A partir de los anteriores conceptos, se pueden escribir las siguientes relaciones:

1. Determinación del Geoide • A partir de los anteriores conceptos, se pueden escribir las siguientes relaciones: • Se tiene que: • Con base a las • anteriores relaciones • Dado que: • Se tiene la siguiente relación: Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

2. Ecuación de Bruns • Despejando el valor de N • La anterior fórmula se conoce como “ECUACIÓN DE BRUNS” o “FORMULA DE BRUNS” • Su importancia radica en que relaciona la ondulación del geoide con el potencial anómalo. Siendo equivalente para la altura anómala: Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

3. Breve introducción a las Ecuaciones diferenciales • Muchas leyes en la naturaleza se expresan en forma de ecuaciones diferenciales, esto debido a que si f(x) es una función, f’(x) (primera derivada) se interpreta como la razón de cambio del fenómeno. • Comúnmente lo que se conoce de un fenómeno es su razón de cambio (derivada), por lo que buscar la expresión que describe el fenómeno, implica determinar y resolver una ecuación diferencial • Definición: Una ED es una ecuación que relaciona un función desconocida y una o mas derivadas de esta función desconocida con respecto a una o mas variables independientes • Si la función desconocida depende de una variables: ED ordinaria • Si la función desconocida depende de dos o mas variables: ED parcial ED Parcial ED ordinaria Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

4. Problemas de valores de frontera • Al resolver ecuaciones diferenciales parciales, que dan solución a problemas ya sean físicos o geométricos, se establecen condiciones iniciales ocondiciones limite. • En el caso de que la condición limite sea un dato, una mediciónuobservación, sobre una superficie limite, conduce a diferentes tipos de “problemas de valores limites” • La gravedad y el potencial gravitacional de la Tierra, pueden ser descritos porecuacionesque contienen derivadas parcialesdetiempo o espacio, cuyas variables desconocidas necesitan ser encontradas. • La variable que es diferenciada se denomina variable dependiente y frecuentemente corresponde con la solución a determinar. • La variable con la cual la diferenciaciónes hecha, es la variable independiente y en geodesia física por lo general corresponde con las coordenadas donde la condición limite es conocida. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

5. Problemas de valores de frontera • Las derivadas parciales con respecto a variables de tiemposon llamadascondiciones iniciales. • Las derivadas parciales con respecto a variables de posición, sobre una superficie limite son llamadas condiciones limite. • Cuando derivadas con respecto a variables de posición son considerados en la solución de problemas, nos enfrentamos a “Problemas de valores limites” oBVP. • Considerar ahora el potencial de la Tierra como un fenómeno físico no variable en el tiempo. • Se ha de considerar la determinación del campo de gravedad terrestre como un problema de valores limites (geodésico, GBVP) con condiciones limites conocidas (observaciones o datos) sobre cierta superficie que necesita ser encontrada: el geoide Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

6. Problemas de valores de frontera • Problema de Dirichlet:conocido como el primer problemadevalores limites de la teoría del potencial: • “Conocida una función arbitraria dada en una superficie S, determinar una función Vquesea armónica ya sea dentro o fuera de S y que en Sasuma los valoresde la función preestablecida” • Este problema surge cuando la ondulación del geoide es obtenido de altimetría satelital. • La solución de este problema en la esfera esta dada por la integral de Poisson, que provee la continuación ascendente o descendente del potencial. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

7. Problemas de valores de frontera • Problema de Neuman: conocido como el segundo problema de valores limites de la teoría del potencial: • Conocida la derivada normal V/n en la superficie S en lugar de la función V, encontrar V fuera de S. • La derivada normal es la derivada a lo largo de la normal superficial n a S, en dirección hacia afuera. • Se problema se tiene cuando se conoce el vector de perturbación de gravedad sobre la superficie limite (el geoide) y la solución para el potencial de gravedad externo fuera de la superficie limite tiene que ser encontrado. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

8. Problemas de valores de frontera • Problema de Robin:conocido como el tercer problema de valores limites de la teoría del potencial: • Dada una combinación lineal de V y su derivada normal, encontrar V fuera de S h y k son constantes Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

9. Problemas de valores de frontera • Resumen de los problemas de valores de frontera: • Problema de Dirichlet(o BVP de primera clase): Solucionar para V en el espacio exterior, dados sus valores en todo lugar de la frontera. • Problema de Newman(o BVP de segunda clase): Solucionar para V en el espacio exterior, dados los valores de sus derivadas normales en todo lugar de la frontera. • Problema de Robin (BVP mixto o BVP de tercera clase): Solucionar para V en es espacio exterior, dada una combinación lineal de si misma y su derivada normal en la frontera. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

