ترسیمهای هندسی در عالم اسلامی

2. ترسیمهای هندسی در عالم اسلامی استاد راهنما: دکتر مجتبی آقایی گردآورندگان: طاهره رفیعی زهرا منتظری مژگان خاتمی

3. آپولونیوس آپولونيوسِ پِرگايي (262ـ190ق‌م،( ریاضیدان و ستاره شناس یونانی که مقاطع مخروطی و حرکات سیاره‌ای از زمینه‌های موردتوجه او بودند. نام وي در منابع اسلاميبيشتر به صورت بَلينوس يا بَليناس و نيز به صورتهاي اَبُولُونْيوس، اَفُولُونيوس، اَبْلينَس، اَبُولوس، اَبُلُّونيوس آمده است . معاصرانش او را(مهندس بزرگ) مي‌ناميدند. برخي از دانشمندان اسلامي لقب نجّار به وي داده‌اند. او به تکمیل نوعی ساعت آفتابی که خطوط ساعتی آن روی یک سطح مخروطیکشیده شده بودند هم پرداخت.

4. وی در زمینه هندسه مقاطع مخروطی کار کرد و این هندسه کمک زیادی به اختر شناسان نمود . اواز همان برهانهای یونانی استفاده نمود اما به نتایج تازه و جالبی درمورد هندسه مقاطع مخروطی دست یافت. مشهورترين اثر وي كتاب مخروطات است كه در نوع خود مهم‌ترين اثر علمي زمان وي بهشمار مي‌رفته و تا قرنها مورد استفاده بوده است. وي مبحث مقاطع مخروطي را كه درپژوهشهاي هندسه‌دانان گذشته ناقص مانده بود، تكميل كرد و اصطلاحات Parabola) ) شلجمييا سهمی ،( Hyperbola)هُذلولي و Ellips ))بيضي را وارد دانش مخروطات ساخت.

5. بخش مهمي از اثار آپولونيوس در سده‌هاي نخستينِ هجري به زبان عربي ترجمه شده است،ولي اكنون نه از اين ترجمه‌ها چيزي به جاي مانده است نه از اصل يوناني آنها. عنوانعربي قسمتي از اين آثار چنين است: رساله في قطع السّطوح علي النّسبه، رساله فيالنّسبه المحدوده، رساله في الدّوائر المماسّه.

6. آپولونیوس اغلب ازخطوط مرجع برای مطالعه راجع به مقاطع مخروطی استفاده می کرد. برای مثال اوبیضی را به وسیله اندازه گیری فاصله درطول قطرویک خط مماس دربیضی که عمود برقطررسم می شود مطالعه می کرد.

7. سیستم اندازه گیری آپولونیوس بسیار شبیه ؟کار می کند.اما چندین تفاوت مهم با آن وجوددارد: اول: خطوط مرجع آپولونیوس همیشه زاویه ندارد گاهی مایلند.

8. دوم: آپولونیوس از اعداد منفی استفاده نمی کرد .او تنها از یک راه می توانست در طول خطوط مرجع حرکت کند . تفاوت عمده: آپولونیوس ابتدا همیشه منحنی را رسم می کرد وسپس خطوط را به آن اضافه می کرد اما امروزه ما ممکن است محورهای ؟ را کشیده و سپس سهمی یا هذلولی را رسم کنیم اما برای این کار نیاز به معادله ی سهمی یا هذلولی داریم. آپولونیوس از جبر استفاده نمی کرد بنابراین می بایست در مورد هندسه بدون رسم مطالعه می کرد.

9. نظریۀ مقاطع مخروطی آپولونیوس رأس محور مولّد قاعده یک سطح مخروطی دو پارچه از خطوط مستقیمی که بر نقاط محیط یک دایره، به نام قاعده، و نقطۀ ثابتی غیر واقع بر صفحۀ قاعده می گذرند، تشکیل می شود. هر یک از خطوط مستقیم را، یک مولد سطح، نقطۀ ثابت را رأس آن، و خط مستقیمی مار بر رأس و مرکز قاعده را محور می نامند. یک مخروط جسمی است که توسط بخشی از سطح مخروطی دو پارچه که بین رأس و قاعده قرار دارد، محصور می شود.

