Eigenschaften von Relationen und deren Überprüfung; Definition von Ordnung

1. Eigenschaften von Relationen und deren Überprüfung; Definition von Ordnung Garnier, R. & Taylor, J. (1997). Discrete Mathematics for New Technology. Bristol: Institute of Physics Publishing

2. Definition von Relation • Die binäre Relation R von A nach B (oder zwischen A und B) ist eine Teilmenge des kartesischen Produktes A  B. • Man schreibt aRb, wenn (a, b)  R.

3. Beispiel • R = {(a, b): a ist Hauptstadt von b} • A = {Rom, Paris, Berlin, Wien};B = {I, F, D, A} • A  B = {(Rom, I), (Rom, F), (Rom, D), (Rom, A) … } • R = {(Rom, I), (Paris, F), (Berlin, D), (Wien, A)} • (Rom)R(I), (Paris)R(F), (Berlin)R(D), (Wien)R(A)

4. Darstellung von Relationen I Koordinatengitter R = {(a, b): a < b} A = B = {1, 2, 3, 4, 5}

5. Darstellung von Relationen II Gerichtete Graphen R = {(a, b): a < b} A = B = {1, 2, 3, 4, 5}

6. Darstellung von Relationen III Binäre Matrix R = {(a, b): a < b} A = B = {1, 2, 3, 4, 5}

7. Eigenschaften von Relationen

8. Überprüfung der Reflexivität • aRa • gerichteter Graph • Pfeil zu sich selbst • binäre Matrix • Zellen der Haupt-diagonale mit 1 besetzt

9. Überprüfung der Symmetrie • aRb bRa • gerichteter Graph • nur bidirektionale Pfeile • binäre Matrix • symmetrisch entlang der Hauptdiagonale

10. Überprüfung der Antisymmetrie • aRb  bRa a=b • gerichteter Graph • nur unidirektionale Pfeile • binäre Matrix • Wenn eine beliebige Zelle (i, j) 1 enthält, muss die Zelle (j, i) 0 enthalten.

11. Überprüfung der Transitivität • aRb  bRc  aRc

12. Definition von Ordnung • Als Ordnung oder Ordnungsrelation wird jede transitive Relation bezeichnet.

13. Danke Folien, Text und Handout des Referats stehen auf der Homepage zum Download bereit.