Dane INFORMACYJNE (do uzupełnienia)

2. Nazwa szkoły: • ZESPÓŁ SZKÓŁ MIEJSKICH NR 1 W WAŁCZU • ID grupy: 98/82 MF G2 • Opiekun: MARTA KAŁAMAJA • Kompetencja: • MATEMATYCZNO - FIZYCZNE • Temat projektowy: • W ŚWIECIE LICZB • Semestr/rok szkolny: • SEMESTR II 2010/2011 Dane INFORMACYJNE (do uzupełnienia)

3. 98/82_mf_g2 W ŚWIECIE LICZB

4. Co jest najmądrzejsze? Liczba.Co jest najpiękniejsze? Harmonia.Czym jest cały świat? Liczbą i harmonią.

5. POCZĄTKI LICZENIA Jak liczyli ludzie pierwotni? Dokładnie nie wiemy, ale przypuszczamy, że tak: "jeden, dwa, dużo". Zdarza się jeszcze gdzieniegdzie w naszych czasach, że niektóre "prymitywne" plemiona w ten sposób oceniają ilość posiadanych elementów. Podobnie, małe dziecko potrafi w pierwszej połowie drugiego roku życia rozróżnić jeden, dwa i "więcej" przedmiotów. (A pamiętajmy o tym, że różne etapy rozwoju ludzkości mają swe odbicie w rozwoju małego człowieka.)Przychodzi jednak taki moment w naturalnym rozwoju (pojedynczego człowieka, ludzkości), kiedy dobrze jest umieć odróżnić dwa elementy od trzech, trzy od czterech, itd. Czyli pojawia się potrzeba liczenia, nie tylko do dwóch. HISTORIA LICZBY

6. Wyobraźmy sobie pasterza pilnującego stada, który chce ocenić, czy wszystkie owce wróciły do zagrody. Pomyślmy o małym Jasiu, który chce sprawdzić, czy przypadkiem Krzyś nie dostał więcej cukierków niż on.I tak w naszym umyśle pojawiają się wyobrażenia kolejnych liczb naturalnych. Zwróćmy uwagę na to, że takie pierwotne liczenie polega na kojarzeniu elementów dwóch zbiorów w pary:"Jeden cukierek dla Jasia - jeden cukierek dla Krzysia;drugi cukierek dla Jasia - drugi cukierek dla Krzysia", itd.Albo: "Do zagrody wróciło tyle owiec, ile było karbów na kiju pasterza."Mówimy tu o aspekcie kardynalnym liczby naturalnej.W tym ujęciu, jak najbardziej na miejscu będzie zaliczyć zero do liczb naturalnych."Zero - liczba cukierków na talerzu Jasia - łakomczucha."Wydaje się jednak, że pierwotni ludzie nie musieli się zastanawiać nad problemem zera (Kto snułby rozważania o owcach, których nie ma?). Tak samo, nikt z naszych przodków nie myślał zapewne nad tym, że zbiór liczb naturalnych jest nieskończony. To, że my go tak postrzegamy, jest wynikiem naszych coraz doskonalszych zdolności abstrakcyjnego myślenia i rozumowania opartego na rekurencji.

8. Przecież "widać", że ten proces można przedłużać w nieskończoność. Wróćmy jednak do początkowych liczb naturalnych: Jeden, dwa, trzy,...Zauważono (spróbuj sam przeprowadzić taki eksperyment), że człowiek ma zdolność rozróżniania "jednym spojrzeniem" do czterech elementów. Nad zbiorami 5, 6, 7-elementowymi trzeba się już dłużej zastanowić i przeliczyć je. Taką zdolność "odczuwania" liczby nie większej niż cztery posiadają nawet niektóre zwierzęta.

9. „W PIGUŁCE”

11. Proste! Dlatego, że mamy dziesięć palców u rąk. Najlepiej przecież kojarzyć elementy przeliczanego zbioru z palcami naszych rąk.Problem pojawia się wtedy, kiedy przeliczanych elementów jest więcej niż dziesięć. Pomysły na przeliczenie takich "dużych" zbiorów poszły w dwóch kierunkach.Jedni włączyli palce u nogi, oczy, uszy, nos, itd. Można w ten sposób dojść do 41, a jak się uprzeć, to nawet i dalej. Możliwości są jednak, jakby nie było - ograniczone.Drugi sposób polega na tym, by dziesiątki łączyć w dziesiątki dziesiątek, czyli setki; te zaś w dziesiątki setek czyli tysiące, itd.Co dostajemy? System dziesiętny. Liczba "dziesięć" pełni w nim rolę bazy. Dlaczego system dziesiętny?