10. اقلیدس و ارشمیدس هر دو پیش از آپولونیوس دربارۀ مقاطع مخروطی چیز نوشتند، اما در بحثهای آنان از مقاطع مخروطی، مخروط همان به اصطلاح مخروط قائم بود که در آن، محور بر دایره قاعده عمود است. سپس این مخروط قائم به وسیلۀ صفحه ای عمود بر یک مولد قطع داده می شد، و به این ترتیب یک مقطع مستوی به دست می آمد، و نوع مقطع به زاویۀ رأس مخروط بستگی داشت. بنابراین در دنیای باستان، مقاطع مخروطی اشکال مسطحه بودند، در حالی که ما به مرزهای این اشکال مسطحه نظر داریم و مقاطع مخروطی را منحنی تلقی می کنیم.

11. نظریۀ مقاطع مخروطی آپولونیوس آپولونیوس این روش تولید مقاطع مخروطی را با در نظر گرفتن مقاطع مسطحه ای از یک مخروط دو پارچۀ دلخواه که محور آن ممکن است نسبت به قاعده مایل باشد، تعمیم داد و نشان داد که به این ترتیب صرف نظر از دایره، تنها سه سطح مخروطی شناخته شده می توانند به وجود آیند. آپولونیوس در شروع کتاب مقطع مخروطی اش، از این حقیقت استفاده کرد که این شکلها مقطعهای یک مخروطند و منظور او تنها آن بود که خواص مقدماتی این مقاطع را، که آنها را «علائم» نامیده، اثبات کند. رأس محور مولّد قاعده

12. بنابر گفتۀ آپولونیوس، یک سهمی مقطع مشترک یک مخروط و یک صفحه است وقتی که صفحه با یکی از مولدهای مخروط موازی باشد. و هذلولی هر یک از دو مقطع مشترکی است که وقتی صفحه با هر دو قسمت مخروط دو پارچه تلاقی می کند، تشکیل می شود. در هر یک از دو مقطع مخروطی، خطی که دو نقطه بر مرز را به هم وصل می کند، وتر نامیده می شود.

13. آپولونیوس نشان داد که اواسط همۀ وترهای موازی با وتری ثابت، بر خط مستقیمی واقعند و اگر این خط مستقیم مرز را در A قطع کند، مماس درA با همۀ وترها موازی است. این خط مستقیم، قطر مقطع و محل تلاقی یک قطر با مرز، رأس مقطع مخروطی نامیده می شود. نیم وترهایی که در یک طرف قطر قرار دارند، عرضهای این قطر نامیده می شوند. وقتی عرضها بر این قطر عمود باشند، چنین قطری منحصر به فرد است و محور نامیده می شود. F Y U A B V Z E

14. در شکل روبرو، EF یکی از قطرهاست، YZ و UV با EF موازی اند. • AB قطر مار بر اواسط این قطرهاست. • XY یکی از این عرضها برای قطر AB ، • و خط CD محور است. F Y U x B A C D V Z E

15. علائم سهمی در مورد سهمی قطرها همه با محور CD موازی اند. فرض کنید AB قطری مفروض،Xنقطه ای دلخواه برAB و XY عرض درX باشند. آپولونیوس نشان داد که با قطرAB پاره خط ثابتی مانند p متناظر است به طوری که ضلع دیگر مستطیلی که با مربعی به ضلعXY مساوی و یکی از اضلاع آن با AX برابر است، دقیقاً با pیکی است پاره خطp پارامتر(ضلع قائم) متعلق به قطر AB نام دارد. اگر قرار دهیم AX=x و XY= y ، آنگاه علامت آپولونیوس به صورت معادلۀ نوین p.x=y2 در می آید. Y F U y A x x B C D V Z E

