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SISSIS Scuola Interuniversitaria Siciliana di Specializzazione per l’Insegnamento Secondario

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SISSIS Scuola Interuniversitaria Siciliana di Specializzazione per l’Insegnamento Secondario. Indirizzo 1 Scienze Naturali Classe 59/A. Laboratorio di matematica Docente: Specializzanda:

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sissis scuola interuniversitaria siciliana di specializzazione per l insegnamento secondario

SISSISScuola Interuniversitaria Siciliana diSpecializzazione per l’Insegnamento Secondario

Indirizzo 1 Scienze Naturali

Classe 59/A

Laboratorio di matematica

Docente: Specializzanda:

Prof. Lizzio Melania Russo

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Tema

Massimo comune divisore e minimo comune multiplo

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Unità didattica

PREREQUISITI:

  • Essere in grado di svolgere le quattro operazioni e l’elevamento a potenza in N ed avere padronanza delle loro proprietà
  • Conoscenza dei Sottoinsiemi e Diagrammi di Venn
  • Sapere cos’è l’intersezione tra due insiemi

OBIETTIVI:

  • Individuare i multipli e dei divisori di un numero
  • Acquisire il concetto di divisibilità
  • Riconoscere i numeri primi da quelli composti
  • Apprendere le tecniche di scomposizione di un numero in fattori primi e saperla applicare
  • Possedere i concetti di MCD e mcm
  • Conoscere le tecniche di calcolo del MCD e mcm
  • Risolvere semplici problemi con l’uso del MCD e mcm

METODI:

La trattazione verrà fatta con osservazioni, descrizioni, manipolazioni di oggetti (Es: Lego colorati).

Si possono sottoporre ad un test gli alunni per valutare il possesso dei prerequisiti richiesti.

Classe I media

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PREMESSA

INTRODUZIONE AL CONCETTO DI DIVISORE E CONCETTO DI MULTIPLO

Le operazioni aritmetiche fondamentali che si possono eseguire con i numeri naturali e decimali sono:

  • l’addizione e la sua inversa, la sottrazione
  • La moltiplicazione e la sua inversa, la divisione
  • L’elevamento a potenza.

Esistono altre relazioni, e in particolare le relazioni “essere divisore di” e “essere multiplo di” anch’esse una inversa dell’altra.

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RELAZIONE DI DIVISIBILITA’

Facciamo degli esempi:

Dalla divisione di due numeri naturali a e b si può avere come resto 0 oppure un altro numero naturale che è minore rispetto a b.

nel primo caso si dice che la divisione è esatta e il numero a è divisibile per b.

Nel secondo caso si dice che la divisione non è esatta e a non è divisibile per b

Ritornando all’esempio, dai risultati ottenuti, possiamo concludere che:

125 è divisibile per 5

37 non è divisibile per 15

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Sulla base di queste considerazioni si possono introdurre i concetti di multiplo e sottomultiplo di un numero.

DEF: un numero a è multiplo di un numero b quando a è divisibile per b, cioè quando la divisione di a x b dà resto 0.

Si dice anche che b è sottomultiplo di a.

Le espressioni “è multiplo di” “è divisore di” in matematica sono dette RELAZIONI.

Una relazione tra due numeri può essere rappresentata da una freccia

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I MULTIPLI DI UN NUMERO

Consideriamo un numero naturale ≠ da 0, ad es. il 4. Quali sono i suoi multipli? Basterà moltiplicare per tutti i numeri della successione naturale 0, 1, 2, 3, 4, ecc. e avremo quindi:

In questa tabella, lo 0 non è considerato.

Sappiamo però che ogni numero moltiplicato per lo 0 da per risultato 0. Quindi lo 0 è multiplo di qualunque numero.

M(0)= 0

Cioè lo 0 ha un solo multiplo

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Dal momento che è possibile continuare a costruire i passi seguenti della successione, moltiplicando il numero-base per i numeri della serie dei naturali, i multipli di un numero sono illimitati, quindi, in altre parole sono infiniti.

L’insieme dei multipli di un numero a si può indicare col simbolo M(a). Se consideriamo il numero 3 e i suoi multipli, avremo:

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I DIVISORI O SOTTOMULTIPLI DI UN NUMERO

Consideriamo un altro numero naturale n=12.

Volendo trovare i divisori di 12, basta individuare per mezzo della tabella quali numeri moltiplicati tra loro danno come prodotto 12.

1x12 2x6 3x4

4x3 6x2 12x1

Come si nota, i divisori di 12, sono un numero limitato, per cui un numero naturale ≠ da 0 ha un numero limitato (finito) di divisori.

OSSERVAZIONI: il quoziente fra 0 e un qualsiasi altro numero naturale ≠ da 0, dà per risultato 0; quindi lo 0, ha un insieme infinito di divisori:

D(0)= {1,2,3,4,ecc.}

OSSERVAZIONI: come si sarà notato, tutti i numeri sono divisibili per se stessi e per 1. questi due divisori, proprio perché comuni a tutti i numeri, sono stati chiamati divisori banali

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NUMERI PRIMI E NUMERI COMPOSTI

I numeri che hanno come divisori solo se stessi e 1 possono essere considerati come il risultato della moltiplicazione di questi 2 fattori banali.

