1. MATRIKS 2. METODE ELIMINASI GAUSS 3. METODE ITERASI GAUSS SEIDEL 4. METODE DEKOMPOSISI LU

1. 1. MATRIKS2. METODE ELIMINASI GAUSS3. METODE ITERASI GAUSS SEIDEL4. METODE DEKOMPOSISI LU PERTEMUAN 5

2. MATRIKS Definisi Matriks Adalah kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam baris dan kolom.

3. a11 a12 …. a1n a21 a22 …. a2n . . am1 am2 …. amn Notasi Matriks A = --

4. Ukuran Matrik atau Ordo Matrik A adalah m x n dimana : m = banyak baris n = banyak kolom • Elemen matrik aij artinya elemen baris ke-I dan kolom ke-j pada matrik A

5. Jenis-jenis matriks 1.Vektor adalah matriks yang hanya mempunyai satu baris dan satu kolom - jika matriks [A] hanya mempunyai satu baris maka disebut vektor baris - jika matriks [A] hanya mempunyai satu baris maka disebut vektor baris 2.Matriks bujur sangkar bila ordo A adalah m x n dimana m = n 3. Matriks Nol adalah matriks yang elemen elemennya nol 4. Matriks diagonal adalah matriks yang hanya elemen-elemen diagonal tidak sama dengan nol 5. Matriks Identitas adalah bentuk khusus dari matriks diagonal dimana elemen-elemen diagonalnya sama dengan nol

6. 6. Matriks segitiga adalah suatu matriks persegi dikatakan sebagai matriks segitiga jika elemenelemen yang ada di bawah atau di atas diagonal utamanya (salah satu, tidak kedua-duanya) bernilai nol. Jika elemen-elemen yangada di bawah diagonal utama bernilai nol maka disebut sebagai matriks segitiga atas. Sebaliknya, jika elemen-elemen yang ada di atas diagonal utamanya bernilai nol maka disebut sebagai matriks segitiga bawah.

7. Penambahanmatriks Sesuatumatriksbolehditambahjikakeduamatriksmempunyaisusunan yang sama.Begitujugadenganpenguranganmatriks,

8. Contoh 1 penambahanmatriks:

9. Contoh 2 PenguranganMatriks

10. ka11 ka12 …. ka1n ka21 ka22 …. ka2n . . . . kam1 kam2 …. kamn • Perkalian Skalar k A =

11. Contoh 3 perkalianskalar

12. Perkalian matriks dengan matriks Dua buah matriks A(m x n) dan B(n x k) dapat dikalikan apabila memenuhi syarat: • Jika dan hanya jika jumlah kolom matrik A sama dengan jumlah baris matriks B • Ordo matriks hasil perkalian A dan B adalah ( m x k )

13. Contoh 4 perkalianmatriksdenganmatriks

14. Contoh 4

15. Determinan Matriks • Jika suatu matriks adalah matriks bujur sangkar maka mempunyai nilai determinannya • Determinan matriks A di dinotasikan dengan | A | • Cara menghitung determinan tergantung ordo matriks tersebut

16. a11 a12 • a21 a22 Determinan matriks ordo 2 x 2 A = det.A = |A| = a11a22 - a21a12

17. a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 Determinan matriks ordo 3 x 3 A =

18. Determinan matrik A ( 3 x 3 ) dihitung menggunakan metode SARRUS: | A | = a11 a22a33 + a12 a23a31 + a13 a21a32 - a31 a22a13 - a32 a23a11 - a33 a21a12

19. Contoh 5 determinanMatriks 2x2

20. Contoh 5 Matriks 3x3

21. Matriks Invers Sebuah matriks A dikatakan mempunyai invers apabila matriks A adalah matriks Non singular, yaitu matriks bujur sangkar yang determinannya tidak sama dengan nol, ditulis dengan A- 1 sehingga berlaku: A-1 A = A A-1 = I dimana I adalah matriks identitas

22. Adjoin A Det. A Menentukan matriks invers • Menggunakan metode Adjoin: A- 1 =

23. A11 A12 . . A1n ... An1 An2 . . Ann ... Adjoin A adalah transpose dari matrik kofaktor-kofaktor dari matrik A Adjoin A =