16. علائم هذلولی در اینجا منحنی دارای یک مرکز است که همان نقطه واقع بر محور است که در وسط خط واصل بین رأسهای دو مقطع قرار دارد. هر خط مار بر این مرکز، یک قطر است و مرکز آن، بخشی از یک قطر را که بین دو شاخۀ مقطع قرار دارد، نصف می کند. فرض کنید c و c’ دو سر بخشی از یک قطر بین دو شاخه منحنی باشند، و a=CC’ که ضلع مایل نامیده می شود. C’ a C

17. آپولونیوس ثابت کردکه ، متناظر با a پاره خطی مانند p با خصوصیّت زیر موجود است: • مستطیلی به ضلع CX که با مربعی به ضلع XY، یکی از عرضها برابر باشد، ضلع دیگرش از p بیشتر خواهد بود. • بعلاوه، مستطیلی که اضلاع آن زیادتی این ضلع از p و CX است(مستطیل آبی رنگ) با مستطیلی که اضلاع آنa و p هستند، متشابه است. بنابر این s ، ضلع دیگر ، در تناسب a : CX=p :s ، یعنی s=(p/a).CX صدق می کند. E P C’ p a C Y x

18. برای اینکه بفهمیم معنی هندسی علامت هذلولی چیست، فرض کنید کهC’ سر قطر و CP پارامتر باشد. همچنین فرض کنید که عمود برCX درX خط C’P را درE قطع کند. در اینصورت، علامت آپولونیوس ایجاب می کند که مستطیل به اضلاع CX و XE برابر (xy)2 باشد. باز، اگر قرار دهیم CX=x و XY=y، علامت به صورت Y2=(p+s)x=px+(p/a)x2 در می آید، که معادلۀ نوینی برای هذلولی است. E P C’ C x Y x

19. کاربردهای مقاطع مخروطی موارد عمدۀ کاربرد مقاطع مخروطی (به جز دایره) هم در دنیای یونان و هم در دنیایاسلام در ترسیمهای هندسی، نظریۀ ساعتهای آفتابی، و آینه هایی بود که نور را برای سوزانیدن در نقطه ای متمرکز می کردند. استفاده از بیضی در نجوم برای طرحریزی مسیرهای سیارات در اوایل سدۀ هفدهم میلادی به وسیلۀ کپلر معمول شد.

20. رسم هفت ضلعی توسط ارشمیدس A B D G ارشمیدس کار را با مربعABDG و قطرBG آن شروع می کند.

21. رسم هفت ضلعی توسط ارشمیدس و سپس ستاره ای را حولDمی چرخاند. به طوری که ستاره قطرBG ، ضلع AG و امتدادضلعBA را به ترتیب در نقاط T، E ، و z قطع کند. و به طوری که مساحت (AEZ) ∆ برابر مساحت(DTG) ∆ باشد. A B Z E T D G

22. رسم هفت ضلعی توسط ارشمیدس K Z A B E T L D G سرانجام، KTL را به موازات AG رسم می کند. سپس ثابت می کند که Kو A پاره خط BZ را طوری تقسیم می کنند که سه پاره خط BK،KA و AZ بتوانند مثلثی تشکیل دهند. و به طوری که BA .BK =ZA2 و KZ .KA = KB2 .

23. رسم هفت ضلعی توسط ارشمیدس H K Z A B E T L D G بنابر این، (KHA) ∆را طوری تشکیل دهیدکه: KH=KB وAH=AZ و دایرۀ BHZ را بر B ، H ، Z رسم کنید. ارشمیدس ثابت می کند که BH یک هفتم محیط دایره است.

24. H K A B Z E T L D G این ترسیم همان قدر که مسئله حل می کند، همان قدر هم مسئله ایجاد می کند. البته اگر ستاره ای را حولD در حال چرخش تصور کنیم به طوری که از نقاط بین A وG عبور می کند، وقتی به طرف A حرکت می کند، (AEZ) ∆ می تواند به اندازۀ دلخواهی کوچک شود. در حالی که (DTG) ∆ به یک چهارم مربع میل می کند.

