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MATHÉMATIQUES DISCRÈTES Chapitre 4 (Sec 1-4)

MATHÉMATIQUES DISCRÈTES Chapitre 4 (Sec 1-4). François Meunier DMI. Utilités des notions de dénombrement. Les techniques de dénombrement sont très utiles dans la conception de logiciels. Ex: Quelle dimension devrait avoir une matrice, une table de hachage?

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MATHÉMATIQUES DISCRÈTES Chapitre 4 (Sec 1-4)

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  1. MATHÉMATIQUES DISCRÈTESChapitre 4 (Sec 1-4) François Meunier DMI

  2. Utilités des notions de dénombrement • Les techniques de dénombrement sont très utiles dans la conception de logiciels. Ex: Quelle dimension devrait avoir une matrice, une table de hachage? Ex: Quelle est la complexité moyenne d’un algorithme de tri comme le quick-sort? • Les réponses découlent de notre capacité de compter. • Les notions de comptage peuvent aussi être utilisées dans le domaine des jeux de hasard. Ex: Quelle stratégie devriez-vous envisager au Poker?

  3. Combinatoires • L’étude du nombre de façons de combiner des objets ensembles. • Ex: Dans un concours ou 100 personnes participent, • Combien de combinaisons de 10 tirages (ex: prix de présence) peuvent être générées? • Ex: Si un password a 6-8 lettres et/ou chiffres, • Combien peut-ont générer de passwords différents?

  4. Règles de la somme et du produit • Posons m le nombre de façons de faire une tâche 1 et n le nombre de façons de faire la tâches 2, • Avec m et n, nombres qui sont indépendents de la façon avec laquelle est faite l’autre tâche, • Supposons que chaque tâche n’est pas effectuée de façon simultanée. • Alors, nous avons les règles: • De la somme: La tâche “soit la tâche 1 ou la tâche 2, mais pas les deux” peut être faite de m+n façons. • Du produit: La tâche “faire les tâches 1 et 2” peut être faite de mn façons.

  5. Dénombrement et Théorie des ensembles • Si A est l’ensemble des façons de faire la tâche 1, et B l’ensemble des façons de faire la tâche 2, et si A et B sont disjoints, Alors: • Les façons de faire les tâches 1 ou 2 sont représentées par AB, et|AB|=|A|+|B| • Les façons de faire les tâches 1 et 2 sont représentées par AB, et |AB|=|A|·|B|

  6. Exemple: Règle de la somme • Nous avons 3 boîtes de livres Boîte 1 contient 15 livres de math Boîte 2 contient 12 livres de chimie Boîte 3 contient 10 livres d’informatique. • Un étudiant veut sélectionner un livre dans une des trois boîtes. De combien de façons cet étudiant peut-il faire cette tâche? • T1: Choix d’un livre de math • T2: Choix d’un livre de chimie • T3: Choix d’un livre de TI 15 +12+10

  7. Exemple: Règle de la somme • Compter les nombres de 11 bits de longueur avec une séquence de 7 bits. • Lesquels des nombres suivants devraient être comptés: • 10011001010 • 0110111101011 • 10000000011 • 10000000101 • 01111111010

  8. Exemple: Règle de la somme • Compter les nombres de 11 bits de longueur avec une séquence de 7 bits. • Lesquels des nombres suivants devraient être comptés: • 10011001010 Non!, pas de séq. de 7. • 0110111101011 Non! Chaîne trop longue. • 10000000011 Non! Séq. trop longue. • 10000000101 Oui! • 01111111010 Oui!

  9. Exemple: Règle de la somme • Nous devons déterminer la cardinalité de l’ensemble: A = {chaînes de 11 bits avec une séq. de 0s de 7 bits}  B = {chaînes de 11 bits avec une séq. de 1s de 7 bits} • A et B sont-ils disjoints?