24. Ai j adalah kofaktor dari elemen ai j dimana : Ai j = ( - 1 )i+ j | Mi j | Mi j adalah submatrik dari A yang diperoleh dengan jalan menghilangkan baris ke – i dan kolom ke – j pada A

25. Contoh 6 Matriksinvers

26. Contoh 6

27. KESAMAAN MATRIKS Dua matriks adalah sama jika mempunyai susunan yang sama dan unsur sepadan yang sama. Contoh 7:

28. MetodeEliminasi Gauss • MetodeEliminasi Gauss yaitumenghilangkanataumengurangijumlah variable sehinggadapatdiperolehnilaidarisuatu variable bebas • matrikdiubahmenjadi augmented matrik :

29. Metode Eliminasi Gauss ubahmatrikmenjadimatriksegitigaatasatausegitigabawahdenganmenggunakanOBE (OperasiBarisElementer).

30. MetodeEliminasi Gauss Sehinggapenyelesaiandapatdiperolehdengan:

31. Contoh 1: Selesaikansistempersamaanberikut: Augmented matrikdaripersamaan linier simultantersebut :

32. Contoh 1 : Lakukanoperasibariselementer

33. Contoh 1: Penyelesaian :

34. AlgoritmaEliminasi Gauss

35. AlgoritmaEliminasi Gauss

36. MetodeIterasi Gauss-Seidel Metodeinterasi Gauss-Seidel adalahmetode yang menggunakanprosesiterasihinggadiperolehnilai-nilai yang berubah. Biladiketahuipersamaan linier simultan

37. MetodeIterasi Gauss-Seidel Berikannilaiawaldarisetiap xi (i=1 s/d n) kemudianpersamaan linier simultandiatasdituliskanmenjadi:

38. Metode Iterasi Gauss-Seidel • Dengan menghitung nilai-nilai xi(i=1 s/d n) menggunakan persamaan-persamaan di atas secara terus-menerus hingga nilai untuk setiap xi(i=1 s/d n) sudah sama dengan nilai xi pada iterasi sebelumnya maka diperoleh penyelesaian dari persamaan linier simultan tersebut. • Atau dengan kata lain proses iterasi dihentikan bila selisih nilai xi (i=1 s/d n) dengan nilai xi pada iterasi sebelumnya kurang dari nilai tolerasi error yang ditentukan. • Untuk mengecek kekonvergenan

39. Contoh 1: Jawab :

40. Contoh 1 Nilaiiterasi ke-7 sudah tidakberbedajauh dengannilaiiterasi ke-6 Makaprosesdihentikan dandiperolehpenyelesaian:

41. AlgoritmaEliminasi Gauss Seidell

42. AlogoritmaEliminasi Gauss Seidell

43. MetodeDekomposisi LU Jikamatriks A non singular ( matriks yang mempunyaiinvers ), makaiadapatdifaktorkan ( diuraikanataudikekomposisi ) menjadimatrikssegitigabawah, L (Lower) danmatrikssegitigaatas, U (Upper) dengancaramelakukansejumlahtransformasielementerpadabarisseperticontohsebelumnya, A = LU.

44. A Transf.elementer pada baris U L Perubahantersebutdapatdigambarkansebagaiberikut

45. Padamatrikssegitigabawah, L, semuaelemen diagonal utamanyaberharga 1, sedangkanpadamatrikssegitigaatas, U tidakadaaturankhususpadaelemen diagonal utamanya. Setelahpemfaktoranmatriks A menjadimatriks L danmatriks U, makakeduamatrikstersebutdapatdigunakanuntukmenyelesaikansistempersamaan linier AX = B, yaitusebagaiberikut. Tinjau SPL AX = B, kemudianfaktorkan A menjadi L dan U, sehingga A = LU, sehingga LUX = B. Misalkan UX = y, maka Ly = B. Untukmemperoleh , kitagunakantekniksubstitusimaju ( forward substitution ), sbb,

46. Dan untukmemperolehsolusi SPL, , kitagunakantekniksubstitusimundur ( back substitution ) sbb,

47. Contoh 1 Tentukan X1,X2,X3 dan X4 darisistempersamaan linier dibawahinidenganmetodedekomposisi LU

48. CONTOH 1

49. CONTOH 1

50. CONTOH 1