Wykład 14. Odwzorowanie Gaussa-Krügera w postaci szeregów potęgowych

1. Wykład 14. Odwzorowanie Gaussa-Krügera w postaci szeregów potęgowych Wykład 14. Odwzorowanie Gaussa-Krügera w postaci szeregów potęgowych

2. Wykład 14. Odwzorowanie Gaussa-Krügera w postaci szeregów potęgowych Odwzorowanie Gaussa-Krügera– zadanie proste Zadanie proste – wyznaczenie współrzędnych prostokątnych płaskichx,y na podstawie współrzędnych geodezyjnych B,L Odwzorowanie Gaussa-Krügera jest odwzorowaniem konforemnym, a więc wymaga wprowadzenia na elipsoidzie współrzędnych izometrycz-nych, według wzorów l=L-L0 Funkcje odwzorowawcze w odwzorowaniu konforemnym elipsoidy w płaszczyznę mają postać

3. Wykład 14. Odwzorowanie Gaussa-Krügera w postaci szeregów potęgowych Odwzorowanie Gaussa-Krügera– zadanie proste Rozwijamy funkcjęf(z) w szereg Taylora w punkcie z=z0 W odwzorowaniu Gaussa-Krügera południk osiowy odwzorowuje się na odcinek linii prostej leżący na osi y , a więc dla l=0 musi być spełniony warunek taki, że y=0

4. Wykład 14. Odwzorowanie Gaussa-Krügera w postaci szeregów potęgowych Odwzorowanie Gaussa-Krügera– zadanie proste Aby powyższy szereg potęgowyspełniał ten warunek punkt z0 musi leżeć na południku osiowym l=0 stąd możemy więc napisać szereg w następującej postaci

5. Wykład 14. Odwzorowanie Gaussa-Krügera w postaci szeregów potęgowych Odwzorowanie Gaussa-Krügera– zadanie proste Po rozdzieleniu na część rzeczywistą i urojoną otrzymujemy W odwzorowaniu Gaussa-Krügera południk osiowy odwzorowuje się bez zniekształceń, a więc funkcja f(q) w powyższym szeregu oznacza długośćsłuku południka liczoną od równika B=0. Możemy więc napisać

6. Wykład 14. Odwzorowanie Gaussa-Krügera w postaci szeregów potęgowych Odwzorowanie Gaussa-Krügera– zadanie proste Głównym problemem obliczanie współrzędnych za pomocą szeregów potęgowychjest wyznaczenie pochodnych

7. Wykład 14. Odwzorowanie Gaussa-Krügera w postaci szeregów potęgowych Odwzorowanie Gaussa-Krügera– zadanie proste Ponieważ oraz pierwsza pochodna ma następującą postać druga pochodna ma następującą postać trzecia pochodna ma następującą postać

8. Wykład 14. Odwzorowanie Gaussa-Krügera w postaci szeregów potęgowych Odwzorowanie Gaussa-Krügera– zadanie proste Iloraz można przedstawić w postaci Po uwzględnieniu powyższego oraz wprowadzeniu oznaczeń

9. Wykład 14. Odwzorowanie Gaussa-Krügera w postaci szeregów potęgowych Odwzorowanie Gaussa-Krügera– zadanie proste Pochodne można przedstawić w postaci

10. Wykład 14. Odwzorowanie Gaussa-Krügera w postaci szeregów potęgowych Odwzorowanie Gaussa-Krügera– zadanie proste W celu ułatwienia obliczeń można wyprowadzić wzór rekurencyjny. Pochodne można przedstawić w postaci gdzie gdzie

11. Wykład 14. Odwzorowanie Gaussa-Krügera w postaci szeregów potęgowych Odwzorowanie Gaussa-Krügera– zadanie proste Zatem n-tą pochodną można obliczyć ze wzoru współczynnik liczbowy można wyznaczyć na podstawie wzoru rekurencyjnego

12. Wykład 14. Odwzorowanie Gaussa-Krügera w postaci szeregów potęgowych Odwzorowanie Gaussa-Krügera– zadanie odwrotne Zadanie odwrotne – wyznaczenie współrzędnych geodezyjnych B,L na podstawie współrzędnych prostokątnych płaskich x,y W zadaniu odwrotnym będziemy poszukiwać rozwinięcia funkcji w szereg potęgowy zmiennej zespolonej o następującej postaci q+il=F(x+iy)=F(Z) Rozwijamy funkcjęF(Z) w szereg Taylora w punkcie Z=Z0

13. Wykład 14. Odwzorowanie Gaussa-Krügera w postaci szeregów potęgowych Odwzorowanie Gaussa-Krügera– zadanie odwrotne Ponieważ w odwzorowaniu Gaussa-Krügera południk osiowy odwzoro- wuje się na odcinek linii prostej leżący na osi y , a więc dla l=0 musi być spełniony warunek taki, że y=0. W związku z tym Możemy napisać szereg o następującej postaci

14. Wykład 14. Odwzorowanie Gaussa-Krügera w postaci szeregów potęgowych Odwzorowanie Gaussa-Krügera– zadanie odwrotne Wyraz wolny szeregu jest równy szerokości izometrycznej q0 która odpowiada długości łuku południka równej współrzędnej x danego punktu (rys.)

15. Wykład 14. Odwzorowanie Gaussa-Krügera w postaci szeregów potęgowych Odwzorowanie Gaussa-Krügera– zadanie odwrotne Zatem szereg potęgowy można napisać w postaci Po rozdzieleniu na część rzeczywistą i urojoną otrzymujemy

16. Wykład 14. Odwzorowanie Gaussa-Krügera w postaci szeregów potęgowych Odwzorowanie Gaussa-Krügera– zadanie odwrotne Realizacja zadania odwrotnego sprowadza się do obliczenia pochodnych w punkcie o współrzędnych B=B0

17. Wykład 14. Odwzorowanie Gaussa-Krügera w postaci szeregów potęgowych Odwzorowanie Gaussa-Krügera– zadanie odwrotne po wprowadzeniu otrzymujemy

18. Wykład 14. Odwzorowanie Gaussa-Krügera w postaci szeregów potęgowych Odwzorowanie Gaussa-Krügera– zadanie odwrotne W celu ułatwienia obliczeń można wyprowadzić wzór rekurencyjny. Pochodne można przedstawić w postaci gdzie gdzie

19. Wykład 14. Odwzorowanie Gaussa-Krügera w postaci szeregów potęgowych Odwzorowanie Gaussa-Krügera– zadanie odwrotne Zatem n-tą pochodną można obliczyć ze wzoru współczynnik liczbowy można wyznaczyć na podstawie wzoru rekurencyjnego