12. W historii pojawiały się jeszcze inne systemy: dwudziestkowy- stosowany przez Majów i Azteków; obecnie używany jeszcze w niektórych plemionach afrykańskich a także u Eskimosów, dwunastkowy- szczególnie popularny u Sumerów, a później Asyro-Babilończyków; bazą jest 12, czyli tuzin, sześdziesiątkowy- bazy 60 używali Babilończycy; obecnie spotykamy się z tym systemem liczenia na Półwyspie Indochińskim. Jeśli kobieta na targu chce Ci sprzedać "kopę" jaj, to nie wyobrażaj sobie jakieś sterty (raczej niewykonalne). Kopa, to pięć tuzinów, czyli 60. W dobie komputerów, coraz większego znaczenia nabiera system dwójkowy, czyli binarny.

13. Powstanie znaków liczbowych. Pierwsze znaki liczbowe, to karby na kawałku drewna, nacięcia na skale. Były prostymi pionowymi kreskami: Taki zapis zaczyna być mało przejrzysty. Dość szybko to zauważono. Pojawiły się udoskonalenia.

14. Kreski zaczęto grupować. Oto kilka przykładów zmodyfikowanych zapisów

15. Szczególnie oryginalne, wydają się nam znaki Majów. Liczby symbolizowane są przez głowy ze zmiennymi elementami pozycyjnymi. Matematyka Majów służyła głównie do mierzenia czasu i precyzyjnego ustalania dat. (Kultura Majów osiągnęła niezwykle wysoki poziom wiedzy astronomicznej!). Głowy oznaczały poszczególne jednostki czasowe. Podstawową jednostką był jeden dzień. Warto odnotować, że Majowie stosowali zero, podczas gdy Europa długo czekała na wprowadzenie tego znaku.

16. Mówimy o przeróżnych zapisach cyfrowych, ale skąd wzięły się cyfry stosowane współcześnie? Nazywamy je cyframi arabskimi, więc pewnie wymyślili je Arabowie... Niezupełne. Tak naprawdę, to cyfry te, pierwsi zaczęli stosować Hindusi. Matematyka arabska w dużej mierze bazowała na osiągnięciach kultur krajów podbitych (był to wiek VII i VIII - czasy wielkiej ekspansji islamu). W X wieku cyfry indyjskie dotarły wraz z Arabami do Europy, ale od początku Europejczycy nazywali je arabskimi. I tak już zostało.

17. LICZBY FIBONACCIEGO, LICZBA ZŁOTA Spośród wszystkich ciągów liczbowych, które występują, jeden jest szczególnie interesujący. Ciąg ten zawdzięcza swoją nazwę matematykowi z Pizy, Leonardowi, który pod nazwiskiem Fibonacci wydał w 1202 roku słynną księgę Liber Abaci. Liczby naturalne tworzące ciąg o takiej własności, że kolejny wyraz (z wyjątkiem dwóch pierwszych) jest sumą dwóch poprzednich nazywa się liczbami Fibonacciego i pojawiają się w tak wielu sytuacjach, że wydaje się to niemożliwe. LICZBY WYSTĘPUJĄCE W PRZYRODZIE

18. W wyniku podzielenia każdej z liczb ciągu przez jej poprzednik otrzymuje się iloraz oscylujący wokół 1,618 - liczby złotego podziału. W miarę zwiększania się liczb zmniejszają się odchylenia od tej wartości. Dokładna wartość granicy jest złotą liczbą: Φ = 5 + 1 2 = 1,6180339887498948482... Liczby Fibonacciego można wyznaczyć ze wzoru:Fn+1=n0+n-11+n-22+...Liczby Fibonacciego są więc sumami liczb z przekątnych w trójkącie Pascala.

19. Matematycy i naukowcy odkryli, że ciąg Fibonacciego można odnaleźć w wielu aspektach przyrody. Taki ciąg liczbowy opisuje liczbę pędów rośliny jednostajnie przyrastającej w latach. W słoneczniku możemy zaobserwować dwa układy linii spiralnych, wychodzących ze środka. Liczba linii rozwijających się zgodnie z ruchem wskazówek zegara wynosi 55 i tylko 34 skręconych w przeciwną stronę. Takie same spirale można zaobserwować na wielu innych roślinach, takich jak kalafior, ananas czy szyszki. Liczby spiral występujących w tych roślinach są kolejnymi liczbami Fibonacciego

20. Złotymi proporcjami wyznaczonymi na podstawie ciągu Fibonacciego posługiwał się w swoim malarstwie Leonardo da Vinci i Botticelli. W XX wieku ciąg Fibonacciego stosowany był także przez niektórych kompozytorów do proporcjonalnego porządkowania rytmu lub harmonii. Na ciągu Fibonacciego zbudowane jest między innymi Trio klarnetowe Krzysztofa Meyera.Złote proporcje wykorzystano także podczas wznoszenia piramidy Cheopsa w Gizie i Partenonu w Grecji.

