Theoretical Analysis of Beta Decay: Fermi and Michel Parameters

1. Michel-Parameter im µ-Zerfall von Babak Alikhani am 25.01.05

2. Der -Zerfall 1.1.Fermi-Theorie 1.2.Theoretische Beschreibung des Zerfalls • -Zerfall • µ-Zerfall 3.1. Die Form der Spektren 3.2.Michel-Parameter 

3. Der -Zerfall 1.1.Fermi-Theorie Beta-Zerfall Wahrscheinlichkeit für die Emission eines Elektrons bei einem bestimmten Impuls p pro Zeiteinheit i: Anfangszustand f: Endzustand E0: Gesamtenergie vom Elektron und Neutrino

4. fHi = Hfi ist das Matrixelement der schwachen Wechselwirkung. • Form des Beta-Spektrums = Energie- oder Impuls-Spektrum des Elektrons

5. |Hfi|² enthält auf jeden Fall: • Die Wahrscheinlichkeit, Elektron und Antineutrino bei ihrer Entstehung am Kernort vorzufinden, also |e(0)|²|(0)|² • Die Übergangswahrscheinlichkeit zwischen den beiden Kernzuständen M = f||i • Einen Faktor g, der die Stärke der - Wechselwirkung beschreibt

6. Anwendung der Näherungen liefern: |Hfi|² = g²M² • Es gibt zwei Kernmatrix-Elemente MF und MGT mit verschiedenen Stärken, also: |Hfi|² = gV²MF² + gA²MGT² wobei • MF: Fermi-Matrixelement, bei dem kein Umklappen des Spins auftritt; e und e in einem Singulettzustand

7. MGT:Gamow-Teller-Matrixelement, bei dem das Spin um eine Einheit ändert; e und e in einem Singulettzustand • Beim Zerfall des freien Neutrons gilt:

8. 1.2.Theoretische Beschreibung des -Zerfalls • Relativistische Teilchen mit Spin ½ Dirac-Gl.

9. Operatoren: 44-Matrizen, • Lösungen: vierkomponentige Wellenfunktionen (Spinor) für relativistische Spin ½ -Teilchen • Hier: negative Energien möglich; neben (+E) auch (E) eine Lösung • Teilchen mit negativer Energie  Antiteilchen mit positiver Energie

10. Zurück zum -Zerfall Feynman-Diagramm zum -Zerfall

11. Wechselwirkung-Mechanismus unbekannt • Gesuchte WW muss alle vier Teilchen miteinander verbinden. • Fermi (1933): Annahme eines WW-Mechanismus analog zur em. WW. • WW-Energie bei em. WW:

12. Entsprechend für die schwache WW: Einführung der Vektorgrößen für Dirac-Teilchen mit einer neuen Kopplungskonstante gV, Vektorkopplung • In QED: entspricht im Quantenbild Austausch eines virtuellen Vektorboson, des –Quants.

13. Analog: Austausch eines Vektorbosons bei schwacher WW • Unterschied: Austauschteilchen besitzt Masse und Ladung, da der Reichweite der WW sehr kurz ist. (Unschärfe-Relation: ) • 1983 beim CERN: Erzeugung des seit langem postulierten W-Boson mW-Boson = 80 GeV/C2

14. Ansatz der Hamilton-Funktion der schwachen WW: • Struktur der QM  linear • Kurze Reichweite der WW  Punktwechselwirkung •  • Einfachster Ansatz: bilineare Größe der Form: mit geeigneten Dirac-Operatoren 

15. Welche  kommen überhaupt in Frage? • 16 linear unabhängige 44DiracMatrizen • nicht unbedingt gleiche Operatoren in • 16² = 256 mathematisch mögliche Bilinearformen • Einschränkung durch Lorentz-Invarianz  bilineare Ausdrücke echte Skalar • Nur 5 Möglichkeiten; gleiche Operatoren in

16. Was bedeutet Skalar, Pseudoskalar, usw.? • Verhalten unter Raumspieglung, d.h.:

17. Hamilton-Operator für Neutronenzerfall:

18. Kurzer Einschub: • Experimente in der schwachen WW (Goldhaber-Exp.,...)

19. Welche WW kommen beim –Zerfall vor? nicht erlaubt erlaubt

20. In der Tat tragen nur zwei Termen bei: V und A (Erinnerung: |Hfi|² = gV²MF² + gA²MGT² ) • V ist bereits von Fermi vorgeschlagene Vektorkopplung. • WICHTIG: Helizität() = 1  Neutrinos werden immer mit einer Spinrichtung relativ zu ihrem Impuls emittiert (antiparallel).  zusätzlicher Operator auf Neutrinowellenfunktion im Hamilton-Operator

