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Mathematische Beschreibungen des menschlichen Lebens. Warum Mathematik + Mensch ? . Im 19. und frühen 20. Jahrhundert passierten enorme Fortschritte im Verständnis der Physik (Naturwissenschaft) – durch verstärkte Mathematisierung

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Presentation Transcript
warum mathematik mensch
Mathematik + MenschWarum Mathematik + Mensch ?
  • Im 19. und frühen 20. Jahrhundert passierten enorme Fortschritte im Verständnis der Physik (Naturwissenschaft) – durch verstärkte Mathematisierung
  • Im 20. und frühen 21. Jahrhundert passiert technischer Fortschritt und wachsender Lebensstandard - durch mathematische Modellierung und Simulation
  • Im 21. Jahrhundert stellt sich die nächste Herausforderung
  • - Mathematische Beschreibungen menschlichen Lebens
menschliches leben auf allen skalen
Mathematik + MenschMenschliches Leben auf allen Skalen
  • Mathematische Probleme stellen sich auf allen Skalen:
  • Molekulare / Subzellulare Prozesse
  • Physiologie / Zellulare Prozesse
  • Zellbewegung und -populationen
  • Prozesse auf Organebene
  • Untersuchungen auf Ganzkörperebene
  • Prozesse mit grosser Anzahl von Menschen(massen)
  • "Mathematics compares the most diverse phenomena and discovers the secret analogies that unite them." Jean Baptiste Joseph Fourier
beispiele aus meiner forschung
Mathematik + MenschBeispiele aus meiner Forschung
  • Simulation von Ionenkanälen
  • Simulation von Zellbewegung
  • Molekulare Bildgebung
  • Bildgebung auf grösseren Skalen
  • Simulation sozio-ökonomischer Prozesse
  • "Mathematics creates our standard of living." Bob Eisenberg
  • " Sozialkompetenz ist auch in der Mathematik eine ganz wichtige Eigenschaft." Wolfgang Lück (FOCUS, Jan 08)
mathematical imaging@wwu
Mathematik + MenschMathematical Imaging@WWU

Christoph Brune Marzena Franek Alex Sawatzky Frank Wübbeling Thomas Kösters Christina Stöcker

Claudia Giesbert Astrid Heitmann Mary Wolfram (Linz) Martin Benning Thomas Grosser

diplomanden 07 08
Mathematik + MenschDiplomanden 07/08

Tanja Mues Katharina Daniel Anna Weisweiler Melanie Schröter Bärbel Schlake Jahn Müller Martin Benning Steffi Sillekens

Oleg Reichmann Arvind Sarin Tobias Neugebauer Matthias Tillmann Jan Pietschmann Jan Hegemann Michael Möller

(Cambridge) (UCLA) (UCLA)

bildrekonstruktion und inverse probleme
Mathematik + MenschBildrekonstruktion und inverse Probleme
  • Inverse Probleme bestehen in der Rekonstruktion einer Ursache aus einer beobachteten Wirkung (über ein mathematisches Modell, das sie in Beziehung setzt)
  • Prototyp inverser Probleme: Medizinische Diagnose
  • Nicht-invasive Verfahren in der Medizin basieren immer auf indirekter Beobachtung
  • "The grand thing is to be able to reason backwards." Arthur Conan Doyle (A study in scarlet)
molekulare bildgebung pet
Mathematik + MenschMolekulare Bildgebung: PET
  • Bildgebung auf molekularer Ebene, funktional und quantitativ
  • Beispiel Positron-Emission-Tomography
  • Externe Messung basierend aufradioaktiven Zerfallsdaten
  • Zerfallsevents zufällig, aber Rate proportional zur Dichte
em algorithmus
Mathematik + MenschEM-Algorithmus
  • Stochastische Modellierung des Problems, Messungen aus Poisson-Modell
  • Bild u ist Dichtefunktion des Tracers
  • Linearer Operator K entspricht Radon-Transformation
  • Eventuell zu korrigierende Störungen / Messfehler b
  • Johann Radon
em algorithmus1
Mathematik + MenschEM-Algorithmus
  • Rekonstruktion als maximum-likelihood Schätzer
  • Modellierung der a-posteriori Wahrscheinlichkeit nach Bayes
em algorithmus als fixpunktiteration
Mathematik + MenschEM-Algorithmus als Fixpunktiteration
  • Kontinuierlicher Grenzwert für grosse Anzahl von Events(Stirling-Formel)Optimalitätsbedingung führt auf Fixpunktgleichung
pet rekonstruktion
Mathematik + MenschPET Rekonstruktion
  • Rekonstruktion bei guter Statistik (Kleintier PET)Thomas KöstersFrank Wübbeling
em algorithmus an der grenze
Mathematik + MenschEM-Algorithmus an der Grenze
  • Schlechtere Statistik = weniger Radioaktivität / schneller zerfallende Isotope Für Patienten verträglich/ für gewisse Untersuchungen besserAlex Sawatzky Thomas Kösters

