Mathematische Grundlagen

1. Mathematische Grundlagen • Lineare Algebra • Matrizenalgebra • Einfaches Eigenwertproblem • Singulärwertzerlegung • Generalisierte Inverse • Iterative und numerische Verfahren • Differentialrechnung • Optimierung Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

2. Unbekannte Konstante Koeffizienten Lineare Algebra Lösen linearer Gleichungen und Gleichungssysteme Werkzeug: Matrizenrechnung Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

3. Arten von linearen Gleichungssystemen Homogenes Gleichungssystem: alle Konstanten gleich Null Inhomogenes Gleichungssystem: mindestens eine Konstante ungleich Null Beispielsystem:3 Gleichungen in 3 Unbekannten Mehr Gleichungen als Unbekannte: Überbestimmt Mehr Unbekannte als Gleichungen: Unterbestimmt Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

4. Begriff ‚Algebra‘ Abu Ja'far Muhammad ibn Musa Al-Chwarismi: ‚Hisab al-gabr w'al-muqabala‘ (Wiederherstellen und Zusammenführen) um 800 – Auflösen von Gleichungen lat. Übersetzung: ‚Algoritmi‘ (Algorithmus) Algebra später: Lehre vom Auflösen von Gleichungs- und Ungleichungssystemen Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

5. Moderne Algebra Beziehungen mathematischer Größen zu-einander – formale Behandlung Lineare Algebra: n-dimensionaler Vektor-raum und lineare Transformationen in ihm Algebra auch: mathematische Struktur mit bestimmten Eigenschaften  Menge der Matrizen und ihre Operationen sind eine Algebra Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

6. Matrizenalgebra Eine (m,n)-Matrix ist eine rechteckige Anordnung von m x n Elementen in m Zeilen und n Spalten. Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

7. Dimension einer Matrix Definiert durch Anzahl der Spalten und Zeilen quadratisch, wenn Anzahl der Spalten und Zeilen gleich rechteckig sonst (m,1)-Matrix: Spaltenvektor (1,n)-Matrix: Zeilenvektor (1,1)-Matrix: Skalar Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

8. Elemente der Matrix Können Variablen, Zahlen aus C (R, Z, N), Polynome, Matrizen etc. sein Angesprochen über den Index • Zeilenindex: Nummer der Zeile • Spaltenindex: Nummer der Spalte Index: Erst Zeile, dann Spalte angegeben Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

9. Gleichungssysteme mit Matrizen Gleichungssystem von vorher: Ax=b • KoeffizientenmatrixA • Unbekanntenvektor x • Konstantenvektor b Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

10. Schreibweise von Matrizen Runde und eckige Klammern erlaubt In der Lehrveranstaltung:Eckige Klammern für Matrizen mit Zahlen Blockweise auftretende Nullen oft weggelassen (Lesbarkeit) Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

11. Alter der Matrizenschreibweise Albrecht Dürer: ‚Die Melancholie‘ (1514) magisches Quadrat Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

12. Submatrizen Jeder Teilblock einer Matrix kann wieder als Matrix aufgefasst werden P, q, r, s sind Submatrizen Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

13. Spezialformen • Nullmatrix: Alle Elemente gleich Null • Diagonalmatrix: Nur Hauptdiagonale besetzt • Dreiecksmatrix: Dreieck besetzt • obere Dreiecksmatrix R oder U • untere Dreiecksmatrix L • Treppenform: nicht-quadratische Matrizen in Dreiecksform Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

14. Symmetrie • Symmetrische Matrix: quadratisch und • Schief-symmetrische Matrix: quadratisch und Elemente der Hauptdiagonale gleich Null Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

15. Gleichheit von Matrizen Zwei Matrizen sind gleich, wenn sie • vom gleichen Typ sind (die gleiche Dimension haben) und • alle Elemente gleich sind, also wenn gilt Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

16. Spur einer Matrix Nur für quadratische Matrizen Summe der Hauptdiagonal-Elemente abgekürzt mit ‚tr‘ (engl. ‚trace‘) Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

17. Minor Submatrix nach Streichen der i-ten Zeile und k-ten Spalte, auch Streichungsmatrix Kofaktor, oder auch algebraisches Komplement Determinante einer Matrix Nur für quadratische Matrizen Berechnet nach Entwicklungssatz von Laplace abgekürzt mit ‚det A‘ oder |A| Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

18. Regeln über Determinanten • Vertauschen zweier Zeilen (Spalten) wechselt das Vorzeichen • Addition (Subtraktion) eines Vielfachen einer Zeile (Spalte) zu einer anderen Zeile (Spalte) lässt die Determinante unverändert • Determinante einer Dreiecks- oder Diagonal-matrix ist das Produkt der Hauptdiagonal-Elemente • verschwindende Determinante: Sind zwei Zeilen (Spalten) gleich oder proportional, so wird det(A)=0 (die Determinante verschwindet) Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

19. Reguläre und singuläre Matrizen • Singuläre Matrix: Quadratische Matrix mit verschwindender Determinante – det(A)=0 • Reguläre Matrix: Quadratische Matrix, bei der die Determinante nicht verschwindet Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

20. + + + - - - Spezialfälle (2,2)-Matrix (3,3)-Matrix: Regel von Sarrus Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

21. Matrizenoperationen • Transposition • Addition/Subtraktion • Multiplikation mit einem Skalar • Multiplikation zweier Matrizen Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

22. Transposition Elemente wechseln ihre Position durch Vertauschen des Zeilen- und Spaltenindex Abgekürzt mit AT Spaltenvektor wird zu Zeilenvektor und umgekehrt Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

23. Symmetrie und Transposition • Symmetrische Matrix: • Schiefsymmetrische Matrix: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

