nestacionarno te enje n.
Download
Skip this Video
Loading SlideShow in 5 Seconds..
Nestacionarno tečenje PowerPoint Presentation
Download Presentation
Nestacionarno tečenje

Loading in 2 Seconds...

play fullscreen
1 / 32

Nestacionarno tečenje - PowerPoint PPT Presentation


  • 124 Views
  • Uploaded on

Nestacionarno tečenje. Nestacionarna jednadžba kontinuiteta Početni i rubni uvjeti Rješavanje sustava ODJ (običnih diferencijalnih jednadžbi) Eksplicitne vremenske integracije Implicitne vremenske integracije Mješovite metode Adaptivni postupci Testovi crpljenja.

loader
I am the owner, or an agent authorized to act on behalf of the owner, of the copyrighted work described.
capcha
Download Presentation

PowerPoint Slideshow about 'Nestacionarno tečenje' - clea


An Image/Link below is provided (as is) to download presentation

Download Policy: Content on the Website is provided to you AS IS for your information and personal use and may not be sold / licensed / shared on other websites without getting consent from its author.While downloading, if for some reason you are not able to download a presentation, the publisher may have deleted the file from their server.


- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - E N D - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Presentation Transcript
nestacionarno te enje
Nestacionarno tečenje
  • Nestacionarna jednadžba kontinuiteta
  • Početni i rubni uvjeti
  • Rješavanje sustava ODJ (običnih diferencijalnih jednadžbi)
  • Eksplicitne vremenske integracije
  • Implicitne vremenske integracije
  • Mješovite metode
  • Adaptivni postupci
  • Testovi crpljenja
slide2

Deformacija vodonosnika i zbijanje

  • σT =const. (težina objekta ista)→smanjenje hidrauličke visine –dh rezultira
  • povećanjem σe(dσT = -ρgdh). Dakle:
  • negativni znak pokazuje da se radi o smanjenju debljine vodonosnika
  • Dakle, prekomjerno pumpanje prouzrokuje horizontalne gradijente, h opada, σe raste i vodonosnik se zbija. Ako se ovo zbijanje propagira sve do površine zemlje tada dolazi do pojave ("land subsidence") spuštanja tla.
  • Specifična zapremina vodonosnika se definira kao volumen vode kojeg jedinični volumen vodonosnika ispusti uslijed jediničnog spuštanja hidrauličke visine (potencijala).
slide3

Padom hidrauličkog potencijala opada tlak tekućine i raste efektivni napon σe. Ispuštena voda iz zapremine vodonosnika rezultat je dva mehanizma:

  • zbijanja vodonosnika uslijed povećanja σe i
  • uslijed opadanja tlaka tekućine p
  • U prvom slučaju, rezultat promjene volumena je ispuštanje vode, pa se korištenjem izraza dobiva:

pri čemu je zadnja jednakost dobivena uzimanjem jediničnog volumena, VT=1, te činjenicom da je promjena efektivnog tlaka σe kontrolirana promjenom hidrauličke visine, dσe = ρgdh (jedinično opadanje hidrauličke visine rezultira sa dh=-1)

Voda koja se izluči opadanjem tlaka može se pisati:

pri čemu smo koristili Vv = nVU (n je porozitet) i dp = ρgd(h –z) uz jedinični volumen i jedinično opadanje hidrauličkog tlaka, dh=-1

slide4

specifični volumen je zbroj navedena dva mehanizma koji opisuju način ispuštanja vode iz jedinične zapremine vodonosnika:

  • Jedinica gornjeg izraza je [ dužina-1] što i proizlazi iz definicije SS koja kaže da je volumen vode iz jediničnog volumena vodonosnika ispušten pod djelovanjem jediničnog pada hidrauličke visine.
  • u vodonosniku koji je pod tlakom (npr., hidraulička visina iznad gornjeg nivoa vodonosnika) i koji ima visinu b, definiramo koeficijent zapremine sa:
  • S→volumen vode kojeg vodonosnik može ispustiti po jediničnoj površini i jediničnom padu komponente hidrauličke visine okomite na tu površinu
  • kod vodonosnika sa slobodnim vodnim licem parametar zapremine se definira kao specifična izdašnost ("specific yield"), Sy.
  • Sy→volumen vode kojeg vodonosnik sa slobodnim licem ispusti po jediničnoj površini kao rezultat jediničnog pada hidrauličke visine.
slide5