~10.000 Events

~600 Events

vom bild zum cartoon
Mathematik + MenschVom Bild zum Cartoon
  • Wie können wir auch im Fall schlechter Daten vernünftige Rekonstruktionen erhalten ?
  • Anforderungen müssen adaptiert werden
  • Suche Methode, die nicht alle detaillierten Muster zu rekonstruieren versucht, sondern sich auf die wesentliche Struktur konzentriert: Cartoon-Rekonstruktion
das auge des betrachters
Mathematik + MenschDas Auge des Betrachters
  • Was sind vernünftig rekonstruierte Strukturen ?
  • Hauptanforderung: müssen für den (menschlichen) Betrachter sinnvolle Rückschlüsse zulassen
  • Übersetze Augenfunktion und Psyche in Mathematik
  • Scharfe Objektkanten sind viel wichtiger als Texturen
  • Morel et al, From Gestalt Theory to Image Analysis, Springer 2007Haddad-Meyer, UCLA CAM Report 2004
das auge des betrachters1
Mathematik + MenschDas Auge des Betrachters
  • Was sind vernünftig rekonstruierte Strukturen ? Was nimmt unser Auge /Hirn wahr ?
das auge des betrachters2
Mathematik + MenschDas Auge des Betrachters
  • Lokale Änderungen von Texturen ändern wenig
das auge des betrachters3
Mathematik + MenschDas Auge des Betrachters
  • Zusätzliche Strukturen ändern viel !
tv methoden
Mathematik + MenschTV-Methoden
  • Bestrafung der totalen VariationFormalExaktROF-Modell zum Entrauschen von g: minimiere totale Variation unter NebenbedingungRudin-Osher-Fatemi 89,92
warum tv methoden
Mathematik + MenschWarum TV-Methoden ?
  • Deswegen ! Linearer Filter TV-Methode
tv methoden und bayes

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Mathematik + Mensch

TV-Methoden und Bayes
  • Es existiert ein Lagrange Parameter, sodass ROF äquivalent ist zu
  • Erster Term aus log-likelihood für Gauss-Verteilung, zweiter als a-priori Wahrscheinlichkeit !
tv methoden und geometrie
Mathematik + MenschTV-Methoden und Geometrie
  • Verbindung zu Längen/Oberflächenminimierung durch coarea-Formel
  • Erster Term zerfällt in Volumsintegrale mit Gewichtung u-g
  • Lösung isoperimetrischer Probleme auf Level Sets ! Stan Osher
tv methoden und geometrie1

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Mathematik + Mensch

TV-Methoden und Geometrie
  • Optimalitätsbedingung
  • Duale Variable p hat geometrische Bedeutungq ist verallgemeinertes Normalenvektorfeld an Level Sets
  • p ist mittlere Krümmung
tv methoden1
Mathematik + MenschTV-Methoden
  • Analysis und Numerik von TV-Minimierung ist schwierig:
  • nichtdifferenzierbar
  • nicht strikt konvex
  • degenerierter Differentialoperator
  • keine starke Konvergenz
  • unstetige Lösungen
  • potentiell grosse Datenmengen (3D / 4D Imaging)
tv methoden2
Mathematik + MenschTV-Methoden
  • Fehlerabschätzungen brauchen eigenes Distanzmaß:
  • Verallgemeinerte Bregman-distancemb-Osher 04
  • p muss bei Diskretisierung richtig behandelt werden (primal-duale Methoden)
  • mb 08 DFG-Projekt Regularisierung mit Singulären Energien, 2008-2011
effiziente l ser
Mathematik + MenschEffiziente Löser
  • Parallele Methoden basierend auf Gebietszerlegung – Minimierung auf Teilgebieten mit passender RandkopplungJahn Müller
allgemeinere probleme
Mathematik + MenschAllgemeinere Probleme
  • Durch Anpassung des Datenfit-Terms (Bayes)
  • Gauss‘sche Entzerrung statt Gauss‘scher Entrauschung
  • (Verzerrung modelliert durch linearen Integraloperator K )
  • Poisson-Modell mit TV-Prior:
konstruktion numerischer verfahren
Mathematik + MenschKonstruktion numerischer Verfahren
  • Geeignete numerische Lösung durch 2-Schritt Verfahren
  • Klassischer EM-Teil im ersten SchrittTV-Minimierung im zweiten Schritt
600 events
Mathematik + Mensch~600 Events
  • Alex Sawatzky Thomas Kösters

