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Coniche. Linee che possono ottenersi come intersezione di un piano con una superficie conica rotonda a due falde. Mappa. Fine. Mappa clicca sul pulsante per scegliere un argomento. Lo studio delle coniche nel tempo.

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coniche
Coniche

Linee che possono ottenersi come intersezione di un piano con una superficie conica rotonda a due falde.

Mappa

Proff. Cornacchia - De Fino

lo studio delle coniche nel tempo
Lo studio delle coniche nel tempo
  • IV secolo a.C.: Menecmo fu il primo matematico a individuare le curve che si potevano ottenere dalla sezione di una superficie conica con un piano, scoprì le sezioni coniche mentre cercava di risolvere il problema della duplicazione del cubo(*); Menecmo, maestro di Alessandro Magno, commentò con la celebre frase “non esiste una via regale per lo studio della geometria” la richiesta del re di trovare una scorciatoia per affrontare lo studio della matematica.
  • III secolo a.C.: Apollonio detto “Il Grande Geometra”, scrisse il trattato “Coniche” che rimpiazzava i precedenti manuali (dovuti ad Aristeo ed Euclide) sullo stesso argomento. Apollonio, per la prima volta, dimostrò che da un unico cono era possibile ottenere tutte le varietà di sezioni coniche semplicemente variando il piano di inclinazione.
  • Descartes (1591-1661), secondo Boyer ,“fornisce una base geometrica alle operazioni algebriche” . Sostanzialmente però ha permesso l’identificazione di una conica con una equazione algebrica di secondo grado in due incognite.

___________

(*) Il problema della duplicazione del cubo o problema di Delo è uno dei problemi classici dell’antichità: si tratta di trovare (con riga e compasso) il lato di un cubo che abbia il volume doppio rispetto a quello del cubo dato.

Mappa

Proff. Cornacchia - De Fino

parabola
Parabola

La parabola si può definire come il luogo dei punti equidistanti da un punto, detto fuoco, e da una retta, detta direttrice.

I punti P1,P2,P3,….. P’1,P’2,P’3 hanno ugual distanza dal punto F e dalla retta d.

La retta passante per F e perpendicolare alla direttrice è asse di simmetria per la parabola. Il punto V dell’asse di simmetria, equidistante da F e da d, viene chiamato vertice della parabola.

 =semiangolo di apertura della superficie conica

=angolo tra il piano e l’asse della superficie conica

Mappa

Proff. Cornacchia - De Fino

costruzione di una parabola con riga e compasso
Costruzione di una parabola(con riga e compasso)

Costruiamo la parabola di fuoco F e direttrice d.

Indichiamo con H il piede della perpendicolare di F su d.

Ilpunto medio del segmento FH è il vertice della parabola.

Tracciamo una retta m parallela a d e indichiamo con r la sua distanza da d.

La circonferenza di centro F e raggio r interseca la retta m in due punti che appartengono alla nostra parabola.

m

F

r

V

Tracciamo altre rette parallele ad m (con distanza da d maggiore di VH) e ripetendo la costruzione precedente, otteniamo tutti i punti della parabola.

d direttrice

H

Congiungendo i punti trovati disegnamo la parabola.

Mappa

Proff. Cornacchia - De Fino

equazione

F(0,k) d: y=-k

k

P

k

d

F

H

Equazione

Per determinare l’equazione della parabola di fuoco F e direttrice d, fissiamo un riferimento avente l’ asse x coincidente con la parallela alla retta d condotta per il punto medio della distanza di F da d e l’ asse y coincidente con la perpendicolare condotta da F alla direttrice.

Indicando con P(x,y) il generico punto della parabola dovrà essere:

PH = FP 

Elevando al quadrato e semplificando si ottiene:

Se si pone

l’equazione diventa

Quando sulla parabola si opera una traslazione l’equazione si trasforma in:

N.B.: il valore di a resta invariato.

Mappa

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slide7

Parabola con asse parallelo all’asse y:

Equazione dell’asse

Con

Coordinate del vertice

Coordinate del fuoco

Equazione della direttrice

Mappa

Proff. Cornacchia - De Fino

problemi

2) Retta secante una parabola

1) Retta esterna alla parabola

3) Retta tangente una parabola

 equazione della parabola

 equazione della retta

Dal sistema

Problemi
  • Ricaviamo l’equazione di 2° grado : ax2+(b-m)x+c-q=o
  • il cui discriminante indichiamo con .
  • Se <0 allora si verifica il caso 1)
  • Se >0 allora si verifica il caso 2)
  • Se =0 allora si verifica il caso 3)

Mappa

Proff. Cornacchia - De Fino

curiosit
Curiosità

Per le leggi di riflessione della luce, i raggi uscenti da una sorgente luminosa posta nel fuoco di una parabola vengono da questa riflessi sotto forma di un fascio di raggi paralleli e, viceversa, un fascio di raggi paralleli (per esempio quelli provenienti da una sorgente infinitamente lontana) che colpiscono una parabola danno luogo a un fascio di raggi riflessi che convergono nel fuoco di questa.

