Gymnázium, Havířov -Město, Komenského 2, p.o .

1. Gymnázium, Havířov-Město, Komenského 2, p.o. MATEMATIKA PRO IV. ROČNÍK GYMNÁZIA – FUNKCE II Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. IV/2-2-2-04 POSLOUPNOSTI – ŘEŠENÉ ÚLOHY Autor: Mgr. Alexandra Bouchalová Zpracováno dne 5. 9. 2013 • Tato prezentace vznikla na základě řešení projektu OPVK, registrační číslo: CZ.1.07/1.5.00/34.0794 s názvem „VÝUKA NA GYMNÁZIU PoDPOROVÁNA ICT“

2. Úloha 1 Odhadněte vzorec pro n-tý člen posloupnosti, znáte-li několik jejích prvních členů: 3, 5, 7, 9, 11, ... a1 = 3 a2 = 5 a3 = 7 a4 = 9 a5 = 11 ... an = 2n + 1 Řešené úlohy 2

3. Úloha 2 Posloupnost vyjádřenou vzorcem pro n-tý člen vyjádřete rekurentně: . a1 = log210 an = log210n an+1 = log210n+1= log2(10n .10) = log210n + log210 an+1 – an= log210n + log210 – log210n an+1 – an= log210 a1 = log210 an+1 = an+ log210 Řešené úlohy 3

4. Úloha 3 Posloupnost určenou rekurentně vyjádřete vzorcem pro n-tý člen: a1 = 1, an+1 = -3an. a1 = 1 a2 = -3 a3 = 9 a4 = -27 a5 = 81 ... an = (-3)n-1 Vzorec pro n-tý člen jsme odhadli, proto je třeba jeho správnost ověřit důkazem matematickou indukcí. 1. n = 1  a1 = (-3)1 – 1= 1 platí 2.  k N: ak = (-3)k – 1  ak+1 = (-3)k ak+1 = -3ak = -3 (-3)k – 1 = (-3)k – 1 + 1= (-3)k cbd Řešené úlohy 4

5. Úloha 4 Rozhodněte, zda je daná posloupnost monotónní, omezená zdola, shora popř. omezená a zda má nejmenší popř. největší člen: an = –n2 + 4. a1 = 3 a2 = 0 a3 = –5 a4 = –12 ... Klesající Omezená shora h = 3 Největší člen maxan = 3 Předpoklad: Řešené úlohy 5

6. Úloha 4 Rozhodněte, zda je daná posloupnost monotónní, omezená zdola, shora popř. omezená a zda má minimální popř. maximální člen: an = –n2 + 4. 1. Klesající an+1 – an < 0 –(n+1)2 + 4 – (–n2 + 4) = –n2 – 2n – 1 + 4 + n2 – 4 = – 2n – 1 < 0 Posloupnost je klesající. Řešené úlohy 6

7. Úloha 4 Rozhodněte, zda je daná posloupnost monotónní, omezená zdola, shora popř. omezená a zda má minimální popř. maximální člen: an = –n2 + 4. 2. Omezená shora anh = 3 –n2 + 4  3  n2 1  řešením nerovnice jsou všechna n. Posloupnost je omezená shora. Řešené úlohy 7

8. Úloha 4 Rozhodněte, zda je daná posloupnost monotónní, omezená zdola, shora popř. omezená a zda má minimální popř. maximální člen: an = –n2 + 4. 3. Největší člen maxan= 3 –n2 + 4 = 3  n2 =1  n = 1  max a1= 3 Posloupnost má největší člen. Řešené úlohy 8

9. Použitá literatura Literatura JARNÍK, Vojtěch. Diferenciální počet (I). 7. vyd. Praha: Československá akademie věd, 1984. ISBN 104-21-852. JARNÍK, Vojtěch. Integrální počet (2). 3. vyd. Praha: Československá akademie věd, 1984. ISBN 104-21-852. KUBEŠOVÁ, Naděžda a Eva CIBULKOVÁ. Matematika: přehled středoškolského učiva. 2. vyd. Třebíč: Petra Velanová, 2006, 239 s. Maturita (Petra Velanová). ISBN 978-808-6873-053. ODVÁRKO, Oldřich, Miloš BOŽEK a Marta RYŠÁNKOVÁ. Matematika: pro II. ročník gymnázií.1. vyd. Praha: SPN, 1985. ISBN 14-499-85. ODVÁRKO, Oldřich. Matematika pro gymnázia: Funkce. 4. vyd. Praha: Prometheus, 2008, 168 s. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 978-80-7196-357-8. ODVÁRKO, Oldřich. Matematika pro gymnázia: Posloupnosti a řady. 3. vyd. Prometheus, 2008. Učebnice pro střední školy (Prometheus). ISBN 978-80-7196-391-2. PETÁKOVÁ, Jindra. Matematika - příprava k maturitě a k přijímacím zkouškám na vysoké školy. 1. vyd. Praha: Prometheus, 1998. ISBN 978-807-1960-997. VOCELKA, Jindřich. Maturujeme jinak. 1. vyd. Praha: Prometheus, 2001. ISBN 80-719-6221-X. • Řešené úlohy

10. soubor prezentací MATEMATIKA PRO IV. ROČNÍK GYMNÁZIA Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. • Tato prezentace vznikla na základě řešení projektu OPVK, registrační číslo: CZ.1.07/1.5.00/34.0794 s názvem „VÝUKA NA GYMNÁZIU PoDPOROVÁNA ICT“