21. LICZBY OLBRZYMY

22. Następnie sporządził odlew okrągłego morza o średnicy dziesięciu łokci, o wysokości 5 łokci i o obwodzie 30 łokci. Biblia Tysiąclecia π≈3,141592653589793238462643383279502884197169... Liczba Pi

23. Już w czasach zamierzchłych starożytni rachmistrze zauważyli, że wszystkie koła mają ze sobą coś wspólnego, że ich średnica i obwód pozostają wobec siebie w takim samym stosunku, a liczba ta bliska jest 3. W Starym Testamencie obwód był właśnie trzykrotnością średnicy, a w jednym z najstarszych tekstów matematycznych - papirusie Rhinda (XVII w. p. n. e.) wartość ta była przedstawiana jako (169)2≈3,160493... W III wieku przed Chrystusem,

24. Archimedes zaproponował ciąg oszacowań. Wcisnął ten stosunek między dwa ułamki. Pisał tak: W każdym kole długość obwodu jest większa niż trzykrotna długość średnicy o mniej niż jedną siódmą, ale więcej niż dziesięć siedemdziesiątych pierwszych. Poszukiwana liczba według Archimedesa zawarta jest między 3+1071 i 3+17. Doszedł do tego obliczając pola zawarte w wielokątach foremnych o 96 bokach.

25. Liczba π to stosunek długości okręgu do długości jego średnicy, jest wielkością stałą i wynosi w przybliżeniu 3,1415... Ale dlaczego w przybliżeniu? Dziś jesteśmy w stanie obliczyć wartość pi do milionów miejsc po przecinku. Liczba pi jest więc liczbą niewymierną, taką której rozwinięcie dziesiętne zachowuje się "byle jak", nie ma w nim żadnego porządku i nigdy się nie kończy. Czym jest π?

26. Używany dzisiaj symbol π wprowadzony został dopiero w 1706 roku przez Wiliama Jonesa. Swą nazwę zawdzięcza pierwszej literze greckiego słowa "peryferia „. Liczba ta nazywana jest również ludolfiną od imienia niemieckiego matematyka Ludolpha van Ceulena, który wraz z żoną na początku XVII w. podał jej przybliżenie z dokładnością 35 miejsc po przecinku, co w tamtych czasach było ogromnym wyczynem.

27. Babilończycy (ok. 2000 r. p.n.e.): π≈3Egipcjanie (ok. 2000 r. p.n.e.): π≈(169)2≈3,160493...Archimedes (III w. p.n.e.): π≈ 22 7 ≈ 3,14 Chiński matematyk Chang Hing (I w. n. e.): 14245≈3,1555...Klaudiusz Ptolomeusz (II w. n.e.): π≈3+860+3360≈3,1416hinduski matematyk Ariabhata (V w. n.e.): π≈6283220000=3,1416hinduski matematyk Brahmagupta (VII w. n.e.): π≈10≈3,162...hinduski matematyk Bhasakara (VII w. n.e.): π≈754240=3,1416666... Wzory na π

28. włoski matematyk Leonardo Fibonacci (XIII w.): π≈864275≈3,1415929holenderski matematyk Piotr Metius (XVI w.): π≈355113≈3,1415929francuski matematyk Francois Viete (XVI w.): π2=22·2+22·2+2+22·...angielski matematyk John Wallis (XVII w.): π2=2·2·4·4·6·6·...3·3·5·5·7·7·...niemiecki matematyk Gottfried Wilhelm Leibniz (XVII w.): π4=1-13+15-17+19+...szwajcarski matematyk Leonhard Euler (XVIII w.): π26=1+122+132+142+152+...

29. W piramidzie Cheopsa stosunek sumy dwóch boków podstawy do wysokości wynosi 3,1416, czyli przybliżenie pi z dokładnością do czterech miejsc po przecinku! Dziś nie można stwierdzić czy był to zadziwiający przypadek, czy wynik geniuszu nieznanych nam z imienia uczonych. Ciekawostki

30. Uczeni szukając kontaktu z cywilizacjami pozaziemskimi, wysłali w kosmos drogą radiową informację o wartości liczby π. Wierzą, że inteligentne istoty spoza Ziemi znają tę liczbę i rozpoznają nasz komunikat.