Nella realtà, invece di una parabola, si utilizza un paraboloide rotondo che corrisponde alla superficie ottenuta facendo ruotare di un giro una parabola attorno al proprio asse.

Antenna per le comunicazioni spaziali

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Proff. Cornacchia - De Fino

circonferenza
Circonferenza

Luogo dei punti del piano equidistanti da un punto dato detto centro. La distanza si dice raggio.

Vogliamo ora determinare l’equazione della circonferenza nel piano cartesiano di centro C(a,b) e raggio r dati.

Mappa

Proff. Cornacchia - De Fino

slide11

y

P(x,y)

C(a,b)

r

O

x

Imponiamo che la distanza di un punto P(x,y) da C(a,b) sia uguale al raggio r.

Ricordando la formula che dà la distanza fra due punti, avremo

Sviluppando i calcoli

Otteniamo quindi l’equazione della circonferenza di centro (a,b) e raggio r

Mappa

Proff. Cornacchia - De Fino

slide12

Esempio

Trovare l’equazione della circonferenza di centro

C(2,1) e raggio 2.

(x-2)2+(y-1)2=22

Svolgendo i calcoli otteniamo l’equazione cercata

Viceversa, data una equazione del tipo

è possibile affermare che essa rappresenta l’equazione di una circonferenza?

Detto r il raggio, e C(a,b) le coordinate del centro, dovrà essere

Mappa

Proff. Cornacchia - De Fino

slide13

Pertanto sarà

Dall’ultima relazione, deduciamo che avremo una circonferenza solamente se il radicando è positivo. In tal caso sarà:

Mappa

Proff. Cornacchia - De Fino

slide14

y

2

C

B

A

x

O

-2

Intersezione di una retta con una circonferenza

Per determinare l’intersezione di una retta con una circonferenza, mettiamo a sistema l’equazione della retta con quella della circonferenza. Se il sistema ha due soluzioni, la retta sarà secante, se ne ha una sarà tangente, altrimenti sarà esterna.

Esempio

Trovare l’intersezione della retta di equazione

y=x+3 con la circonferenza x2+y2+4x-4y+7=0

y=x+3

x2+y2+4x-4y+7=0

che fornisce i punti

A(-2,1);B(-1,2)

Impostiamo il sistema

In questo caso la retta risulta secante.

Mappa

Proff. Cornacchia - De Fino

slide15

y

C1

x

O

C2

Intersezione di due circonferenze

Per determinare l’intersezione di due circonferenze, mettiamo a sistema le loro equazioni.

Trovare l’intersezione delle circonferenze C1: x2+y2+4x-4y+7=0 e C2: x2+y2-5=0

Esempio

x2+y2+4x-4y+7=0

x2+y2-5=0

Impostiamo il sistema

Per risolvere questo sistema, sottraiamo le due equazioni. Ci riduciamo così al sistema equivalente

x2+y2+4x-4y+7=0

4x-4y+12=0

Che equivale a trovare l’intersezione di una circonferenza con una retta. Tale retta è detta asse radicale delle due circonferenze. Nel nostro caso le circonferenze sono secanti

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Mappa

slide16

y

A

C

Dunque la circonferenza cercata ha equazione x2+y2+2x-2y-6=0.

Ha centro in D(-1,1) e raggio

3

2

D

1

x

O

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

B

-1

Circonferenza passante per tre punti

Per tre punti dati e non allineati, passa sempre una ed una sola circonferenza.

Trovare l’equazione della circonferenza passante per i punti A(-3,3); B(1,-1); C(1;3).

Esempio

Imponiamo che la circonferenza x2+y2+ax+by+c=0 passi per i punti dati

a=2

b=-2

c=-6

(-3)2+32+a(-3)+3b+c=0 passaggio per A

12+(-1)2+a-b+c=0 passaggio per B

12+32+a+3b+c=0 passaggio per C

Risolvendo:

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ellisse

F1

F2

Ellisse

Luogo dei punti del piano per i quali è costante la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

Osserviamo che se i due fuochi coincidono, otteniamo una circonferenza

Vogliamo ora determinare l’equazione dell’ellisse nel piano cartesiano avente fuochi nei punti F1(-c,0) e F2(c,0) e tale che la somma costante delle distanze dai fuochi valga 2a.

Mappa

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slide18

y

B2

A1

F1

F2

A2

x

B1

In un triangolo, la somma di due lati è maggiore del terzo. Se P è un punto dell’ellisse, deve essere PF1+PF2>F1F2, dunque 2a>2c, e dunque a>c.

Posto b2=a2-c2, si dimostra che l’equazione dell’ellisse cercata è

Ponendo x = 0, otteniamo y =  b; ponendo y=0, invece x =  a, dunque l’ellisse incontra l’asse x nei punti A1(-a,0), A2(a,0) e l’asse y nei punti B1(0,-b) e B2(0,b). Tali punti sono detti vertici dell’ellisse.