21. Dirac-Theorie: der zusätzliche Operator ist der Projektionsoperator:  = 1 + 5 • Damit lautet der Hamilton-Operator:

22.  (V  A)-Wechselwirkung

23. 2. -Zerfall • 1947: Entdeckung des Pions • Spin= 1  Boson • 3 Arten von 

24. Zerfall des Pions • Drehimpulserhaltung  2 Körper-Zerfall, da Spin() = 0 und Spin() = ½  Emission von  mit Spin() = ½ • Der Zerfall passt im theoretischen Rahmen des Zerfalls, obwohl hier 2 Fermionen statt 4 Fermionen, da Pionen aus 2 Quarks (Spin½)

25. Mit theoretische Näherungen und Anwendung von -Zerfall ergibt sich: • richtige Größenordnung

26. Man erwartet den Zerfall: • ABER: dieser Prozess gegenüber dem Prozess stark unterdrückt, Verhältnis: • WARUM?

27.  in Ruhe, Impulserhaltungssatz  e und e fliegen in entgegengesetzte Richtungen. • Spin () = 0, Drehimpulserhaltung  Spin(e) antiparallel zu Spin(e) • Positron und Neutrino haben gleiche Helizität. • 2 Möglichkeiten a b

28. Falsch, da Helizität des Neutrinos = -1, in der Abb. H(e) = +1 • Richtige Helizität des , Helizität des Positrons = -1

29. Aber die Häufigkeit, mit der Positron mit h = -1 emittiert wird, ist proportional zu • Positron ein relativistisches Teilchen  vPositron c  Häufigkeit << 1 Unterdrückung des Prozesses • Analog für :

30. die Häufigkeit, mit der  mit h = -1 emittiert wird, ist proportional zu • me << m  v < vPositron  häufiger findet statt

31. 3.-Zerfall • : Lepton, Spin ½  Fermion;    2,2 s •  -Zerfall

32. 3 Körper-Zerfall  kontinuierliches Spektrum von Positron • EnergiePositron 0,Emax=52,8MeV mit Emax = ½ m • Ee = 0, wenn die beiden Neutrinos in entgegengesetzte Richtungen fliegen. • Ee = Emax, wenn die beiden Neutrinos in gleiche Richtung fliegen und das Positron in die andere Richtung.

33. Zerfall besonders interessant, da: • 4 Fermionen, 4 Leptonen, nur schwache WW. • Untersuchung der schwachen WW ohne Einfluss von QCD-Effekten • Physik durch Standardmodell oft vorhersagbar, aber: Suche nach Abweichungen von (VA)-WW, wie V (1  )A • Daher Zerfall gut geeignet, um die Abweichungen zu ermitteln • e-Energiespektrum i.a. enthält V,A,S,P,T

34. 3.1.Die Form der Spektren • Situation ähnlich wie beim –Zerfall • Spektren von müssen ähnlich dem Spektrum des Elektrons beim –Zerfall sein, also:

35. Aber sie sehen so aus:

36. Woran liegt das? • Warum verschwindet die Zählrate von e an der max. Energie? • Der Grund liegt an der Drehimpulserhaltung!!!

37. Spin() = ½  Gesamtspin der Produkte = ³/2 • In den anderen Fälle gilt: Spin() = ½  Gesamtspin der Produkte = ½

38. 3.2.Michel-Parameter • Das Spektrum des emittierten Positrons : Michel-Parameter

39. Form des Spektrums für verschiedene -Werte

40. Für die (VA)-Wechselwirkung gilt: theor. = ¾ • Durch Experiment ist der Wert für  glänzend bestätigt worden. exp. = 0,752  0,003

41. Zusammenfassung • Zerfall, theoretische Beschreibung • Dirac-Gl., Matrizen und ihre Eigenschaften • Strom-Strom Kopplung • S,P,V,A und T Operatoren • Helizität der Leptonen und Antileptonen • Zerfall, Unterdrückung des Prozesses gegen • -Zerfall, Spektren von  und ´s,