25. از سوی دیگر، وقتی ستاره بهG نزدیکتر می شودٍ، (AEZ) ∆ به اندازۀ دلخواهی بزرگ و (DTG) ∆ به اندازۀ دلخواهی کوچک می شود. H K A B Z E T L D G

26. بنابراین، در یک وضعیت بینابینی، دو مثلث برابر خواهند بود و لذا روش ارشمیدس، بیشتر یک برهان وجودی است، تا یک ترسیم. بنابراین، مسئله به عنوان مسئله ای که در حدود 1200 سال بصورت ترسیمی حل نشده، باقی ماند.

27. تحلیل ابوسهل ابوسهل به مسئلۀ ترسیم هفت ضلعی منتظمی که با علاقه و تجربۀ او در مقاطع مخروطی سازگاری داشت، توجه کرد و ملاحظه نمود که جوابی در مقاطع مخروطی برای آن وجود دارد. روش او ملهم از برهان ارشمیدس بود، و وقتی از ترسیم هفت ضلعی به عنوان مسئله ای یاد می کند که هیچ هندسه دانی پیش از او، «حتی ارشمیدس» قادر به حل آن نبوده، بدون تردید اشارۀ او عملاً به مسئله ترسیمی است که روش ارشمیدس آن را ایجاب می کند.

28. تحلیل ابوسهل روش ابوسهل آن است که ابتدا مسئله را تحلیل کند، یعنی فرض کند که هفت ضلعی ترسیم شده و در جهت عکس، با استفاده از سلسله استنتاجهایی که با حفظ درستی قابل معکوس شدن هستند، استدلال نماید. او نشان می دهد که چگونه هر ترسیم خاصی را که در محدودۀ هیچ نظریه ای نمی گنجد، می توان در نظریۀ مقاطع مخروطی داخل کرد. چنین عملی در یک کاسه کردن روشهای ریاضی متفاوت، جوهرۀ اصلی پیشرفتهای ریاضی است.

29. اولین تحویل: از هفت ضلعی به مثلث فرض کنید که در دایرۀ ABG قادر به ترسیم ضلع BG یک هفت ضلعی منتظم شده باشیم. وAB=2BG. پس کمان 3BG=ABG ، و چون BG یک هفتم کل محیط است، ADG=4BG . B A G D

30. بنابر قضیه 33 مقالۀ Ⅳ اصول اقلیدس، زوایای (ABG) ∆ روی محیط متناسب با کمانهای متقابل به آنهاست، و بنابراین B=4A در حالی که G=2A . در نتیجه، ترسیم اصلی به مسئلۀ ترسیم مثلثی که زوایایش به نسبت 4:2:1 باشد تحویل می شود. اولین تحویل: از هفت ضلعی به مثلث B A G D

31. دومین تحویل: از مثلث به تقسیم پاره خط فرض کنید ABG مثلثی باشد بطوری که B=2G=4A. ودایره ای به مرکز B و شعاع AB ودایره ای به مرکز G و شعاع AG رسم میکنیم. BGرا از دو طرف امتداد دهید به طوری که دایره ها را از دو طرف قطع کند. مثلث AED را کامل کنید. A ٍE D B G

32. دومین تحویل: از مثلث به تقسیم پاره خط هدف اساسی برهان این است که نشان دهیم A2 =D تا اینکه دو مثلث ABG و DBA متشابه باشند. A 2 ٍE D B G

33. سپس باید نشان دهیم که 1A1 =G تا اینکه مثلثهای AEBو GEA متشابه باشند. بعد از انجام این کار، با توجه به تشابه اول، DB/BA=AB/BG و، باتوجه به تشابه دوم، GE/AE=AE/BE دومین تحویل: از مثلث به تقسیم پاره خط A 1 2 1 ٍE D B G

