Mathematische Ansätze

1. Mathematische Ansätze Dynamisches Verhalten Mathematische Ansätze Rechenverfahren Mathematische Ansätze

2. Mathematische Ansätze Stoffunabhängige Gleichungen Materialgesetze Kompatibilität 15 Unbekannte: x y z xy xz yz x y z xy xz yz u v w Mathematische Ansätze

3. Mathematische Ansätze • stoffunabhängige Gleichgewichtsgleichungen • 6 kinematische Gleichgewichtsgleichungen • 6 Materialgleichungen Mathematische Ansätze

4. F F a b Stoffunabhängige Gleichungen Gleichgewichtsgleichungen Virtueller Schnitt Mathematische Ansätze

5. Stoffunabhängige Gleichungen F dFn dF dFt Gleichgewichtsgleichungen Normalspannungen =dFn/dA dA Spannungsvektor der resultierenden Schnittgrößen Sv=dF/dA Tangentialspannungen =dFt/dA Mathematische Ansätze

6. Stoffunabhängige Gleichungen z zy zx yz xz y xy yx x Gleichgewichts- gleichungen Mathematische Ansätze

7. Stoffunabhängige Gleichungen Gleichgewichtsgleichungen: x/x + yx/y + zx/z + X = 0 y/y + xy/x + zy/z + Y = 0 z/z + yz/y + xz/x + Z = 0 Mathematische Ansätze

8. Mathematische Ansätze Eliminiert man aus den 15 Gleichungen alle Spannungen so resultieren 3 partielle Differentialgleichungen für die unbekannten Verschiebungen: G [u + (1-2) –1 (/x)] +X = 0 G [v + (1-2) –1 (/y)] +Y = 0 G [w + (1-2) –1 (/z)] +Z = 0 (Navier) Mathematische Ansätze

9. Mathematische Ansätze In den Navier Gleichungen sind: u = 2u/x2+ 2u/y2 + 2u/z2 v = 2v/x2+ 2v/y2 + 2v/z2 w = 2w/x2+ 2w/y2 + 2w/z2 (Laplace) Mathematische Ansätze

10. Mathematische Ansätze Eliminiert man aus den 15 Gleichungen die Verschiebungen und deren Ableitungen so resultieren 3 partielle Differentialgleichungen für die unbekannten Spannungen: x+(1+)–1(2/x2)+2X/x+(1-)–1(X/x +Y/y +Z/z) = 0 y+(1+)–1(2/y2)+2Y/y+(1-)–1(X/x +Y/y +Z/z) = 0 z+(1+)–1(2/z2)+2Z/z+(1-)–1(X/x +Y/y +Z/z) = 0 (Beltrami) Mathematische Ansätze

11. Mathematische Ansätze xy+(1+)–1 (2/xy) + X/y + Y/x = 0 xz+(1+)–1 (2/xz) + X/z + Z/x = 0 yz+(1+)–1 (2/yz) + Y/z + Z/y = 0 (Beltrami) Mathematische Ansätze

12. Mathematische Ansätze In den Beltrami-Gleichungen sind: x= 2x/x2+ 2x/y2 + 2x/z2 y= 2y/x2+2y/y2 + 2y/z2 z = 2z/x2+ 2z/y2 +2z/z2 Die Lösung der DGL (Navier + Beltrami) gelingt nur in seltenen Fällen bei einfacher Geometrie und einfacher Belastung Mathematische Ansätze

13. Stoffunabhängige Gleichungen S-  ü= 0 Spannungstensor Bechleunigungsvektor Mathematische Ansätze

14. Stoffunabhängige Gleichungen • Tensordarstellung: • x xy xz • S = yx y yz • zx zy z Gleichgewichtsgleichungen: Sx= xex + yxey+ xzez Sy= yxex + yey + yzez Sz= zxex + zyez+ zez SSpannungstensor Mathematische Ansätze

15. Mathematische Ansätze 3 Stoffunabhängige Gleichungen 6 Materialgleichungen 6 Kompatibilitätsgleichungen 15 Unbekannte: x y z xy xz yz x y z xy xz yz u v w Mathematische Ansätze

16. Kompatibilitäts- bedingung: Benachbarte materielle Teile werden nach Belastung weder auseinanderklaffen noch sich durchdringen Mathematische Ansätze Die Verschiebungsvektoren und deren Komponenten sind stetige Funktionen Mathematische Ansätze

17. Kompatibilitäts- bedingung: Benachbarte materielle Teile werden nach Belastung weder auseinanderklaffen noch sich durchdringen Mathematische Ansätze u=u(x,y,z,t)=ux(x,y,z,t)ex+uy(x,y,z,t)ey+uz(x,y,z,t)ez Mathematische Ansätze

18. u(x+dx,y,dy,z) D u(x,y+dy,z) u(x+dx,y,z) A A1 B1 u(x,y,z) Mathematische Ansätze C B ux(x+dx,y,z)=ux(x,y,z)+(ux(x,y,z)/ x)dx Mathematische Ansätze

19. Kinematisches Gleichgewicht x = u/x u v w y = v/y z = w/z xy = v/x + u/y xz = w/x + u/z yz = w/x + v/z Mathematische Ansätze

20. Kompatibilitäts- bedingung: iklm= 0 Mathematische Ansätze Riemann Tensor 4. Stufe Mathematische Ansätze

21. Stoffgesetze: 1-starres Material 2-linear-elastisch 3-nichtlinear-elast. 4-linear-elastisch-ideal- plastisch 5-starr-plastisch 6-viskoses Material: Kriechen 7-viskoses Material: Relaxieren Mathematische Ansätze σ 5 4 3 2 1 6 7 ε Mathematische Ansätze

22. Stoffgesetze: Mathematische Ansätze Verzerrungstensor Verzerrungsgeschwindigkeit Spannungstensor Spannungsgeschwindigkeit Mathematische Ansätze

23. Elastisches Materialverhalten Stoffe ohne Gedächtnis Mathematische Ansätze Verzerrungstensor Spannungstensor Mathematische Ansätze

24. plastisches Materialverhalten Stoffe mit permanentem Gedächtnis Mathematische Ansätze Verzerrungsgeschwindigkeit Spannungsgeschwindigkeit Mathematische Ansätze

25. viskoses Materialverhalten Stoffe mit schwindendem Gedächtnis Mathematische Ansätze Verzerrungsgeschwindigkeit Spannungstensor Mathematische Ansätze

26. 3. Schwingkopf 1. Kopf für Zellsuspension 2. Hülse 4. Sockel M6 5. Zylinderschraube 6. Beschleunigungssensor Mathematische Ansätze

27. 3. Schwingkopf • Gesamtansicht Mathematische Ansätze

28. 3. Schwingkopf • FEM - Simulation Mathematische Ansätze

29. 3. Schwingkopf • FEM - Analyse Mathematische Ansätze

30. Mathematische Ansätze Näherungsverfahren: Diskretisieren des Zellen und der Zellstrukturen des Materialverhaltens der Belastungsfunktionen der Zeit, direkte Zeitintegration Mathematische Ansätze