Es 15 = 5x3

Questi numeri sono chiamati Numeri Primi

DEF: Un numero è primo se è divisibile solo per se stesso e 1

Gli altri numeri vengono definiti come numeri non primi o numeri Composti.

Essi si possono ottenere come il prodotto di fattori non banali, oltre che di fattori banali.

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SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI

DEF: L’operazione che trasforma un numero composto nel prodotto di fattori primi è detta Fattorizzazione o Scomposizione in fattori primi.

Per scomporre in fattori primi un numero composto bisogna determinare tutti i suoi divisori primi.

REGOLA: Per scomporre un numero in fattori primi, lo si divide per il più piccolo numero primo che è suo divisore, poi si divide il quoto ottenuto per il più piccolo numero primo che è suo divisore, e così via finché si ottiene per quoto 1

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Il numero dato, è uguale al prodotto di tutti i numeri primi utilizzati come divisori

Dunque la scomposizione in fattori del numero 630 è:

630= 2x3x3x5x7= 2x32x5x7

OSSERVAZIONI: nella scomposizione in fattori primi, uno o più di questi fattori possono comparire per più volte. In quest’ultimo caso si usano le potenze per indicare un prodotto di fattori primi.

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OSSERVAZIONI: effettuando la scomposizione di due numeri, nel primo numero scomposto, è possibile che compaiano tutti i fattori del secondo, con esponente maggiore o uguale a quello del secondo. Si dice allora che quel numero è divisibile per l’altro numero preso in considerazione.
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MCD

Consideriamo due numeri: (es: 48 e 60) e troviamo i loro fattori effettuando la scomposizione

L’insieme dei divisori o fattori che 48 e 60 hanno in comune è l’intersezione tra l’insieme D (48), formato dai divisori di 48, e l’insieme D (60), formato dai divisori di 60. Il MCD appartiene a quest’insieme ed è il più grande dei numeri che formano l’intersezione tra D (48) e D(60).

DEF: il MCD di due o più numeri è il maggiore dei loro divisori comuni

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METODI PER TROVARE IL MCD
  • Metodo basato sulla scomposizione in fattori.

DEF: il MCD di due o più numeri, scomposti in fattori primi, è il prodotto di tutti i loro fattori primi comuni, presi ciascuno una sola volta, con il minimo esponente

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Metodo basato sulle divisioni successive o algoritmo euclideo delle divisioni successive.
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OSSERVAZIONI: Può capitare che due numeri non abbiano divisori comuni ≠ da 1. Es: 30 e 49

30= 2x3x5 49= 72

non hanno divisori comuni. In questo caso si dice che due numeri sono primi fra loro.

DEF: due numeri si dicono primi fra loro , se non hanno divisori comuni ≠ da 1.

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DEF: Dati 2 o più numeri, se il minore di essi è divisore di tutti gli altri, esso è il loro MCD
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mcm

Consideriamo due numeri qualsiasi: es. 8 e 10 e consideriamo pure l’inizio della successione dei loro multipli

M (8)= {8,16,24,32,40,48,56,64,72,80…}

M(10)={10,20,30,40,60,60,70,80,90,100…}

Rappresentiamo attraverso i diagrammi di Venn:

Il mcm (8;10)=40

DEF: il mcm di due o più numeri è il minore dei loro multipli comuni

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Regola: dati due numeri, se il maggiore è multiplo di tutti gli altri, esso è il mcm dei numeri dati

Es: 9, 27

M(9)= {9,18,27,36…}

M(27)= {27,54,81…}

mcm(9,27)=27

  • Regola: il mcm di due o più numeri primi fra loro, è il loro prodotto

Es: 4, 5

M(4)= {4,8,12,16,20…}

M(5)= {5,10,15,20…}

mcm (4,5)=20 dove 20=4x5; 4 e 5 sono primi fra loro

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METODI PER TROVARE IL mcm TRA DUE NUMERI
  • Metodo basato sulla scomposizione in fattori

DEF: per calcolare il mcm di due numeri, si scompongono in fattori i numeri, poi si moltiplicano fra loro i fattori comuni e non comuni, presi una sola volta, con il massimo esponente

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Metodo basato sul MCD

METODI PER TROVARE IL mcm TRA TRE O PIU’ NUMERI

  • Metodo basato sulla scomposizione in fattori
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BIBLIOGRAFIA

- M. Pellerey IL NUOVO COSTRUIAMO LA MATEMATICA SEI 2001

  • P.Lazzarini FARE E RAGIONARE CON LA MATEMATICA LA NUOVA ITALIA 2001
  • T. Genovese ARITMETICA ALATTES 2006
  • G. Colosio IMPARIAMO ARITMETICAEDITRICE LA SCUOLA 2000
  • G. Flaccavento MATEMATICA SU MISURA FABBRI EDITORI 2002
  • E. Bovio ARITMETICA MODERNA LATTES 1979