Função Seno

1. Função Seno

2. associar a declinação solar a modelos matemáticos, relacionando para certo dia do ano, a latitude para a qual os raios solares são perpendi-culares ao solo, próximo ao meio dia. analisar as transformações gráficas dos tipos: reflexão,translação, encolhimento e alongamento. Objetivos

3. Declinação Solar ao longo do ano. Tempo previsto: 3h

4. Uma vez que a Terra é aproximadamente esférica, a luz que vem do Sol sempre incide perpendicularmente em algum ponto da superfície terrestre. Num dado dia do ano, existe um conjunto de pontos da superfície terrestre sobre os quais a luz do Sol passa exatamente pelas normais desses pontos. Obviamente, a luz somente será perpendicular a um ponto por vez, mas como a Terra encontra-se em movimento de rotação, vários são os pontos que, ao longo deste dia, receberão a luz do Sol perpendicularmente.

5. Para esses pontos, a luz do Sol coincide com suas normais exatamente no meio-dia solar ou meio-dia verdadeiro (que difere um pouco do meio-dia de nossos relógios). Inclinação dos raios de luz solar num dado dia do ano para várias latitudes. A figura representa o solstício de verão no hemisfério sul, com a luz incidindo perpendicularmente sobre o Trópico de Capricórnio. Em cada momento do dia, algum ponto do Trópico de Capricórnio recebe a luz do sol perpendicularmente.

6. Esses locais da superfície terrestre em que a luz do Sol é capaz de incidir perpendicularmente num dado dia do ano possuem em comum suas latitudes, e assim, juntos, formam um círculo de latitude constante em torno da Terra. Devido aos movimentos de rotação e translação da Terra, a cada dia do ano, a luz do Sol é capaz de atingir a Terra perpendicularmente em um círculo de latitudes diferentes, entre as latitudes de -23,5º e +23,5º. A latitude desses “círculos” de incidência perpendicular da luz do Sol é chamada de declinação, e é função do dia do ano.

7. Uma forma simples de calcular a declinação é utilizando a seguinte equação: sendo que d é o dia juliano, contado de 1 (1º/jan) a 365 (31/dez), e é a declinação em graus. A figura seguinte mostra a posição relativa Terra-Sol ao longo do ano, destacando os dias em que os raios do Sol são perpendiculares aos Trópicos de Capricórnio, Câncer e à linha do Equador, ocasionando os Solstícios e Equinócios.

8. Modificação da posição relativa da Terra ao Sol ao longo do ano: estações do ano. A palavra Equinócio significa “noite igual”, ou seja, a duração do dia é igual à duração da noite. Durante os Equinócios, tanto o hemisfério norte quanto o hemisfério sul recebem a mesma intensidade de luz solar. Nos demais dias, um hemisfério sempre recebe mais luz solar do que outro.

9. O dia mais longo do ano ocorre no Solstício de Verão e a noite mais longa ocorre no Solstício de Inverno. A palavra Solstício significa parado, imobilizado e está associada à idéia de que o Sol estaria como que estacionário. Não é em toda a superfície da Terra que acontece de o Sol "ficar a pino" em algum dia do ano. Para localidades a 23,5° do equador terrestre (Trópicos de Capricórnio e Câncer), o Sol fica a pino apenas no dia do Solstício de Verão (ao meio dia solar, quando o Sol passa pelo meridiano do lugar).

10. Localidades a mais de 23,5° do Equador terrestre, ao norte ou ao sul, nunca têm o Sol a pino. Localidades entre 23,5° sul e 23,5° norte, têm o Sol a pino dois dias por ano. Esses dias estão simetricamente dispostos em relação ao Solstício de Verão e tanto mais próximos do dia desse solstício, quanto mais próxima da latitude 23,5° estiver a localidade. Localidades sobre o equador terrestre, têm o Sol a pino nos equinócios. Dessa forma, pode-se calcular o ângulo que a luz do Sol faz com a normal de um ponto, numa dada latitude, ao meio-dia, através do módulo da diferença entre a latitude do ponto desejado e a declinação.

11. onde = ângulo zenital solar (ângulo da luz do Sol com a normal) e é a latitude do ponto desejado. A figura a seguir ilustra o cálculo para o ângulo dos raios solares formados com a horizontal na latitude de 40°N no dia 22 de dezembro. Neste dia, os raios solares são perpendiculares à superfície sobre o Trópico de Capricórnio, ou seja, a 23,5°S.

12. Logo, existe uma diferença de 63,5° entre a latitude em que se quer medir o ângulo zenital e a latitude onde os raios são perpendiculares. Note que a figura assinala o ângulo formado com a horizontal, ou seja, o complemento de 63,5° que é 26,5°.

13. Abaixo segue a relação de algumas cidades e suas respectivas latitudes: Com base nas informações anteriores, discuta com seu colega as atividades seguintes, respondendo de forma clara e concisa o que se pede.

14. 1) Construa o gráfico da declinação em função do dia juliano, limitando o domínio da função para os valores informados no texto. • 1.1) Verifique para qual declinação (latitude) os raios solares serão perpendiculares à superfície ao meio dia local de 14 de abril (104° dia juliano). • 1.2) Esta latitude pertence ao Hemisfério Norte (HN) ou Sul (HS)? • 1.3) Dentre as cidades citadas no texto, qual mais se aproxima desta latitude?

