ATRISCAL coordinate estimation by steepest descent method

1. ATRISCAL coordinate estimation by steepest descent method SHOJIMA Kojiro The National Center for University Entrance Examinations shojima@rd.dnc.ac.jp

2. ATRISCAL • Asymmetric Triangulation Scaling • 非対称三角尺度法 • 多次元尺度法(MDS)の1手法 • 目的 • テストデータにおけるグローバルな項目間従属関係の可視化 • 分析対象 • 2値のテストデータから得られる項目間の条件付き正答率行列

3. 同時正答率行列 • n×n 対称行列 • 第j対角要素　P(j,j)=P(j) • 項目jの正答率 • 第ij非対角要素　P(i,j) • 項目iとjの同時正答率 • 対称　P(i,j)=P(j,i)

4. 条件付き正答率行列 • n×n 非対称行列 • 第j対角要素　P(j|j)=P(j)/P(j)=1.0 • 第ij非対角要素　P(j|i)=P(i,j)/P(i) • 項目iに正答した時の項目jの正答率 • P(i|j)≠P(j|i): 通常は非対称

5. 多次元尺度法(MDS) QM Q2 X15 X7 X11 X4 X12 X5 X13 X1 X2 X10 X3 X9 X14 X6 X8 Q1 O

6. 項目iとjの関係 Xi Xij Xｊ O

7. 項目iとjの関係 Xi Xij Xｊ O

8. 拡大 非対称条件付き正答率行列 • 非対称条件付き正答率行列は、各項目の正答率に関する情報が欠如している。 • そこで正答率が1.0という仮想的な項目n+1を考える • P(j|n+1)=P(j,n+1)/P(n+1)=P(j) • P(n+1|j)=P(j,n+1)/P(j)=1.0

9. ストレス関数

10. δ(delta) Xi Xi Xｊ 正しい三角形 正しくない三角形 原点Oからの垂線の足が線分XiXjに落ちない Xｊ Xij • 原点Oからの垂線の足が線分XiXjに落ちる Xij O O δij=δji=1 δij=δji=0

11. λ（lambda） 0.5 1 0.5 1

12. 次元数と空間の不定性回避のための固定座標 • 次元数=3 • 項目n+1の座標 • (xn+1=0, yn+1=0, zn+1=1) • 最も正答率が低い項目kの座標 • (xk=0, yk>0, zk) • P(・|k)が中程度の項目lの座標 • (xl>0, yl, zl)

13. ストレス関数の最適化 • 最急降下法(steepest descent method)を使用 • ストレス関数を項目jの座標で微分

14. 第1次導関数のカーネル

15. Exametrikaデモ www.rd.dnc.ac.jp/~shojima/exmk/index.htm

16. 分析結果：放射図(Radial Map) • 赤い点 • 推定された座標 • オレンジの点 • 原点から赤い点を越えて半球ドームとの交点

17. 項目jと仮想項目n+1の関係 • P(j)→1.0 • P(k)→0.0 Xn+1 Xj 1 P(j) Xk P(k) O

18. 項目iとjの関係 • P(i)<P(j) • P(i|j)→1.0 • P(i|j)→0.0 Xn+1 Xj Xi O

19. 地勢図(Topographic Map) • オレンジ点をXY平面に射影 • ボロノイ分割 • ボロノイ領域をオレンジの線分長だけリフト • 高さによって色分け

20. 習得図(Mastery Maps) • 各受検者ごとに

21. Exametrikaデモ www.rd.dnc.ac.jp/~shojima/exmk/index.htm

22. まとめ • グローバルな項目間従属関係を可視化 • しかし、局所的な項目間従属関係も扱える • データを総点に関してQ分位分割 • それぞれのグループに対して分析 • その意味でのlocaltyで項目間の局所従属関係を記述可能 • 教育現場では、5段階くらいで、項目間の従属関係構造が明らかになれば十分 • 潜在ランク理論（ニューラルテスト理論）と合体させたい

23. ご清聴ありがとうございました 荘島宏二郎 （独）大学入試センター研究開発部 shojima@rd.dnc.ac.jp