34. بنابراین نتیجه می شود که EA2=GE.EB وBA2=DB.BG ولی چون AB=BE ، E=BAE=G و اولی به صورت BE2=DB.BG در می آید زیرا BA=BE . دومین تحویل: از مثلث به تقسیم پاره خط A 1 2 1 ٍE D B G

35. دومین تحویل: از مثلث به تقسیم پاره خط بنابراین به محض اینکه نشان دهیمA=D و BAE=G ، نشان داده ایم که ترسیم هفت ضلعی منتظم، مستلزم پاره خطی مانند EBدر دو نقطۀ B ،G است به طوری که (1) GE.EB=GD2 , (2)DB.BG=BE2 A 1 2 1 2 ٍE D B G

36. دومین تحویل: از مثلث به تقسیم پاره خط اما در مورد زوایا، توجه کنید که AGB زایۀ خارجی مثلث متساوی الساقین AGD است، که در آن AG=GD ، به طوری که BGA=DAG+D=2D A * ٍE D B G

37. اما می دانیم که BGA=2A ، بنابراین A=D . در مورد زاویۀ دیگر، ملاحظه کنید که B زاویۀ خارجی مثلث متساوی الساقین ABE است، بنابراین B=2BAE درحالی که در همان حال، B=2G ، بنابراین BAE=G. دومین تحویل: از مثلث به تقسیم پاره خط A 2 1 2 1 * ٍE D B G

38. سومین تحویل: از پاره خط منقسم به مقاطع مخروطی فرض کنید ED پاره خطی باشد که درB ، G تقسیم شده است. به طوری که (1) GE.EB=GD2 , (2)DB.BG=BE2 (1) و (2) بالا صادق باشند. B G E D

39. ABZ را بر ED عمود کنید با AB=BG و BZ=GD، و سپس مستطیل BZTE را کامل کنید. در این صورت ZA.AB=DB.BG=BE2 ، و چون AB=BG و BE=TZ ، می توانیم بنویسیم ZA.BG=TZ2 که حاکی از این است که T بر یک سهمی به رأس A و پارامتر BG قرار دارد. سومین تحویل: از پاره خط منقسم به مقاطع مخروطی A G E B D T Z

40. از سوی دیگر، بنابر (1) GE.EB=GD2 ؛ اما GD=BZ=ET، لذا GE.EB=ET2 بنابر این T بر هذلولی ای واقع است که رأس آن B و ضلع مورب و پارامتر آن هر دو مساوی پاره خط BG اند. سومین تحویل: از پاره خط منقسم به مقاطع مخروطی A G E B D T Z

41. تحلیل ما، اینک ما را به دو مقطع مخروطی رهنمون شده است- یک سهمی و یک هذلولی- که هر دو با تقسیم EDدر B ،G معین شده اند. T، نقطۀ تلاقی این دو مقطع مخروطی، طولهای ET وTZ را معین می کند، و این دو دوپاره خط باقیماندۀ GD=ET و EB=TZرا به وجود می آورند با این ویژگی که خطEBGD در B و G تقسیم شده است بطوریکه (1) و (2) صادق باشند. سومین تحویل: از پاره خط منقسم به مقاطع مخروطی A G E B D T Z

42. بنابراین با مفروض بودن BG ، ضلع هفت ضلعی که می خواهیم بسازیم، می توان پاره خط EBGD ، سپس (ABG) ∆، و سرانجام هفت ضلعی را بسازیم. البته به محض اینکه هفت ضلعی در یک دایره ترسیم شد، می توان بنابر تشابه آن را در هر دایرۀ دیگر ترسیم کرد. سومین تحویل: از پاره خط منقسم به مقاطع مخروطی A G E B D T Z