15. 2) Santa Maria está localizada na latitude aproximada de 29,7°S. Existe algum dia do ano em que os raios solares são perpendiculares à superfície santa-mariense? Se sim, qual? Se não, por quê? 3) Os pontos do gráfico com declinações máximas e nulas coincidem com os dias dos Solstícios e Equinócios. Dada as informações na tabela abaixo, complete com o que falta:

16. 4) Considerando que a cidade do Rio de Janeiro está a 23°S, pede-se: • 4.1) Quantas vezes ao ano o Sol estará “a pino” no céu da cidade? • 4.2) Quais são esses dias?

17. 5) Hoje é dia 30 de outubro, equivalente ao 303° dia juliano e os raios solares estão perpendiculares à superfície terrestre na latitude de 14,7°S. Sabendo-se que Santa Maria está localizada a 29,7°S, descubra qual o ângulo formado entre o Sol e a vertical (ângulo zenital) ao meio dia local do dia de hoje. 5.1) Verifique qual será, ao longo do ano, o maior ângulo zenital visto em Santa Maria e para que dia ele ocorre. 5.2) Verifique qual será, ao longo do ano, o menor ângulo zenital visto em Santa Maria e para que dia ele ocorre.

18. 6) Construa os gráficos de f(x)=sen(x) e g(x)=a+sen(x) e, usando animação no parâmetro a, responda: • 6.1) Faça a assumir valores negativos. O que acontece com o gráfico de g comparativamente ao gráfico de f? • 6.2) Faça a assumir valores positivos. O que acontece com o gráfico de g comparativamente ao gráfico de f?

19. 6.3) Que relação existe entre o parâmetro a e o intercepto -y? • 6.4) Este tipo de transformação altera o domínio da função? • 6.5) Observe que a função f varia de [-1,1]. Qual o conjunto imagem da função g?

20. 7) Construa os gráficos de f(x)=sen(x) e g(x)= sen(x+b)e, usando animação no parâmetro b, responda: • 7.1) Faça b assumir valores negativos. O que acontece com o gráfico de g comparativamente ao gráfico de f? • 7.2) Faça b assumir valores positivos. O que acontece com o gráfico de g comparativamente ao gráfico de f? • 7.3) Um dos zeros da função f é x=0. Se b=2, um dos zeros de g será:

21. 8) Construa os gráficos de f(x)=sen(x) e g(x)= c.sen(x) e, usando animação no parâmetro c, responda: • 8.1) Faça c assumir valores positivos entre 0 e 1. Você acha que, comparados ao gráfico de f, os gráficos de g estão mais encolhidos ou alongados na direção vertical? • 8.2) Faça c assumir valores positivos maiores do que 1. Você acha que, comparados ao gráfico de f, os gráficos de g estão mais encolhidos ou alongados na direção vertical?

22. 8.3) Quando c = -1, o que se pode concluir sobre os gráficos de f e g? • 8.4) Faça c assumir valores negativos entre -1 e 0. Você acha que, comparados ao gráfico de f, os gráficos de g estão mais encolhidos ou alongados na direção vertical? • 8.5) Faça c assumir valores negativos menores do que -1. Você acha que, comparados ao gráfico de f, os gráficos de g estão mais encolhidos ou alongados na direção vertical?

23. 8.6) Resumindo: o que acontece com o gráfico de g, comparativamente ao de f, quando |c|>1? E quando |c|<1? • 8.7) Observe que a função f varia de [-1,1]. Qual o conjunto imagem da função g?

24. 9) Construa os gráficos de f(x)=sen(x) e g(x)=sen(d.x) e, usando animação no parâmetro d, responda: • 9.1) Faça d assumir valores positivos entre 0 e 1. Você acha que, comparados ao gráfico de f, os gráficos de g estão mais encolhidos ou alongados na direção horizontal? • 9.2) Faça d assumir valores positivos maiores do que 1. Você acha que, comparados ao gráfico de f, os gráficos de g estão mais encolhidos ou alongados na direção horizontal?

25. 9.3) Quando d = -1, o que se pode concluir sobre os gráficos de f e g? • 9.4) Faça dassumir valores negativos entre -1 e 0. Você acha que, comparados ao gráfico de f, os gráficos de g estão mais encolhidos ou alongados na direção horizontal? • 9.5) Faça d assumir valores negativos menores do que -1. Você acha que, comparados ao gráfico de f, os gráficos de g estão mais encolhidos ou alongados na direção horizontal?

26. 9.6) Resumindo: o que acontece com o gráfico de g, comparativamente ao de f, quando |d|>1? E quando |d|<1? • 9.7) Este tipo de transformação altera o conjunto imagem da função? • 9.8) Note que a função seno é periódica, ou seja, em intervalos de tempos iguais, a função se repete. O período da função f varia de 0 a 6,28 (ou 2). Quando d=2, o período de g varia de 0 a 3,14 (ou ), ou seja, a metade do período de f.

27. 9.8.1) O que acontece com o período de g quando d = 3? • 9.8.2) O que acontece com o período de g quando d = 1/4? • 9.8.3) É correto concluir que o período da função g corresponde a ?

28. 10) Construa os gráficos de f(x)=sen(x+b) e g(x)=cos(x). Inicialmente, faça b = 0. Note que os dois gráficos são muito parecidos, porém, não coincidentes. Anime o parâmetro b e descubra qual seu menor valor positivo para o qual os dois gráficos coincidem. 11) Construa os gráficos das funções f(x)=cos(x) e g(x)=|cos(x)|. No Winplot, a função g dada pode ser introduzida como abs(cos(x)).

29. 11.1) O que você pode observar sobre o sinal da função g? 11.2) É correto concluir que o gráfico de g pode ser obtido traçando-se o gráfico de f e refletindo em torno do eixo x os pontos de ordenadas negativas?