  10. Exemple: Règle de la somme • A et B sont disjoints. Si nous avions les deux séq. de 0s et de 1s de 7 bits dans une chaîne, elle serait plus longue que 11 et d’au moins 14. • Pour compter la cardinalité d’ensembles disjoints nous utilisons: Règle de la somme: Si A et B disjoints Alors |A B| = |A|+|B| • Par symétrie, |A| et |B| sont égaux donc nous obtenons 2|A| ou 2|B|.

  11. Exemple: Règle de la somme • Décomposons: A = {chaînes de 11 bits avec une séq. de 0s de 7 bits} dans des sous-ensembles et utilisons la règle de la somme: A1 = {00000001***} (* des 0 ou 1) A2 = {100000001**} A3 = {*100000001*} A4 = {**100000001} A5 = {***10000000}. • Application de la règle de la somme: |A| = |A1|+|A2|+|A3|+|A4|+|A5|

  12. Exemple: Règle de la somme • Comptons chacun des sous-ensembles. A1 = {00000001***}. Avec 3 *’s, 2 choix/* (0 ou 1), règle du produit donne |A1| = 23 = 8 A2 = {100000001**}. Avec 2 *’s., |A2| = 22 = 4 A3 = {*100000001*}, A4 = {**100000001} Similairement: |A2|= |A3|= |A4| = 4 A5 = {***10000000}. |A1|= |A5| = 8 |A| = |A1|+|A2|+|A3|+|A4|+|A5| = 8+4+4+4+8 = 28. • Alors 2|A| = 56.

  13. Exemple: Règle du produit • Combien de chaînes de n bits peut-ont produire? => 2n chaînes. • Preuve : Avec S = {Chaîne de n bits}. S est en correspondance 1-à-1 avec: • Donc par la règle du produit nous déduisons:

  14. Exemple: Règle du produit • Combien de plaques d’immatriculation différentes sont disponibles si chaque plaque est constituée de séquences de 3 lettres et de 3 chiffres? _ _ _ _ _ _ 26 lettres possibles 10 chiffres possibles • 26.26.26.10.10.10 = 17 576 000

  15. Exemple d’adresse-IP– Règles de la somme et du produit • Convention du Internet Protocol, version 4: • Adresses valides des ordinateurs sont de 3 types: • Class A : Adresses IP contenant 7-bits de “netid” ≠ 17, et 24-bits de “hostid” • Class B: Adresses IP de 14-bits de netid et 16-bits de hostid. • Class C: Addresses IP de 21-bits netid et de 8-bits de hostid. • Les bits du Hostids doit être != 0s ou tout des 1s. • Combien d’adresses valides peuvent être utilisées? Class NetID HostID A 7 bits 24 bits

  16. Sol’n: Adresses IP • (# addresses) = (# classe A) + (# classe B) + (# classe C) (règle de la somme) • # classe A = (# valides netids)·(# valides hostids) (règle du produit) • (# valide classe A netids) = 27 − 1 = 127. • (# valide classe A hostids) = 224 − 2 = 16,777,214. • La même chose pour les autres classes nous donne au total: 3,737,091,842 (3.7 milliard d’adresses IP)

  17. Principe d’Inclusion-Exclusion • Supposons que km des façons de faire la tâche 1 permettent aussi de faire la tâche 2. • Et sont aussi des façons de faire la tâche 2. • Alors, le nombre de façons de faire: “Soit la tâche 1 ou la tâche 2” est mnk. • Théorie des ensembles: Si A et B ne sont pas disjoints, alors |AB|=|A||B||AB|. • Si ils sont disjoints, |A|+|B|.

  18. Principe d’Inclusion-Exclusion Visuellement. • Diagramme de Venn donne une preuve du principe d’Inclusion- Exclusion: U B-AB A-AB AB

  19. Exemple: Inclusion/Exclusion • Quelques règles d’hypothèses pour les passwords: • Passwords sont de 2 caractères de longueur. • Chaque caractère doit être une lettre a-z, ou un chiffre de 0-9, ou un des caractères de ponctuation !@#$%^&*(). • Chaque password doit contenir au moins 1 chiffre ou un caractère de ponctuation.