24. Aufspaltung einer quadratischen Matrix Jede quadratische Matrix kann aufgespalten werden in eine symmetrische und eine schiefsymmetrische Matrix: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

25. Addition und Subtraktion Elementweises addieren/subtrahieren Addition ist assoziativ Addition ist kommutativ Addition hat Nullelement Transposition einer Summe Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

26. Multiplikation Matrix-Skalar Jedes Element wird mit dem Skalar multipliziert Es gilt: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

27. Matrizenmultiplikation Element an Position (i,j) ist Produkt aus Zeilenvektor ai und Spaltenvektor bj Potenzen nur für quadratische Matrizen möglich AB=0 bedeutet, dass mindestens eine Matrix singulär (nicht: Nullmatrix!) Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

28. Kroneckersymbol Eigenschaften der Multiplikation Assoziativ: (AB)C = A (BC) Neutrales Element ist Einheitsmatrix I (E) mit Multiplikation mit Einheitsmatrix ist kommutativ Sonst NICHT kommutativ (ABBA) Multiplikation ist distributiv: A(B+C)=AB+AC Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

29. Potenzieren von Matrizen Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

30. Skalarmultiplikation Mit Einheitsmatrix kann die Skalarmultiplikation in eine Matrizenmultiplikation rückgeführt werden: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

31. Transponieren von Produkten Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

32. p B D n n A C=AB C CD B BCD m A ABCD Falk‘sches Schema Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

33. Determinante und Spur von Matrizenprodukten • Determinante einer (n,n)-Matrix: • Spur einer Matrix: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

34. Gauß‘sche Transformation Produkt N ist quadratisch, symmetrisch Elemente nij von N: Skalarprodukt der Spalten i und j von A Diagonalelemente positiv (Quadrate!) Matrix positiv definit (bzw. semidefinit wenn auch Null in Hauptdiagonale) Auch für Produkte möglich: Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

35. Positiv definit Alle Subdeterminanten, die durch Streichung der letzten k Zeilen und Spalten entstehen (Minoren) sind 0 Hinweise auf positive definite Matrix: • Diagonalelemente positive reelle Zahlen • Jede Untermatrix ist positiv definit • Spur, Determinante und Minoren positiv • A+B positiv definit, wenn A und B positiv definit • Symmetrische Matrix mit positiven Eigenwerten ist positiv definit Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

36. Orthogonale Matrizen Quadratische Matrix Skalarprodukt aus beliebigen Spaltenvektoren (Zeilenvektoren) ist 0 oder 1  orthonormal Es gilt Determinante ist ±1 Determinante +1: eigentlich orthogonal Determinante -1: uneigentlich orthogonal Multiplikation orthogonaler Matrizen ist kommutativ Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

37. Inversion Inverse Matrix (Kehrmatrix) von A ist definiert über Matrix A quadratisch mit Determinante 0 Inverse ist eindeutig A*: Adjungierte Matrix zu A, transponierte Matrix der Kofaktoren von A Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

38. Inversion einer (2,2)-Matrix Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

39. Weitere Regeln orthogonale Matrizen A symmetrisch  A-1 symmetrisch A Diagonalmatrix  A-1 Diagonalmatrix mit Diagonalmatrix mit weiterer Zeile/Spalte besetzt Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

40. Submatrizen Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

41. Spezialfälle von Submatrizen Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

42. Neumann‘sche Reihe Matrizeninversion kann auch über Reihenentwicklung berechnet werden: Beweis: Von links mit (I+A) multiplizieren Konvergenz, wenn Ai bei wachsendem i gegen Nullmatrix strebt Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

43. Auflösen von Gleichungssystemen Gegeben: Ax=b Multiplikation von links mit A-1: A-1Ax= A-1b ergibt: (I)x= A-1b Voraussetzungen: Anzahl der Zeilen in A = Anz. Zeilen in b Anzahl der Spalten in A = Anz. Zeilen in x A invertierbar (quadratisch, Determinante  Null) Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

44. Auflösung wenn nicht quadratisch Gauß‘sche Transformation:Multiplikation von links mit AT:ATAx=ATbAuch: Normalgleichungen Jetzt quadratisch und symmetrisch, wenn regulär ist das System lösbar Abkürzung N=ATANormalgleichungsmatrix Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

45. Lineare Abhängigkeit • Vektorrechnung: Ein k-Tupel von Vektoren heißt linear abhängig wenn gilt mit (l1, …, ln) 0 • Matrizenrechnung: Lineare Abhängig-keiten zwischen Zeilenvektoren bzw. Spaltenvektoren Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

46. Rang Rang: Anzahl der linear unabhängigen Vektoren – rank(A) Zeilen- und Spaltenrang sind immer gleich Es gilt: rank(A)=rank(AT) Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

47. Rangdefekt Anzahl der linearen Abhängigkeiten: Rangdefizit oder Rangdefekt d rank(A)=n-d Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

48. Rang einer Matrix Maximaler Rang einer (n,n)-Matrix: nDann: d = 0 (voller Rang) und det(A) 0Also: Matrix invertierbar! Wenn d > 0, dann det(A)= 0 Maximaler Rang einer (n,m)-Matrix: min(n,m) Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

49. Rang bei Gleichungssystemen Gleichungssystem Ax=b (n,n)-Matrix A muss Rang nhaben Zusätzlich: rank(A)=rank(A,b) Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil

50. Bestimmung des Ranges (1) Gauß‘scher Algorithmus: Man bringt die Matrix auf Treppen-(Dreiecks-)Form Erlaubte elementare Umformungen: • Vertauschen von Zeilen/Spalten • Multiplizieren mit Skalar • Addieren einer mit einem Skalar multiplizierten Zeile/Spalte zu einer anderen Zeile/Spalte Ausgleichungsrechnung I Gerhard Navratil