31. Liczby pierwsze to liczby naturalne, które posiadają dokładnie dwa dzielniki (liczbę 1 i samą siebie). Oto kilka początkowych liczb pierwszych: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 ... Liczby pierwsze

32. Liczb pierwszych jest nieskończenie wiele. Pierwszy nieskończoności liczb pierwszych dowiódł Euklides, który tak oto pisał: Jest więcej liczb pierwszych, niż każda dana liczba liczb pierwszych. Ile jest liczb pierwszych?

33. Przypuśćmy, że p 1 = 2 < p 2 = 3 < ... < p, r są wszystkimi liczbami pierwszymi. Przyjmijmy P = p1 p2 ... pr + 1 i niech p będzie dzielnikiem pierwszym liczby P; wtedy p nie może być żadną z liczb p1, p2 , ... , pr gdyż w przeciwnym razie dzieliłaby ona różnicę P - p1, p2 ... pr = 1, co jest niemożliwe. Zatem ta liczba pierwsza p jest jeszcze jedną liczbą pierwszą, czyli p1, p2,..., pr nie są wszystkimi liczbami pierwszymi. Dowód Euklidesa

34. Problemem liczb pierwszych zajmowali się matematycy od bardzo dawna. Jednym z pierwszych był matematyk grecki Eratostenes z Cyreny, żyjący w III wieku przed Chrystusem. Wymyślona przez niego metoda wyznaczania wszystkich liczb pierwszych nie większych od zadanej liczby nosi do dziś nazwę sita Eratostenesa. Sito Eratostenesa

35. Aby sprawdzić, czy liczba naturalna n jest liczbą pierwszą, należy dzielić ją przez każdą taką liczbę k, gdzie k2 ≤ n. Sposób ten nie jest najefektywniejszą metodą wyszukiwania liczb pierwszych, gdyż trzeba wykonać dużą ilość czasochłonnych dzieleń, tym większą, im większą wartość ma badana liczba. Aby sprawdzić, czy liczba naturalna n jest liczbą pierwszą, należy dzielić ją przez każdą taką liczbę k, gdzie k2 ≤ n. Sposób ten nie jest najefektywniejszą metodą wyszukiwania liczb pierwszych, gdyż trzeba wykonać dużą ilość czasochłonnych dzieleń, tym większą, im większą wartość ma badana liczba.

36. Skoro łatwiej jest mnożyć niż dzielić, Eratostenes zamiast sprawdzać podzielność kolejnych liczb naturalnych, zaproponował usuwanie ze zbioru liczb naturalnych wielokrotności kolejnych liczb, które nie zostały wcześniej usunięte. Sprawdźmy to na przykładzie dla n = 100.Należy postępować następująco: wypisać wszystkie liczby do 100; wykreślić wszystkie wielokrotności liczby 2; w każdym następnym kroku należy wykreślić wszystkie wielokrotności najmniejszej kolejnej nie wykreślonej liczby p, które są większe od p. Wystarczy to zrobić dla takich p, że p2 ≤ 100. Tak więc wszystkie wielokrotności liczb 2, 3, 5, 7 ≤ 100 zostały odsiane. Liczby, które nie zostały wykreślone są liczbami pierwszymi.

37. Wobec zwiększającego się dostępu do środków łączności oraz potrzeby przesyłania różnych informacji powstała potrzeba opracowania metod szyfrowania, które zabezpieczałyby te informacje. Początkowo przesyłane szyfrowane informacje udawało się przeczytać łamiąc szyfr, który utrzymywany był w tajemnicy. W kryptografii nastąpił wielki postęp, gdy zaczęto używać systemów szyfrujących z kluczem publicznym. System taki cechuje prostota i jest niezwykle trudny do złamania. Pomysł podali w 1976 roku W. Diffie i M.E. Hellman, a zaimplementowany efektywnie został w 1978 r. przez Ronalda Rivesta, Adi Shamira i Leonarda Adlemana, stąd system ten nazywa się systemem RSA. Kryptografia a liczby pierwsze

38. Każdy użytkownik tego systemu kryptograficznego podaje do publicznej wiadomości swój klucz, który jest parą liczb naturalnych (n, k). Pierwsza z liczb jest iloczynem dwóch dowolnych liczb pierwszych p, q, (n = pq), które zachowuje się w tajemnicy. Ponadto liczba k musi być liczbą względnie pierwszą z p-1 i q-1.

39. Największa znana dziś liczba pierwsza została odkryta w lipcu 2001 roku przez Michaela Camerona i George'a Woltmana ma postać 213466917 – 1 Ma ona aż 4 miliony 53 tysiące 946 cyfr.