EM

EM-TV

quantitative verfahren
Mathematik + MenschQuantitative Verfahren
  • Verbleibendes Problem: systematischer Fehler der TV-Methode
  • Variation wird zu stark reduziert, quantitative Werte können vor allem bei kleinen Strukturen stark abweichen
  • Probleme bei quantitativen Verfahren, z.B. Auswertung von physiologischen Parametern basierend auf PET-RekonstruktionenProjekt PM 6 im SFB 656 (mb/Klaus Schäfers)
rekonstruktion physiologischer parameter

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Mathematik + Mensch

Rekonstruktion physiologischer Parameter
  • Myokardiales Blutfluss-Modell in jedem Pixel.
  • Vereinfachtes Modell: Bestimmung der Perfusion F und des arteriellen Blutfluss CA aus Bildintensität u berechnet aus CTNichtlineares inverses Problem
  • Martin Benning
quantitative verfahren1

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Mathematik + Mensch

Quantitative Verfahren
  • Kontrastkorrektur durch iterative Regularisierung
  • Die prior probability zentriert bei null
  • Anpassung: sei das Minimum des Poisson-TV Modells Iterativer Algorithmus, EM-TV kann für jeden Schritt verwendet werden mb-Osher-Goldfarb-Xu-Yin 05, mb-Gilboa-Osher-Xu 06
nanoskopie sted 4pi
Mathematik + MenschNanoskopie – STED & 4Pi
  • Analoge Probleme in der optischen Nanoskopie:
  • Stimulated Emission Depletion (Stefan Hell, MPI Göttingen)BMBF Projekt „INVERS“, Göttingen(MPI+Univ)-Münster-Bochum-Bremen, Leica
nanoskopie sted 4pi1
Mathematik + MenschNanoskopie – STED & 4Pi
  • Ähnliches Modell der Bildformation, K ist FaltungsoperatorVerwendet u.a. zum Studium menschlicher Zellen
nano dekan
Mathematik + MenschNano-Dekan
  • Simulierte Bildformation→Christoph Brune
dekan cartoon
Mathematik + MenschDekan-Cartoon
  • Iterierte EM-TV Rekonstruktion
  • Christoph Brune
mathematische modelle kollektives verhalten
Mathematik + MenschMathematische Modelle: Kollektives Verhalten

Mathematische Modelle lassen sich für verschiedenste Aspekte des menschlichen Lebens herleiten, zB

  • Transport durch Ionenkanäle
  • Zellbewegung und –aggregation (Chemotaxis)
  • Verhalten von Menschenmengen bei Evakuierung
  • Verhalten von Händlern auf Finanzmärkten
  • ….
individuelle modelle

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Mathematik + Mensch

Individuelle Modelle

Mikroskopische Modelle (individual based) für den Zustand einzelner Teilchen (Position, Impuls) oder Menschen (Position, Meinung, …) können in Form stochastischer Differential-gleichungen gewonnen werden

Interaktion der TeilchenBerechnung der Interaktionskräfte aus weiteren Gleichungen

ionenkan le

Chemist’s View

All Atoms View

Chemical Bonds are lines

Surface is Electrical Potential

Red is positive

Blue is negative

Mathematik + Mensch

Ionenkanäle

Transport durch Zellmembrane passiert durch IonenkanäleIonenkanäle sind Proteinemit einem Loch in der MitteProteine erzeugen effektiveLadung im KanalBob Eisenberg

ionenkan le1
Mathematik + MenschIonenkanäle

Zustand ist Position der einzelnen Ionen im Kanal und umliegenden FlüssigkeitenInteraktion über elektrische (Coulomb) und chemische Kräfte