10. Ecuación fundamental de la G.F • Recordando las definiciones de aceleración de la gravedad y aceleración de la gravedad normal: • Se puede escribir el • vector de perturbación como: • Luego Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

11. Ecuación fundamental de la G.F • Por lo tanto, se tiene el • vector de perturbación como: • Siendo equivalente a: • Como la elevación h se calcula a lo • largo de la normal, también se puede escribir: • Considerando ahora que Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

12. Ecuación fundamental de la G.F • Siendo equivalente a: • Y a: • Considerando la definición de anomalía de gravedad y la ecuación de Bruns, tenemos las siguientes relaciones: Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

13. Ecuación fundamental de la G.F • Otra forma equivalente es: • A la anterior fórmula se le conoce como “ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE LA GEODESIA FÍSICA” porque relaciona la cantidad medidagcon el potencial anómalo desconocidoT. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

14. Determinación del Geoide • Solo se conoce g a lo largo de una superficie, la cual es el geoide (luego de reducir las observaciones gravimétricas al mismo) • La E.F.G.F solo puede usarse como una condición de frontera, pero no es suficiente para calcular el valor del potencial anómalo T. • Otro elemento a considerar es que se asume que no existen masas sobre el geoide y que el valor de la gravedad se mide sobre este. • Esto no es cierto; las observaciones de gravedad se hacen sobre la superficie terrestre, por lo que existen masas que influyen sobre las observaciones de gravedad. • Se recurre entonces a técnicas de cálculo para eliminar el efecto de las masas. • Esto permite suponer que las masas están encerradas en el geoide. • Al considerar que la densidad  es cero en todas las partes fuera del geoide, el potencial anómalo es armónico y satisface la ecuación de Laplace. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

15. Determinación del Geoide • Expresando la condición limite de la siguiente forma: • Y como se supone que se conoce g para todos los puntos del geoide, se observa que la combinación lineal de T y T/n esta representada sobre esta superficie (el geoide). • Recordar el tercer problema de los valores limites. • El tercer problema de valores limites es de particular importancia para la geodesia física, ya que la determinación de las ondulaciones de geoide a partir de las anomalías de gravedad es precisamente un problema de este tipo. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

16. Determinación del Geoide • La determinación de T constituiría una solución al tercer problema de los valores limites de la teoría del potencial. • Determinando el valor de T y con base al conocimiento del campo de gravedad del elipsoide normal, se puede determinar el valor de la ondulación del geoide a partir de la ecuación de Bruns. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

17. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

18. Determinación del Geoide • Teluroide: superficie cuyos puntos en los que el potencial normal (U) es igual al potencial de gravedad real (W) en la superficie. • Por tanto: • W(P) = U(Q) y W(P0) = U(Q0) • Interpretación geométrica: • Altura ortométrica: Distancia vertical desde el Geoide al punto P • Altura normal: Distancia vertical desde el elipsoide de referencia al punto Q. • La gravedad normal se puede calcular con base a fórmulas, sin la necesidad de tener que formular hipótesis. • La altura anómala  es la altura sobre el teluriode. • Representa la medida geométrica de las diferencias entre las superficies del potencial real en la superficie y el mismo potencial de la Tierra normal Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

19. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

20. Determinación del Geoide • Lo mas conveniente es que las alturas se midan al punto P (en la superficie), tal y como ocurre con H y no a un punto teórico (en este caso Q) en el interior de la corteza. • Las alturas normales se “trasladan” hacia arriba hasta la superficie topográfica. • Se define una nueva superficie, que es el cuasi-geoide, la cual se eleva en el valor de la altura anómala sobre el elipsoide. • Nótese que la ondulación del geoide es la distancia entre dos superficies de idéntico potencial U0 = W0. • La altura anómala es la distancia entre dos superficies de igual potencial UQ = WP. • La relación entre estas cantidades también la da la ecuación de Bruns: Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

21. Determinación del Geoide • En el calculo de N, el potencial T corresponde a la diferencia de potencial entre el geoide y la gravedad normal al punto Q0 sobre el elipsoide. • En el caso de  , el potencial T es elevado al nivel de la superficie y la gravedad normal sobre el punto Q del Teluroide. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

