MET 2211 Statistikk og dataanalyse

1. MET 2211Statistikk og dataanalyse Forelesning 19.09.2002 Kapittel 6: Sannsynlighetsfordelinger

2. Ordnet utvalg med tilbakelegning • n kuler kan trekkes fra en urne med N kuler på Nn ulikemåter hvis vi • Observerer rekkefølgen • Legger dem tilbake etterhvert • Eksempel: N = 5, n = 2, Nn = 25. • Vi kan altså velge ut 2 kuler fra 5 på 25 måter hvis vi legger den første tilbake og bryr oss om rekkefølgen. ŒŒ Œ ŒŽ Œ Œ Œ  Ž   ŽŒ Ž ŽŽ Ž Ž Œ  Ž   Œ  Ž   MET 2211 - Fred Wenstøp

3. Viktige formler i kombinatorikk • Fakultet: n! = n´(n-1)´(n-2)´..2´1 • 5! = 5´4´3´2´1 = 120 • Excel: =FACT(5) • Permutasjoner: PNn= N´(N-1)´(N-2)´.. i alt n ledd • P52= 5´4 = 20 • Excel: = PERMUT(5;2) • Kombinasjoner: CNn= PNn /n! • C52= 5´4 / 2! = 10 • Excel: = COMBIN(5;2) MET 2211 - Fred Wenstøp

4. Ordnet utvalg uten tilbakelegning • n kuler kan trekkes fra en urne med N kuler på PnN ulikemåter hvis vi • Observerer rekkefølgen • Ikke legger dem tilbake etterhvert • Eksempel: N = 5, n = 2, PnN = 5´4 = 20 • Vi kan altså velge ut 2 kuler fra 5 på 20 måter hvis vi ikke legger den første tilbake, men bryr oss om rekkefølgen. ŒŒ Œ ŒŽ Œ Œ Œ  Ž   ŽŒ Ž ŽŽ Ž Ž Œ  Ž   Œ  Ž   MET 2211 - Fred Wenstøp

5. Permutasjoner • n personer kan stå i Pnn = n! rekkefølger • n! = n ´(n-1) ´(n-2) ´ … ´ 2 ´ 1 • Eksempel: • 20 skolebarn kan komme inn i klasserommet i 20! ulike rekkefølger • 20! = 20 ´ 19 ´ 18 ´ 17 ´ … ´ 1 = 2.432.902.008.176.640.000 = 2,432 trillioner MET 2211 - Fred Wenstøp

6. Uordnet utvalg uten tilbakelegning • n kuler kan trekkes fra en urne med N kuler på CnN ulikemåter hvis vi: • Ikke observerer rekkefølgen • Ikke legger dem tilbake etterhvert • Eksempel: N = 5, n = 2, CnN = 5´4/2! = 10 • Vi kan altså velge ut 2 kuler fra 5 på 10 måter hvis vi hverken legger den første tilbake eller bryr oss om rekkefølgen ŒŒŒ ŒŽ Œ Œ Œ Ž   ŽŒ Ž ŽŽŽ Ž Œ  Ž  Œ  Ž   MET 2211 - Fred Wenstøp

7. Sannsynlighets-regning • Vi har i alt m mulige utvalg • Av de m mulige er g spesielle • Alle m er like sannsynlige, og vi velger ett tilfeldig • Sannsynligheten for et spesielt utvalg: P = g/m • Eksempel: Hva er sannsynligheten for 12 rette i tipping når man bare gjetter? • N = 3 (H U B) • n = 12 (kamper) • g = 1 (det riktige) • m = 312 • Svar: 1/312 = 0,0000019 MET 2211 - Fred Wenstøp

8. Like sannsynlige utvalg Ordnet, med tilbakelegging Tipping Ordnet, uten tilbakelegging Velg leder og nestleder Uordnet, uten tilbakelegging Lotto Utvalg som ikke er like sannsynlige Uordnet, med tilbakelegging Uordnet utvalg med tilbakelegging Eksempel: Barnefødsler N = 2 kjønn (P G) n = 3 fødsler (trekninger) Mulige uordnete resultater: 3J, 2J1G, 1J2G, 3G m = 4 Er de like sannsynlige? Oversikt over utvalgsmetodene MET 2211 - Fred Wenstøp

9. Eksempel: Barnefødsler • Vi kan finne sannsynlighetene ved å gå veien om ordnete utvalg • En litt større barneflokk: • Vi har N = 2 kjønn (P,G) og • Vi trekker n = 5 ganger, ordnet og med tilbakelegging. • Det gir m = 25 = 32 mulige utvalg • La oss si at et spesielt utvalg har 3 jenter • Spørsmål: Hvor mange er spesielle ? Hva er g ? MET 2211 - Fred Wenstøp

10. 3 jenter i ordnete barneflokker på n = 5 PPPPP PGPPP GPGPPGGPPP PPPPG PGPPG GPPPGGGPPG PPPGP PGPGP GPPGPGGPGP PPPGGPGGPP GPPGG GGPGG PPGGP PGPGGGPPPP GGGPP PPGPGPGGPG GPGPG GGGPG PPGPPPGGGP GPGGP GGGGP PPGGG PGGGG GPGGG GGGGG MET 2211 - Fred Wenstøp

11. På vei mot binomialfordelingen • Hvordan kunne vi funnet g uten å liste opp alle de ordnete utvalgene ? • g er antall måter vi kunne ha valgt ut de 3 jenteplassene fra de 5 plassene på • Dette er et uordnet utvalg uten tilbakelegging • n = 3 • N = 5 • g = C53 = 10 • P(3J) = g/m = 10/25 = 10(½)5 = 10/32 = 0,3125 MET 2211 - Fred Wenstøp

12. Binomialfordelingeneksempel • Jenter og gutter er ikke like sannsynlige • P(jente) = p = 0,48 • n = 5 forsøk • a = antall vellykkete (jenter) • P(a = 3) = C53pa(1-p)n-a = 10´0,483´0,522 = • =BINOMDIST(3;5;0,48;0) = 0,2999 MET 2211 - Fred Wenstøp

13. Binomialfordelingen • Sannsynligheten for å få nøyaktig a vellykkete utfall i en serie på n identiske og uavhengige forsøk der sannsynligheten for at et tilfeldig forsøk skal bli vellykket er p MET 2211 - Fred Wenstøp

14. Den hypergeo-metriske fordeling • n elementer trekkes uordnet og uten tilbakelegning fra en populasjon med N elementer hvorav A er Riktige og resten Gale. Sannsynligheten for å få nøyaktig aRiktige i utvalget er: MET 2211 - Fred Wenstøp

15. Eksempel på hyper-geometrisk sannsynlighet • Eksempel: • Hva er sannsynligheten for å få 6 rette i Lotto • n = 7, N=34, a = 6, A = 7 MET 2211 - Fred Wenstøp