Introduzione alle sezioni coniche

1. Introduzioneallesezioni coniche a cura di Elisabetta Boselli – elisabetta.boselli@rcm.inet.it

2. CONO vertice Solido delimitato da una superficie co-nica ad una falda e da un piano che tagli tutte le generatrici. Cono retto ad una falda a base circolare generatrice • cono a base circolare: la curva direttrice è una cir-conferenza • cono retto: perché la ret-ta che congiunge il verti-ce con il centro della cir-conferenza di base è per-pendicolare al piano che la contiene altezza curva direttrice

3. Superficie conica a due falde Nello spazio tridimen-sionale, è il luogo geo-metrico dei punti appar-tenenti alle rette che passano per un punto V dato, detto vertice del cono, e per un punto di una curva data, detta direttrice. curva direttrice retta generatrice V Ognuna delle rette considerate si dice generatrice.

4. Sezioni coniche α Sono le diverse figure piane che si ottengono dall’intersezione tra una superficie conica a due falde ed un piano. Per semplicità, negli e-sempi utilizzeremo una sup. conica (a due fal-de) circolare e retta. retta generatrice V Diremo asse del cono la retta per V perpendicolare al piano della circonferen-za direttrice. L’angolo α formato dalla retta generatrice e dal suo asse è l’apertura del cono.

5. Ellisse retta generatrice Se l’angolo (convesso) che il piano di sezione forma con l’asse del cono è mag-giore di α, avremo che l’a-pertura del cono è minore dell’inclinazione del piano  La curva ottenuta sarà chiusa e si dirà ellisse (in greco, il termine ‘ellisse’ significa ‘mancare’); se il piano forma con l’asse un angolo retto, si otterrà una circonferenza. α

6. Parabola retta generatrice Se l’angolo (convesso) che il piano di sezione forma con l’asse del cono è congruente ad α, avremo che l’apertura del cono è uguale all’inclina-zione del piano  La curva ottenuta sarà aperta e si dirà parabola (in greco, il termine ‘parabola’ significa ‘eguagliare’). V α

7. Iperbole Se l’angolo (convesso) che il piano di sezione forma con l’asse del cono è minore di α, avremo che l’apertura del cono è maggiore dell’incli-nazione del piano: accade così che il piano intersechi entrambe le falde del cono  La curva ottenuta sarà aperta e, poiché il piano di sezione interseca entrambe le falde del cono, risulterà formata da due diversi rami: tale curva si dirà iperbole (in greco, questo termine signi-fica ‘oltrepassare’). retta generatrice α

8. Cenni storici • la scoperta delle coniche (solo più tardi chiamate ellisse, iperbole, parabola) viene attribuita a Menecmo: vissuto in-torno al 350 a.C., fu allievo di Eudosso e maestro di Ales-sandro Magno • tra le opere perdute di Euclide (circa 300 a.C.) ve n’è una dedicata alle coniche • è del 225 a.C. ca. il trattato di Apollonio sulle Coniche, il più importante dell’antichità sull’argomento: dimostra che tutte e tre le varietà di coniche si possono ottenere da un unico tipo di cono (non necessariamente retto) e introduce il cono a due falde nonché i nomi dei diversi tipi di coni-che

9. Un’importante osservazione…. Vale il seguente TEOREMA: Si consideri un’equazione di secondo grado in due in-cognite, la cui forma generale è la seguente: ax² + bxy + cy² + dx + ey + f = 0, a,b,c,d,e,f R L’insieme delle soluzioni reali (formate da coppie di numeri reali) di ogni equazione di questo tipo, se non è vuoto, è rappresentato sul piano cartesiano da una coni-ca (eventualmente degenere). E viceversa: ogni conica ha come espressione algebrica un’equazione di questo tipo. FINE

10. Superficie conica a una falda Nello spazio tridimen-sionale, è il luogo geo-metrico dei punti appar-tenenti alle semirette che passano per un punto V dato, detto vertice del cono, e per un punto di una curva data, detta direttrice. Ognuna di queste semi-rette si dice generatrice. V semiretta generatrice curva direttrice