Teorema Ramsey

1. Teorema Ramsey

2. DARWIN DJENI NIM. 080210101043 BY YUNIKA DEWI WULANINGTYAS NIM. 080210101051

3. Ramsey Theory

4. Tunjukkan bila sisi K6 diwarnai oleh dua warna maka akan memuat segitiga monokromatik, tunjukkan pula bahwa K6 minimal dengan sifat ini. Problem 1

5. Proof • Diberikan pewarnaan sisi dari K6denganmerahdanbiru,misal v adalahsembarangtitikpada K6. • Ada paling sedikit 3 sisi merah terjadi dengan v atau paling sedikit 3 sisi biru denganv, karenav mempunyai derajat 5.

6. Proof • Kita asumsikanada 3 sisi merah. Jika yang digambarkan dengan titik–titik (garisputus-putus) pada gambar 4.3.1 adalah merah, makaakanada segitiga merah. Jika semua biru , makaakan membentuk segitiga biru.

7. Figure 4.3.1 V V

8. Dengandemikian, sembarangpewarnaansisipada K6olehduawarnaakanmemuatsegitigamonokromatik

9. Figure 4.3.2 • Figure 4.3.2 menunjukkanbahwapewarnaan K5 denganduawarnadantidakmemuatsegitigamonokromatik

10. Teorema 4.3.1 Teorema Ramsey Untuk setiap bilangan n, ada sebuah bilangan r(n) sedemikianhinggasembarangpewarnaansisidari komplit graf dengan r(n) titik, menggunakan merah dan biru harusmemuat salah satu dari Kn merah atau Kn biru.

11. Problem 2 • Tunjukkan bahwa jikasisi K9 diwarnai dengan merah dan biru, maka akan ada sebuah K3 merah atau sebuahK4 biru. • Tunjukkan pula bahwaK9 minimal dengan sifat ini. K9

12. Teorema Ramsey • Kita asumsikanbahwasisidari K9diwarnaidenganmerahdanbiru. • Jika dalam suatu titik dalam K9 ada 4 sisi merah, seperti dalam gambar 4.3.3, maka akan ada sebuah segitiga merah atau sebuahK4 biru. • Proof

13. Teorema Ramsey V V

14. Teorema Ramsey • Ini pasti benar jika sisi yang digambar dengan garis putus-putus berwarna merah, makaadasebuah K3 merah • Jika semua sisi yang digambardengangarisputus-putusberwarnabiru, maka akanmembentuk sebuahK4 biru. • Proof

15. no K3 no K4

16. Bilangan Ramsey r(m,n) Bilangan Ramsey r(m,n) adalahbilanganterkecildengansifatuntuksetiappewarnaansisigrapkomplitdengan r(m,n) titikdenganmenggunakanwarnamerahdanbiruharuslahmemuatsebuah KmmerahatausebuahKnbiru. Sepertitelahdiketahuibahwa r(3,4)=9. Sangatsedikitbilangan Ramsey yang telahdiketahui.

17. Perhatikan bahwa r(1,n)=1, karena untuksembarangpewarnaan sisi pada K1 dengan duawarna memuat sebuah K1 merah atau sebuah Kn biru. • Hal ini benar karena K1 tidakmemilikisisi, sehinggasemua sisi K1 adalah merah. • Demikianjugar(2,n)=n, karena untuksembarangpewarnaan sisi Kn dengan merah dan biru memuat sebuahK2 merah, dengandemikiandiamemuat sebuahsisimerah, diamemuatsebuahKn biru.