U općenitom slučaju nestacionarnog tečenja, zakon održanja mase se manifestira u tome što neto protok mase vode kroz kontrolni volumen mora biti jednak vremenskoj promjeni mase tekućine unutar volumena. Korisno je napomenuti da u bilo kojem mediju i pri bilo kojim fizikalnim procesima zakon održanja neke mjerljive veličine se riječima opisuje kao: vremenska promjena veličine jednaka je negativnoj divergenciji toka te veličine.

  • U podzemnoj sredini i korištenjem Darcy-evog zakona za protok vode, zakon održanja mase matematički se opisuje kao:

pri čemu je SS specifična zapremina. Za gornji izraz nestacionarnog tečenja mogu se primjenjivati ista pojednostavljenja u odnosu na homogenost i izotropnost hidrauličke vodljivosti.

slide6

Ako pri tome još promatramo dvodimenzionalni slučaj horizontalnog vodonosnika pod pritiskom, tada jednadžba poprima slijedeći oblik:

**

  • gdje je S=SSb, T=Kb i b je debljina vodonosnika
  • rješenje opisuje polje hidrauličkog potencijala kroz horizontalnu ravninu u funkciji vremena
  • parametri potrebni za rješenje gornjeg izraza su koeficijent zapremine S i transmisivnost T.
eksplicitna vremenska integracija 2 d nestacionarne jednad be te enja
Eksplicitna vremenska integracija 2-D nestacionarne jednadžbe tečenja
  • Eulerova metoda
  • Prostorna diskretizacija prema konačnim razlikama (MODFLOW)
eksplicitna vremenska integracija 2 d nestacionarne jednad be te enja1
Eksplicitna vremenska integracija 2-D nestacionarne jednadžbe tečenja
  • Runge-Kutta metoda
  • Prostorna diskretizacija prema konačnim razlikama (MODFLOW) ili elementima (Fi)
slide9

Fundamental Approach of Numerical Integration

y = f(t), unknown

yt+t,

unknown

yt+t, estimated

y

, known

yt, known

t, specified

t

example of numerical integration
Example of Numerical Integration

point to estimate

Analytical solution to dy/dt

Y0 = 10

 t = 0.5

slide11

Euler’s Method: yt+ t≈ yt + dy/dtt

analytical y(t+ t)

m1 = dy/dt at yt

m1 = 6*10-.007*(10)2

y = m1*t

yest=yt + y

y

estimated y(t+ t)

y

yt = 10

 t = 0.5

runge kutta example
Runge-Kutta Example

point to estimate

Problem: estimate the slope to

calculate y

y

 t = 0.5

slide13

Runge-Kutta Example

Weighted average of > 1 slope

½ Δt

Δt

t

estimated yt+Δt

Unknown point to estimate, yt+Δt

estimated yt+Δt

estimated yt+Δt

yt

 t = 0.5

slide14

Runge-Kutta, 4th order

Uses the derivative, dy/dt, to calculate 4 slopes (m1…m4) within Δt:

These 4 slopes are used to calculate a weighted slope of the state function between t and t + Δt, which is used to estimate yt+ Δt:

slide15

Step 1:

Evaluate slope at current value of state variable.

y0 = 10

m1 = dy/dt at y0

m1 = 6*10-.007*(10)2

m1 = 59.3

y

m1=slope 1

y0

slide16

Step 2:

A) Calculate y1at t +t/2 using m1.

B) Evaluate slope at y1.