Externe Kräfte von Proteinen, analoge elektrische und chemische Kräfte

fussg ngersimulation
Mathematik + MenschFussgängersimulation

Beschrieben durch Newton‘sche Bewegungsgleichungen mit starker Dämpfung (hin zur typischen Gehgeschwindigkeit)

„Soziale Kräfte“(Helbing 93):

- Bevorzugte Geschwindigkeitsrichtung (zB zum Ausgang)

  • Externe abstossende Potentiale (Wände, Hindernisse)
  • Lokal abstossende Kraft zu anderen Fussgängern
fussg ngersimulation1
Mathematik + MenschFussgängersimulation

Simulation der Entleerung eines Raumes mit zwei Türen und

einem HindernisBärbel Schlake

finanzm rkte und meinungsbildung
Mathematik + MenschFinanzmärkte und Meinungsbildung

Händlerverhalten nach ähnlichem Muster

  • Externe Potentiale: Wirtschaftsdaten, DAX, Zinsniveau, ...
  • Interaktion: Anpassung an / Abgrenzung von Konkurrenz
  • Bsp: Preisbildung, Volatilitätsmodelle, Einschätzungen des Wirtschaftsklimas, Verteilung von Wohlstand … Lux et al, Helbing et al, Toscani et al, Lasry-Lions, Bianchi-Capasso-Morale, …Daniela Morale Vincenzo Capasso
pde modelle
Mathematik + MenschPDE-Modelle

Im Grenzwert einer grossen Anzahl von Inviduen Herleitung von Kontinuumsmodellen mit asymptotischen Methoden

  • Liouville (2Nd+1 Dimensionen) 
  • BBGKY-Hierarchie (2kd+1 Dimensionen)
  • Boltzmann/Vlasov Gleichungen (2d+1)
  • Mean-Field Fokker-Planck Gleichungen (d+1)
  • Ludwig Boltzmann
finanzm rkte und meinungsbildung1
Mathematik + MenschFinanzmärkte und Meinungsbildung

Analoge Modelle auch aus diskreten Sprungmodellen (random walks). Anwendung auf Finanzmarktdaten, Parameterschätzung

Lux et al 05,07Random Walk / Markov Prozess

  • [Mastergleichung (hochdimensional)]
  • Mastergleichung (niedrigdimensional)
  • Fokker-Planck Gleichung
  • Katharina Daniel
nichtlineare fokker planck gleichungen

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Mathematik + Mensch

Nichtlineare Fokker-Planck Gleichungen

Kanonische Form der Fokker-Planck Gleichung wobei für eine Entropie / Energie E

  • Degenerierte nichtlineare Diffusion, wenn D nicht strikt positiv ist und
  • Peter Markowich
nichtlineare fokker planck gleichungen1

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Mathematik + Mensch

Nichtlineare Fokker-Planck Gleichungen

Allgemeine Formulierung als metrischer GradientenflussBenötigen dafür Riemann‘sche Mannigfaltigkeit

Metrik definiert über optimalen Transport

Otto, Brenier, DeGiorgiAmbrosio-Gigli-Savare

nichtlineare fokker planck gleichungen2
Mathematik + MenschNichtlineare Fokker-Planck Gleichungen

Mathematische Herausforderungen:

  • Struktur der Metrik / Mannigfaltigkeit / Geodäten
  • Geodätische Konvexität der Entropie / EnergieVerstanden für D=1 (H - 1 Norm) und D=r (Wasserstein Metrik)
  • Allgemeinerer Fall und Systeme (noch) offen

Jan Pietschmann

optimaler transport
Mathematik + MenschOptimaler Transport

Weitere Arbeitsgebiete:

  • Robuste numerische Verfahren basierend auf opt. Transport
  • Anwendungen, Modellierung, Mikro-Makro Übergang

Mary Wolfram Jose Carrillo

optimaler transport1
Mathematik + MenschOptimaler Transport

Weitere Arbeitsgebiete:

  • Inverse Probleme: Bestimmung von unbekannten Termen aus Daten, zB Interaktionspotentiale, Ionenkanalstruktur
  • Optimales Design, zB Topologieoptimierung von Fluchtwegen
  • Optimaler Transport in (teilweise) unbekannter Umgebung

Heinz Engl Marzena Franek Richard Tsai