תרגול הכנה למבחן don’t panic

תרגול הכנה למבחןdon’t panic שאלות מתוך:2007 סמסטר א' מועד ב'

קצת גרפים... נתון גרף מלא על 2n צמתים, עם משקלים אי-שלילים לקשתות. • נסמן ב-m את משקל הזיווג המושלם שמשקלו מינימלי. • נסמן ב-c את משקל המעגל ההמילטוני שמשקלו מינימלי. • נסמן ב-t את משקל העץ הפורש שמשקלו מינימלי. טענות: (i) t ≤ cתמיד. (ii) t ≤ cאם ורק אם המשקלים בגרף מקיימים את אי שוויון המשולש. (iii) m ≤ c/2 תמיד. (iv)m ≤ c/2אם ורק אם המשקלים בגרף מקיימים את אי שוויון המשולש. אילו מהטענות הנ"ל נכונות? א. i + iii ב. i + iv ג. ii + iii ד. ii + iv

קצת גרפים... טענות: (i) t ≤ cתמיד. (ii) t ≤ cאם ורק אם המשקלים בגרף מקיימים את אי שוויון המשולש. (iii) m ≤ c/2 תמיד. (iv)m ≤ c/2אם ורק אם המשקלים בגרף מקיימים את אי שוויון המשולש.

קצת גרפים... הוכחות: • (i)t ≤ c תמיד:אם נסיר קשת אחת ממעגל המילטוני מינימאלי,נקבל עץ פורש.ז"א: t ≤ c – w(e) ≤ c • (iii)m ≤ c/2 תמיד:מעגל המילטוני מינמאלי הוא איחוד של שני זיווגים מושלמים.ז"א:m ≤ min{m1,m2} ≤ (m1+m2)/2 = c/2 תשובה:א. i + iii

מסלול פשוט מקסימלי מהי המחלקה המינימלית ביחס להכלה אליה שייכת הבעיה הבאה? קלט: גרף מכוון G ושני צמתים בו x ו-y. שאלה: האם כל מסלול פשוט מ-x ל-y ב-G הוא באורך לכל היותר n/2? א. L ב. NL ג. P ד. NP ה. PH ו. אף אחד מהנ"ל. x d a y b c f

מסלול פשוט מקסימלי שאלה: האם כל מסלול פשוט מ-x ל-y ב-G הוא באורך לכל היותר n/2? רעיון – נשתמש באלגוריתם דומה ל-non-Conn ב-NL ז"א נחשב באינדוקציה את: pi = {v | there exists a path from x to v of length i} בעיה – אי אפשר לוודא ב-NL שהמסלול פשוט... x d a y b c f

x’ x d’ d a’ a y’ y b’ c’ f’ b c f מסלול פשוט מקסימלי שאלה: האם כל מסלול פשוט מ-x ל-y ב-G הוא באורך לכל היותר n/2? רעיון 2 – נראה רדוקציה מ-non-HamPath: נכפיל את מספר הצמתים בלי להוסיף קשתות. בגרף החדש יש מסלול פשוט באורך n/2 אמ"ם בגרף המקורי מסלול המילטוני. מסקנה – השפה ב-coNPC תשובה:ה. PH

מיוןSorting • נגיד שפונקציה f חשיבה ב-NL אם: • קיימת מכונת טיורינג (א-דטרמיניסטית) עם • סרט קלט (קריאה בלבד) • סרט פלט (כתיבה בלבד) • וסרט עבודה (מוגבל במקום O(lg n)). • בהינתן x על סרט הקלט, המכונה: • מחזירה על סרט הפלט אתf(x) ועוברת למצב YES • או מחזירה פלט כלשהו ועוברת למצב Quit, • ולכל קלט יש לפחות ריצה אחת שבסופה המכונה במצב YES.

מיוןSorting Dsort היא הבעיה הבאה: • קלט: גרף מכוון G וצומת שלו s. • פלט: רשימה של כל הצמתים ממוינים לפי מרחקם מ-s. • אם לכמה צמתים יש את אותו מרחק מ-s אז המיון הוא לפי סדר לקסיקוגרפי עולה. • (תזכורת: מרחק מצומת s לצומת v הוא אורך המסלול הקצר ביותר מ-s ל-v). • צ"ל:Dsort חשיבה ב-NL.

s d a e b c f מיוןSorting • פלט: רשימה של כל הצמתים ממוינים לפי מרחקם מ-s. • לדוגמא: • (s,a,c,d,e,f,b) • (s,a,d,c,f,e,b)

s d a e b c f מיוןSorting • לדוגמא: • (s,a,c,d,e,f,b) • (s,a,d,c,f,e,b) • נסמן: rk = {v | d(s,v) ≤ k} • ואז באופן כללי נקבל שתוצאת המיון היא: (s=r0,r1\r0,…,rn\rn-1,V\rn)

s d a e b c f מיוןSorting • תזכורת – הוכחת non-Conn ϵ NL:בונים באינדוקציה עד ל-rk... • לכל צמת v ב-rkמראים מסלול באורך k • לכל צמת u לא ב-rk, מראים |rk-1| צמתיםב-rk-1 שהם לא שכנים של u • אנחנו רוצים – עד ל-rk\rk-1: • לכל צמת v ב-rk-1מראים מסלול באורך k-1 • לכל צמת u לא ב-rk, מראים |rk-1| צמתיםב-rk-1 שהם לא שכנים של u • לכל צמת w ב- rk\rk-1מראים |rk-2| צמתיםב-rk-2 שהם לא שכנים של w + מסלול באורך k • סיבוכיות זכרון (סרט עבודה) – O(log(n))

s d a e b c f מיוןSorting • Dsort ϵ NL – נתאר מ"ט א-דטרמיניסטית Mשתפתור את Dsort: • M "תנחש" (חישוב א"ד) את העד • M תדפיס את תוצאת המיון לסרט הפלט • אם העד חוקי, M תקבל, אחרת תדחה

Unique Game • נניח שלכל ε > 0 קיים k כך ש- gap-kUG[ε,1- ε] ϵ NP-hard: הראו, ללא שימוש במשפט ה-PCP, שבעיית ה-Clique היא NP קשה לקרוב לכל קבוע. u x πu,v = {(a,a),(b,c)(c,b)} v w UG – מקסימום קשתותשמסופקות במקביל Clique – מקסימום צמתים שכנים

u,va,a u,vb,c u,xa,b x,wa,c Unique Game • רדוקציה מ-gap-UG ל-gap-Clique: • ניצור צמת בגרף הקליק לכל (קשת + צביעה חוקית של צמתיה) בגרף ה-UG • נחבר צמתים בקשת בגרף הקליק אמ"ם הצביעות לא סותרות בגרף ה-UG u x πu,v = {(a,a),(b,c)(c,b)} v w סיבוכיות – זמן פולינומיאלי

gap-kUG[ε,1- ε] ≤ gap-CLIQUE[ε/k,(1- ε)/k] • נשים לב כי |VCLIQUE| = k|EUG| • נכונות: • נאותות – אם קיימת קליקה בגודל (ε/k), אז הצביעה של ה-UG המתאימה מספקת ε מהאילוצים. • שלמות – אם קיימת צביעה שמספקת (1-ε) מהאילוצים, אז הצמתים המתאימים לקשתות שמסופקות יוצרים קליקה של(1-ε)k צמתים. u x πu,v = {(a,a),(b,c)(c,b)} u,va,a v w u,vb,c u,xa,b x,wa,c

תודה ובהצלחה

תרגול הכנה למבחן don’t panic