  20. Problème de password • Un password légal a un chiffre ou un caractère de ponctuation à la position 1 ou la position 2. • Ces cas se chevauchent, donc le principe d’inclusion/exclusion s’appliquent. • (# de passwords avec symboles valides à la position #1) = (10+10)·(10+10+26) • (# de passwords avec symboles valides à la position #2): aussi 20·46 • Exclure les cas communs: • (# avec des symboles OK aux 2 places): 20·20 • Réponse: 920+920−400 = 1,440

  21. Principe du Pigeonhole • Si ≥k+1 objets doivent être assignés à k places, alors au moins 1 place aura ≥2 objets. • En termes de fonction d’assignation: • Si f:A→B et |A|≥|B|+1, alors quelques éléments de B ont ≥2 pré-images sous f. • i.e., f n’est donc pas 1-à-1.

  22. Exemple du principe Pigeonhole • Il existe 101 façons possibles de donner une note sur 100 (0%-100%) arrondie à l’entier le plus proche. • Si aussi, nous avons >101 étudiants dans la classe. • Alors, il y aura au moins une note assignée à plus de 1 étudiant. • i.e., la fonction d’étudiants vers une note sur 100 n’est pas une fonction 1-à-1.

  23. Généralisation du principe Pigeonhole • Si N objets sont assignés à k places, alors au moins une place aura au moins N/k objets. • Ex:, Si nous étions N=280 étudiants dans cette classe. Avec k=52 semaines dans l’année. • Il devrait y avoir au moins une semaine avec au moins 280/52= 5.38=6 étudiants dont se sera la fête.

  24. Preuve du G.P.P. • Par contradiction. Supposons que chaque place a < N/k objets, alors ≤ N/k−1. • Alors le nombre total d’objets est au plus: • Donc, il y a moins de N objets, ce qui est en contradiction avec la supposition de N objets □

  25. Exemple: G.P.P. • Sachant que: Nous avons 280 étudiants dans une classe. • Selon le G.P.P. au moins combien d’étudiants n peuvent être nés le même mois? • Réponse: 280/12 = 23.3 = 24

  26. Permutations • Une permutation d’un ensemble S d’objets est une séquence contenant chaque objet dans S exactement 1 fois. • Un arrangement ordonné de r éléments distincts de S est une r-permutation de S. • Le nombre de r-permutations de S avec n=|S| éléments est:P(n,r) = n(n−1)…(n−r+1) = n!/(n−r)!

  27. Exemple: Permutation • Supposons que nous avons une palette de couleur– Red, Green, Blue, et Pourpre. • De combien de façons peut ont combiner deux couleurs différentes? RG, RB, RP, GR, GB, GP, BR, BG, BP, PR, PG, PB n = 4 et r = 2 n!/(n-r)! = 4.3 = 12

  28. Exemple: Permutation • Si vous êtes dans un film de Batman et que vous êtes assis sur une bombe que vous devez désactiver en coupant 3 des 10 fils dans le bon ordre. Quel est votre chance de survie si tous les fils sont de la même couleur? P(10,3) = 10!/(10-3)! 10·9·8 = 720, donc nous avons 1 CHANCE sur 720 de survivre!

  29. Combinaisons • Une r-combinaison d’éléments d’un ensemble S est le sous-ensemble TS avec r membres, |T|=r. • Le nombre de r-combinaisons d’un ensemble de n=|S| éléments est • Notez que C(n,r) = C(n, n−r) • Donc choisir les r membres de T revient à choisir les n−r non-membres de T.