18. Bilangan Ramsey r(m,n) yang telahdiketahui: r(1,n) = 1 r(2,n) = n r(3, 3) = 6 r(3,4) = 9 r(3,5) = 14 r(3,6) = 18 r(3,7) = 23 r(3,9) = 36 r(4,4) = 18

19. Teorema4.3.2 • Untuk setiap m dan n, ada bilangan Ramsey r(m,n) sedemikianhinggauntuksembarangpewarnaan sisi Kr(m,n) dengan merah dan biru memuatsebuah Km merah atau sebuah Kn biru. • Selanjutnya r(m,n) memenuhi pertidaksamaan r(m,n) ≤ r(m-1,n) + r(m,n-1)

20. Kita memulaidenganinduksi pada K=m+n. Nilai terkecil yang memenuhi persamaan adalah K=4, untuk n=2 dan m=2 maka r(2,2) = 2 ≤ 1+1 = r(1,2) + r(2,1) Proof Theorem 4.3.2

21. Sekarangandaikanbahwateoremainibenaruntuksemuanilai k • Misalkan G adalahgrapkomplitr(m-1,n)+r(m,n-1) titik. Proof Theorem 4.3.2

22. Kita asumsikanbahwasisidari G diwarnaidenganmerahdanbiru. • Misalkan v adalahsembarangtitikpada G. • Padasalahsatu v ada r(m-1,n) sisimerahatau r(m,n-1) sisibiru. Proof Theorem 4.3.2

23. V … r (m,n-1) … r (m-1,n) • Untukmembuktikanbahwainibenar, anggapbahwa degree dari v adalah r(m-1,n)+r (m,n-1) – 1.

24. Theorem 4.3.2 • Case 1 • Case 2

25. 1 • Jikaada r(m-1,n) sisimerahpada v, the subgraph H inducedby the other endpoints of these edges is a complete graph with r(m-1,n) vertices that is edge colored with red and blue. C A S E 1 2 Thus either there is a red Km-1 in H, that together with v forms a red Km in G, or there is a blue Kn in H and hence also in G.

26. 3 C A S E 1 Olehkarenaitu, jikaada r(m-1,n) sisimerahpada v, makasalahsatu G memuatsebuah KmmerahatausebuahKnbiru.

27. 1 If there are r (m, n-1) blue edges at v, the subgraph I induced by the other endpoints of these edges is a complete graph with r(m,n-1) vertices that is edge colored with red and blue. C A S E 2 2 Thus either there is a red Km in I and hence in G, or there is a blue Kn-1 in I, that together with v forms a blue Kn in G.

28. 3 Olehkarenaitu, jikaada r(m,n-1) sisibirupada v, makasalahsatu G memuatsebuah KmmerahatausebuahKnbiru C A S E 2 • Dan dapatkitatetapkanbahwa r (m, n) ≤ r(m-1,n) + r(m,n-1) • Jikakitadefinisikan r(n,n)=r(n), makaTeorema4.3.1 adalahsebuahkasuskhususdariTeorema4.3.2

29. PROBLEM 3 Tunjukkanbahwajikasisidari K5,5diwarnaidenganduawarna, makaakanadasebuahmonokromatik K 2,2

30. PROOF • Ada 25 sisipada K5,5 • satuwarnaakanmewarnaisedikitnya 13 sisi • Karenamasing-masingsisimemilikititikujungpadamasing-masinghimpunanpartisinya, dapatkitalihatbanyaknyasisidengan 5 titikpadasalahsatuhimpunannya

31. PROOF • Perhatikanbahwapewarnaandenganmemuatsebuahmonokromatik K2,2dengantepatsaatduadarititiknyamemilikiduatetangga • Secaraumumadatigakasus:

32. Satutitik v mempunyaiderajat 5 dalam S.Karena rata-rata derajatdari 4 titiktersisaadalah 2, sedikitnyasatutitikmempunyaiderajat paling sedikit 2, sebutitudenganw. Makavdanwduatetangga yang samadanadaK2,2 C A S E 1

33. C A S E 2 Satutitikmemilikiderajat 4 di S. Karenamasihadasisa 9 sisilagi, maka paling sedikittitik w memilikiderajat 3 di S, sehinggaakanada minimal 2 tetangga yang samadengan v, sehinggaada K2,2

34. Minimal ada 3 titik yang berderajat 3 di S, sehinggapastiada K2,2 C A S E 3