22. Resumen • El Teluroide es una superficie conformada por aquellos puntos Q, cuyo valor de potencial normal UQ es idéntico al potencial de gravedad real WP de los puntos P correspondientes, ubicados sobre la superficie terrestre. • La conexión entre P y Q se por medio de la altura anómala . • La altura normal corresponde con la separación entre el Teluroide y el elipsoide. • Si desde la superficie terrestre se descuenta la altura normal a lo largo de la normal al elipsoide, se obtiene el cuasigeoide. • Dado que el potencial WP varia de un punto a otro sobre la superficie terrestre, el Teluroide y en consecuencia, el cuasi-geoide, no son superficies equipotenciales y por tanto, no tienen significado físico directo. • El geoide equivale la superficie equipotencial del campo de gravedad terrestre con potencial real W = W0. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

23. Cálculo del geoide con base al enfoque de Stokes Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

24. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

25. La integral de Stokes • Si se conoce el valor de la anomalías de gravedad, se puede determinar el potencial anómalo T de la siguiente forma: • En el geoide, r = R, por lo que se tiene: Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

26. La integral de Stokes • Considerando la ecuación de Bruns: Prof: José Fco Valverde Calderón

27. La integral de Stokes • La anterior fórmula se conoce como “INTEGRAL DE STOKES” o “FÓRMULA DE STOKES”. Fue publicada por Gabriel Stokes en 1849. • Se le considera una de las fórmulas mas importante de la geodesia física ya que permite determinar el geoide a partir de datos gravimétricos. • La integral de Stokes asume además que los datos de anomalías de gravedad están distribuidos sobre todo la superficie de frontera: asume distribución global de los datos. • Sin embargo, las mediciones son realizadas a nivel local y con alta resolución, o sea que solamente se tiene información de alta frecuencia del potencial anómalo. • Para incluir información de baja frecuencia (o de longitud de onda larga) se debe hacer uso de la técnica de remover y restaurar. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

28. La integral de Hotine • En caso de conocer el vector de perturbación de gravedad g, se utiliza la INTEGRAL DE HOTINE: • Con la función de Hotine • definida como: • De forma cerrada: Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

29. La integral de Stokes • Para evaluar la integral de Stokes, considerando que no se dispone de datos de anomalías para cada punto del geoide se puede proceder de la siguiente forma: • Donde gr es la anomalía de gravedad y S es la función de Stokes, definida como: Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

30. La integral de Stokes • Un método mas común es usar la transformada rápida de Fourier, ya que la integral de Stokes puede ser expresada como una convolución en la dirección este-oeste, considerando que el kernel de Stokes es constante para todos los puntos en una paralela pero diferente para puntos en distintas latitudes • Donde F1 y F1-1 denotan el operador de la transformada de Fourier 1D y el operador inverso de la transformada de Fourier 1D Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

31. Cálculo del cuasi-geoide con base al enfoque de Molodensky Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

32. Teoría de Molodensky • Hay dos grandes obstáculos en el concepto geodésico “clásico”: • La definición del geoide no es completamente rigurosa; el valor el potencial en el geoide no se conoce** • El proceso de remover el efecto de las masas fuera del geoide esta basado en hipótesis concernientes a la distribución de densidades dentro de la Tierra. • La idea básica de Molodensky es que no usa (y por no tanto busca) el geoide. En su lugar, usa la superficie topográfica de la Tierra como superficie de referencia. • Por tanto no se debe asumir nada acerca de la estructura interna de la Tierra. • Para referir las alturas, definió una superficie que no tiene significado físico, la cual no se separa demasiado del geoide y a la que llamó “CUASI-GEOIDE” Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

33. Esfuerzos para la estimación de Wo Tomado de: http://whs.dgfi.badw.de/index.php?id=5, 2013 Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

34. Valores publicados de Wo Tomado de: http://whs.dgfi.badw.de/index.php?id=5, 2013 Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

35. Teoría de Molodensky • Esto le trajo a Molodensky varios adversarios por su teoría. • Esto debido a que el geoide es la mas “real” y “concreta” superficie que se puede usar. • El Teluroide: • Teluriode significa “terrenal, terrestre”. Es definido como un lugar de las alturas normales H* medida a lo largo de la normal al elipsoide de referencia, • La diferencia entre la altura elipsoidal y la altura normal es llamada “Altura anómala”. • Es importante no olvidar que al formular el Teluroide o el cuasi-geoide no se postula ninguna hipótesis. • Ambas superficies son puramente convencionales (matemáticas) Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

36. La integral de Molodensky • El calculo del teluriode viene dado por la ecuación: • Donde: Con: Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón

37. Teoría de Molodensky • Que representa la corrección de terreno • La teoría de Molodensky conduce a una solución directa del problema de valores de frontera sobre la superficie terrestre, sin la necesidad de formular hipótesis. Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014 Prof: José Fco Valverde Calderón