40. Wielkie liczby pierwsze służą do testowania mocy obliczeniowej superkomputerów. Bez nich również nie moglibyśmy skutecznie szyfrować informacji, bo klucze najlepszych szyfrów oparte są na liczbach pierwszych. Są także bardzo użyteczne przy konstruowaniu kodów korekcyjnych do wyszukiwania błędów w przekazie obrazów i danych (satelity, sondy kosmiczne...) oraz w czytnikach CD wysokiej jakości

41. Świat liczb pierwszych do dziś stanowi tajemnicę dla matematyków. Są wielocyfrowe liczby pierwsze, które składają się z samych jedynek, np. 23-cyfrowa liczba 11 111 111 111 111 111 111 111. Niektóre liczby pierwsze zapisane są kolejnymi cyframi. Liczbą pierwszą jest każda z liczb 23, 67, 89, 789, 456, 23456789, 1234567891. Niektóre liczby pierwsze to palindromy, np. 11, 757, 111181111. Wśród liczb pierwszych są liczby lustrzane, np. 13 i 31, 37 i 73, 79 i 97, 113 i 311.

42. W XVIII wieku Christian Goldbach dostrzegł, iż w każdym przypadku, który wypróbował, dowolna liczba parzysta większa od 4 może być przedstawiona jako suma dwóch liczb pierwszych. Na przykład 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 5 + 3, 48 = 29 + 19, 100 = 97 + 3 itd.

43. Liczby kwadratowe są szczególnymi przypadkami liczb wielokątnych. Liczba kwadratowa wyraża ilość pewnych jednostek, za pomocą których możemy "wypełnić kwadrat".Sposób na odnalezienie kolejnych liczb kwadratowych wyraża się wzorem:kn = n2 = 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1),gdzie n jest liczbą naturalną. Liczby kwadratowe są więc kwadratami kolejnych liczb naturalnych. Pitagoras wykazał, że suma kolejnych liczb nieparzystych daje pełny kwadrat1 + 3 = 221 + 3 + 5 = 321 + 3 + 5 + 7 = 42 Liczby kwadratowe

44. Poniżej wykaz pierwszych stu liczb kwadratowych

46. Podczas budowania konstrukcji z klocków w kształcie piramidy, trzeba pamiętać, by klocek z kolejnej warstwy leżał na dwóch klockach z warstwy poprzedniej. Po ułożeniu podstawy musimy postawić na niej ścianę złożoną o jeden klocek mniej. Zaczynając od podstawy z n klocków, w następnej warstwie musimy ułożyć ich n - 1. Układamy tak długo, aż na szczycie będzie tylko jeden klocek. Piramida skończona i powstaje tylko pytanie: ilu klocków potrzeba było do jej zbudowania? Liczby trójkątne

47. Oznaczmy przez Tn liczbę klocków potrzebną do budowy piramidy złożonej z n klocków. Łatwo możemy obliczyć tę liczbę, gdyż jest ona zawsze sumą liczb naturalnych od 1 do n (dla n > 0). Liczbę tą nazwano trójkątną. Liczba trójkątna jest sumą n kolejnych liczb naturalnych, która wyraża się wzorem: Tn = n ( n + 1 ) 2 Podobno wzór wymyślił młody Gauss, gdy nudził się na lekcji matematyki. Liczby trójkątne są równe odpowiednim współczynnikom newtonowskim.

48. Nazwa liczby trójkątne pochodzi stąd, że tk jest liczbą monet jednakowej wielkości, z których można utworzyć trójkąt równoboczny o boku zbudowanym z k monet. Liczby trójkątne to liczby postaci tk = k*(k + 1) / 2 , gdzie k jest liczbą naturalną. Liczba tk jest sumą k kolejnych liczb naturalnych. Przykłady liczb trójkątnych:t1 = 1t2 = 3t3 = 6

49. Jednym z najbardziej interesujących układów liczbowych jest trójkąt Pascala (od nazwiska Blaise'a Pascala, sławnego francuskiego matematyka i filozofa). Trójkąt Pascala

50. Liczba 37 Liczba 37 to liczba pierwsza. Liczba naturalna dzieli się przez 37 wtedy, gdy suma liczb utworzonych przez grupy trzycyfrowe, na jakie można podzielić daną liczbę, zaczynając od prawej strony. Liczba 37 jest sumą kwadratów będących liczbami trójkątnymi. 37 = 12 + 62 Jedyną liczbą czterocyfrową, której cyfry są uporządkowane rosnąco i która jest kwadratem liczby naturalnej jest 1369 = 372 Liczby magiczne