Il segmento A1A2 è lungo 2a ed è dettoasse maggiore; il segmento B1B2 misura 2b e viene dettoasse minore. Si noti che l’ellisse è simmetrico rispetto agli assi. L’intersezione degli assi è detto centro dell’ellisse.

Proff. Cornacchia - De Fino

Mappa

slide19

Disegnare l’ellisse di equazione

y

B2(0,2)

x

F1

F2

A2(3,0)

A1(-3,0)

B1(0,-2)

Esempio

Mappa

Proff. Cornacchia - De Fino

slide20

y

x

e=0,8

e=0,6

e=0,1

L'eccentricità

Il rapporto fra la semidistanza focale e il semiasse maggiore è detto eccentricità.

Poiché 0<c<a, sarà sempre 0e1. L’eccentricità misura lo schiacciamento dell’ellisse sul suo asse maggiore; più è prossima a 1, più l’ellisse è schiacciata. Se e = 0 la distanza focale diventa nulla; i fuochi coincidono e l’ellisse coincide con una circonferenza.

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Proff. Cornacchia - De Fino

slide21

Curiosità ed applicazioni

L’ellisse ha la proprietà che un raggio luminoso che parte da uno dei due fuochi, viene riflessa nell’altro fuoco. Questo vale anche per le onde sonore. Se una persona parla in un fuoco di una stanza a volta ellissoidale, un ascoltatore posto nell’altro fuoco riuscirà ad udire anche i suoni più deboli. Questa proprietà è stata utilizzata nella costruzione di alcuni palazzi rinascimentali, come quello di Schifanoia a Ferrara.

Immagine tratta dalla mostra Oltre il compasso.

Mappa

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Leggi di Keplero

Le leggi di Keplero governano il moto dei pianeti intorno al sole. Esse affermano che ogni pianeta, nella sua rotazione intorno al sole, descrive un’orbita a forma di ellisse, di cui il sole occupa uno dei fuochi.

Immagine tratta da Enciclopedia Encarta

Mappa

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iperbole

F1

F2

Iperbole

Luogo dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

Vogliamo ora determinare l’equazione dell’iperbole nel piano cartesiano avente fuochi nei punti F1(-c,0) e F2(c,0) e tale che la differenza costante delle distanze dai fuochi valga 2a.

Mappa

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slide24

y

B2

F1

F2

x

A1

A2

B1

In un triangolo ogni lato è minore della differenza degli altri due; pertanto se P è un punto dell’iperbole, deve essere PF1-PF2<F1F2, perciò 2a<2c, ed infine a<c.

Posto b2=c2 -a2, si dimostra che l’equazione dell’iperbole cercata è

Ponendo y=0, si ha x =  a, dunque l’iperbole incontra l’asse x nei punti A1(-a,0), A2(a,0). Tali punti sono detti vertici dell’iperbole. Ponendo invece x=0 si ottiene una equazione impossibile. L’iperbole non interseca dunque l’asse delle y.

Il segmento A1A2 è lungo 2a ed è dettoasse traverso. DettiB1(0,-b), B2(0,b), il segmento B1B2 misura 2b e viene dettoasse non traverso. Si noti che l’iperbole è simmetrico rispetto agli assi. L’intersezione degli assi è detto centro dell’iperbole.

Mappa

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slide25

e

Disegniamo le rette di equazione

y

F1

F2

x

Queste rette sono dette asintoti. Osserviamo che l’iperbole è costituito da due rami contenuti nelle porzioni di piano delimitate dagli asintoti. La curva si avvicina sempre di più agli asintoti, senza mai intersecarli.

Mappa

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slide26

y

B2(2,0)

A1(-3,0)

A2(3,0)

x

B1(-2,0)

Esempio

Disegnare l’iperbole di equazione

Asintoti:

Mappa

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slide27

y

e=2

e=1,5

e=1,05

x

L'eccentricità

Il rapporto fra la semidistanza focale e il semiasse traverso è detto eccentricità.

Poiché c>a>0, sarà sempre e>1. L’eccentricità misura l’apertura dei rami dell’iperbole; a valori maggiori, corrisponde maggiore apertura dei rami dell’iperbole.

Mappa

Proff. Cornacchia - De Fino

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y

y

xy = h, h>0

xy = h, h<0

x

x

Iperbole equilatera

Un’iperbole si dice equilatera se ha i semiassi uguali, ossia se a = b.

L’equazione dell’iperbole equilatera si può riscrivere come x2-y2=a2. Gli asintoti hanno per equazione y =  x. Essi coincidono con le bisettrici dei quadranti e sono tra loro perpendicolari. L’eccentricità dell’iperbole equilatera vale .

Scegliendo un sistema di riferimento in cui gli assi cartesiani coincidono con gli asintoti, l’equazione dell’iperbole equilatera diventa xy = h, con |h|=a2/2.

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