  30. Nombre de r-combinaisons • Combien peut-on choisir de sous-ensembles de 2 bagels parmi un ensemble de 4? => C(4,2). { , , , } C(4,2) = 6. C (4,2) = (4·3)/(2·1) = 12/2 = 6

  31. Dérivation de la formule: r-combinaison • La formule de la r-combinaison: C (n,r ) = P (n,r )/ r ! • Cette forme suggère qu’il existe un lien entre les r-combinations et les r-permutations: En fait selon la règle de division nous avons r ! r-permutations pour chaque r-combinaison. • Ex: 3-combinaison {1,2,5} correspond à 3! = 6 3-permutations différentes: (1,2,5),(1,5,2),(2,1,5),(2,5,1),(5,1,2),(5,2,1). • La règle de division permet de dire: chaque r-combo est une cellule contenant r ! r-permutations.

  32. Règle de la division • Nouvelle règle de dénombrement: RÈGLE DE DIVISION: Supposons S un ensemble fini divisé en cellules de cardinalité d. Donc le nombre de cellules est |S | / d. • Si vous avez un trésor de187 pièces d’or qui sont réparties dans des saca de 17 pièces chacun. Combien avez-vous de sacs de pièces d’or? => 187 / 17 = 11

  33. Exemple: Combinaison • Combien de mains de 7-cartes distinctes peuvent être tirées d’un paquet de 52-cartes standard? • L’ordre des cartes dans la main n’est pas important. • Réponse C(52,7) = P(52,7)/P(7,7)= 52·51·50·49·48·47·46 / 7·6·5·4·3·2·1 52·17·10·7·47·46 = 133,784,560

  34. Exemple: Combinaison • Chaque paquet est constitué de 52 cartes (sans les Jokers). Ces 52 cartes sont divisées en 4 types (suites, sortes) : Carreau Pique Trèfle Coeur

  35. Exemple: Combinaison • Chaque suite est constituée de 13 cartes: As, 2, 3, 4, 5, 6, 7 8, 9, 10, valet,reine,roi

  36. Cartes: Poker • Une main poker consiste en un ensemble de 5 cartes. • Il existe différentes configurations de mains avec chacune leur nom spécifique.

  37. Glossaire des mains de Poker • Straight flush Five cards in sequence in the same suit. A royal straight flush (A-K-Q-J-10 in same suit) is the highest non-joker poker hand possible. • Four of a kind Four cards of the same rank. • Full house Three of a kind and a pair. When matching full houses, the one with the higher three of a kind wins. • Flush Five cards of the same suit. • Straight Any five cards in sequence but not all of the same suit. • Three of a kind Three of the same rank with two unmatched cards. • Two pairs Two cards of one rank with two cards of a different rank with one dissimilar card. When matching pairs occurs between players, the one with the higher fifth card wins. • One pair Any two cards of the same rank.

  38. Exemple: Cartes: Poker • Combien est-il possible de produire de mains différentes au Poker? • Ce nombre de mains correspond au nombre de sous-ensembles de 5-éléments à partir d’un ensemble de cardinalité 52. C (52,5) = 52!/(5!(52-5)! = 2,598,960

  39. Exemple: Cartes: Poker • Combien de mains différentes correspondent à une full house? • Selon la régle du produit: Une paire et un triplet ( 3 cartes pareils) • Nombre de pairs: 13·C (4,2) • Choix d’un rang (ex: As, valet etc.): 13 • Choix de 2 parmi 4 types: C (4,2) • Nombre de 3 pareils: 12·C (4,3) • Choix d’un rang différent: 12 • Choix de 3 parmi 4 types: C (4,3) Nombre total: 13·C (4,2)·12·C (4,3) = 3744

  40. Coefficients Binomiaux • C(n, r) peut être utilisés comme coefficent dans une expression comme (x + y)n C(3,0) C(3,1) C(3,2) C(3,3)

  41. Triangle de Pascal • Identité de Pascal • C(n+1, k) = C(n, k-1) + C(n, k) Triangle de Pascal

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