A) y1 = y0 + m1* t /2

y1 = 24.82

B) m2 = dy/dt at y1

m2 = 6*24.8-.007*(24.8)2

m2 = 144.63

m2=slope 2

y1

 t = 0.5/2

slide17

Step 3:

Calculate y2 at t +t/2 using k2.

Evaluate slope at y2.

y2 = y0 + k2* t /2

y2 = 46.2

k3 = slope 3

k3 = dy/dt at y2

k3 = 6*46.2-.007*(46.2)2

k3 = 263.0

y2

 t = 0.5/2

slide18

Step 4:

Calculate y3 at t +t using k3.

Evaluate slope at y3.

y3 = y0 + k3* t

y3 =141.5

y3

k4 = slope 4

k4 = dy/dt at y2

k4 = 6*141.0-.007*(141.0)2

k4 = 706.9

y2

 t = 0.5

slide19

Now you have 4 calculations of the slope of the state equation between t and t+Δt

m4 = slope 4

m3 = slope3

m2 = slope 2

m1 = slope 1

 t = 0.5

slide20

Step 5:

Calculate weighted slope.

Use weighted slope to estimate y at t +t

weighted slope =

true value

weighted slope

estimated value

 t = 0.5

conclusions
Conclusions

Analytical

  • 4th order Runge-Kutta offers substantial improvement over Eulers.
  • Both techniques provide estimates, not “true” values.
  • The accuracy of the estimate depends on the size of the step used in the algorithm.

Runge-Kutta

Eulers

eksplicitna adamsova vremenska integracija
Eksplicitna Adamsova vremenska integracija
  • Adamsova metoda drugog reda
  • Adams-Bashforth metoda petog reda
eksplicitna integracija
Eksplicitna integracija
  • Nema sustava algebarskih jednadžbi
  • Stabilnost i točnost
  • Samo uvjetno stabilne; generalno se mogu opisati Courantovim brojem
  • Točnost se može ocijeniti samo lokalno u svakom vremenskom koraku
  • Točnost se procjenjuje kao razlika između rješenja dobivenog s istom metodom (n+1) i (n)-reda
eksplicitna integracija1
Eksplicitna integracija
  • Runge-Kutta metode s jednim korakom
  • Adamsove metode s više koraka
  • Adamsove metode su stabilnije, ali traže veću memoriju i organizaciju koda zbog “pamćenja” prethodnih koraka
  • Krutost sustava običnih diferencijalnih jednadžbi (samo neki čvorovi traže jako male korake u odnosu na ostale, a nisu bitni za točnost rješenja)
implicitna vremenska integracija 2 d nestacionarne jednad be te enja
Implicitna vremenska integracija 2-D nestacionarne jednadžbe tečenja
  • Eulerova metoda
  • Prostorna diskretizacija prema konačnim razlikama (MODFLOW)
implicitna vremenska integracija
Implicitna vremenska integracija
  • Zahtijevaju rješenje sustava alg. jednadžbi
  • Adamsove metode s više koraka zahtijevaju sustav s brojem nepoznanica jednakim brojem čvorova
  • Runge-Kutta metode s jednim korakom traže sustav s više nepoznanica nego čvorova
  • Bezuvjetno stabilne
  • Veća točnost za isti vremenski korak od eksplicitnih metoda
mje ovita vremenska integracija
Mješovita vremenska integracija
  • Koristi informacije iz početnog i krajnjeg vremenskog koraka
  • Prediktor-korektor metode
nestacionarno te enje za formulaciju mke1
Nestacionarno tečenje za formulaciju MKE
  • Kapacitivna matrica, matrica provođenja i vektori desne strane (vanjskog opterećenja i rubnih dotoka na obje vrste granice)
nesaturirano te enje
Nesaturirano tečenje
  • Saturiranost
  • Hidraulička propusnost
  • Relativna propusnost (van Genuchten)
nesaturirano te enje1
Nesaturirano tečenje
  • Darcy-ev zakon tečenja
  • Richards-onova jednadžba nesaturiranog tečenja
  • Za rješavanje nesaturiranog tečenja potrebni su konstitutivni (najčešće) empirijski zakoni