43. ترسیم گرایشی نه ضلعی منتظم ترسیم نه ضلعی منتظم حالت خاصی از تثلیث زاویه است، زیرا زاویۀ مرکزی یک نه ضلعی 3600 /9 =1200 /3 است. اما1200 زاویۀ مرکزی مقابل به یک ضلع مثلث متساوی الاضلاع محاط در دایره است، لذا نه ضلعی منتظم را در یک دایره می توان با تثلیث این زاویه ترسیم کرد. این مطلب بر یونانیان باستان معلوم بود، و پاپوس اسکندرانی سه روش برای تثلیث زاویه می دهد که در همۀ آنها از مقاطع مخروطی استفاده می شود. ظاهراً تنها روش باستانی را که به دانشمندان مسلمان منتقل شده، می توان در آثار ثابت بن قره و حامی و همکار او احمدبن شاکر یافت.

44. ترسیم گرایشی نه ضلعی منتظم در یک ترسیم گرایشی، دو منحنی، معمولاً خطوط راست یا کمانهایی از دایره، نقطۀ P غیر واقع بر این منحنیها و نیز پاره خط راست AB به ما داده می شود. p D A B C

45. مسئله عبارت از ترسیم پاره خط راست CD=ABاست. به طوری که مورب CD به سمت نقطۀ P گرایش داشته باشد، یعنی، وقتی امتداد دهیم از نقطۀ P بگذرد. ترسیم گرایشی نه ضلعی منتظم p D A B C

46. ترسیم مقاطع مخروطی در این بخش توجه خود را به اثری از ابراهیم بن بستان، دربارۀ رسم مقاطع مخروطی معطوف خواهیم کرد. این اثر شامل بحث دقیقی از نحوۀ رسم سهمی و بیضی، و نیز سه روش دربارۀ رسم هذلولی، همراه با براهین آنهاست. شاید ارائۀ اینهمه روش برای هذلولی به آن سبب بوده که هذلولی مورد علاقۀ ابزارسازان بوده است. از این اثر دو نمونه انتخاب خواهیم کرد، یکی که به ترسیم سهمی می پردازد، که برای ترسیم آینه های محرق مورد نیاز است، و دیگری یکی از سه روش رسم هذلولی را می دهد.

47. ابراهیم بن بستان و سهمی روش ابراهیم چنین است: • روی خط AG پاره خط ثابت AB را جدا کنید. • BE را عمود بر AB رسم کنید. • اینک برBG نقاط H ،D ،Z ، و... را به تعداد دلخواه انتخاب کنید. • با شروع از H ، نیمدایره به قطر AH را رسم ، و فرض کنید که عمود BE آن را در T قطع کند. E T A B H D Z G

48. ابراهیم بن بستان و سهمی 5 .از T خطی به موازات AB رسم کنید. 6 .از H خطی به موازات BE رسم کنید. فرض کنید این خطها یکدیگر را در K قطع کنند. 7 .سپس نیمدایره ای به قطر AD رسم، و فرض کنید که این نیمدایره BE را در I قطع کند. E I k T A B G H D Z

49. 8 .خطوطی از I و D به ترتیب به موازات AG و BE رسم، و فرض کنید که این دو خط یکدیگر را در L قطع کنند. 9 . همین عمل ترسیم را در مورد نقاط باقی ماندۀ Z ،... انجام دهید تا نقاط متناظر را بدست آورید. در این صورت نقاط B ، K،L،M،... روی سهمی به رأس B، محور BG، و پارامتر AB قرار دارند. اگر K’،L’،M’،... انتخاب شوند به طوری که KH=HK’، LD=DL’، MZ=ZM’ ،...، در اینصورت آنها هم روی سهمی قرار دارند. E M I L k T G B A H D Z K’ L’ M’

50. ابراهیم بن بستان و هذلولی • نیمدایره ای که قطر آن پاره خط ثابت AB است رسم کنید. • ABرا از سمت B امتداد دهید. • بر نیمۀ این نیمدایره ابتدا از نقطۀ B،نقاط G،D،H،... را اختیار کنید. G D H A B