os pontos de inflexão e o gráfico de .

27. Aplicações de máximos e mínimos Exemplo • Um fabricante precisa produzir caixas de papelão, com tampa, tendo na base um retângulo com comprimento igual ao triplo da largura. Calcule as dimensões que permitem a máxima economia de papelão para produzir caixas de volume V. Solução O que estamos interessados em fazer é minimizar a quantidade de papel utilizado que é dado pela lei , onde , e é a largura, comprimento e a altura, respectivamente, da caixa. Para isso, precisamos encontrar de modo que seja mínimo. Para facilitar os cálculos escreveremos e em função de para trabalharmos apenas com uma variável independente.

28. Sabemos que o volume é dado por e o comprimento é dado por conforme o problema nos informa, então: Dessa forma conseguimos escrever e em função de , agora podemos escrever P em função apenas de , lembrando que é uma constante dada. Para encontrarmos o valor de que minimiza devemos derivar em relação a e igualar a zero e depois verificar se a segunda derivada é maior que zero no ponto encontrado que satisfaz a equação .

29. Como verificamos que é sempre maior que zero, então o valor de encontrado é aquele que de fato minimiza , sendo assim o valor de e que minimiza P é dado por:

30. Exercícios • Calcule o raio da base e a altura do cone de máximo volume que se pode inscrever numa esfera de raio . • Determine as dimensões do cone da área total mínima que pode circunscrever uma esfera de raio R. • Ache o ponto situado sobre a hipérbole de equação e que está mais próximo da origem.