SLUČAJNA VARIJABLA

1. OSNOVE EKONOMETRIJE 4 SLUČAJNA VARIJABLA

2. Diskretne Kontinuirane Mješovitog tipa Vrste slučajnih varijabli:

3. Diskretna slučajna varijabla Varijabla X je diskretna slučajna varijabla, ako poprima konačno ili prebrojivo mnogo vrijednostis vjerojatnostima pri čemu vrijedi: Funkcija koja svakoj vrijednosti slučajne varijable pridružuje određenu vjerojatnost zove se funkcija (zakon) vjerojatnosti diskretne slučajne varijable. Ona može biti zadana grafički, tabelarno ili analitičkim izrazom.

4. Kumulativna funkcija distribucije slučajne varijable X definirana je izrazom: Kumulativna funkcija distribucije diskretne slučajne varijable izračunava se kako slijedi:

5. Distribucija 50 kutija prema broju neispravnih proizvoda dana je u slijedećoj tabeli: Izračunajte aritmetičku sredinu i varijancu pomoću relativnih frekvencija Izračunajte aritmetičku sredinu i varijancu Izračunajte empirijsku vjerojatnost za svaki broj neispravnih proizvoda Kako se zovu tako dobivene frekvencije Da li se broj neispravnih proizvoda može smatrati slučajnom varijablom

6. Očekivana vrijednost i varijanca diskretne slučajne varijable Očekivana vrijednost (sredina) diskretne slučajne varijable definirana je izrazom: Varijanca diskretne slučajne varijable računa se izrazom Alternativno:

7. Primjer 1: U kutiji je 25 proizvoda od čega je 5 loših. Slučajno se bira jedan • proizvod s vračanjem 4 puta. X je slučajni broj izvučenih loših proizvoda. • naći distribuciju slučajne varijable x • izračunati P(2≤X≤3) p=0,2 q=1-p=0,8 Rješenje P(2≤X≤3) =P(2)+P(3)=0,1536+0,0256=0,1792 ili P(2≤X≤3)=F(3)-F(1)=0,9984-0,8192=0,1792

8. Primjer 2: Strijelac ima na raspolaganju 4 metka i gađa metu sve dok je ne pogodi. Vjerojatnost pogodka u svakom gađanju je 0,8. X je broj potrošenih metaka. Izračunati a) distribuciju slučajne varijable b) očekivani broj potrošenih metaka c) varijancu d) P(X<1); P(X≥3) E(x)=xP(x)=1,248 Var(x)=∑x2 P(x)-μ2=1,856-1,2482=0,298496 P(X<1)=0 P(X≥3)=0,032+0,008=0,04

9. Primjer 3: Diskretna slučajna varijabla ima distribuciju: p=1-(0,3+0,2+0,05+0,25)=1-0,8=0,2 Nađite p Primjer 4: U kutiji su 3 bijele i 3 crne kuglice. Izvlači se po 1 kuglica bez vračanja sve dok se ne izvuće bijela. X je broj izvlačenja. Napišite distribuciju slučajne varijable:

10. Primjer 4: U kutiji se nalazi pet dobrih i sedam loših žarulja. Neka je X broj dobrih žarulja u slučajnom uzorku od 4 žarulje. Odredite distribuciju slučajne varijable. Primjer 5: Dva strijelca S1 i S2 gađaju po jednom u istu metu. Vjerojatnost pogotka za S1 je 0,7 a za S2 0,6. X je broj pogodaka u metu. Napišite distribuciju slučajne varijable, očekivani broj pogodaka i vjerojatnost da je meta pogođena najviše jednom

11. Primjer 6: Bacaju se dvije kocke. X je dobiveni zbroj. Napišite distribuciju Slučajne varijable i funkciju vjerojatnosti 2 1/36 3 2/36 4 3/36 5 4/36 6 5/36 7 6/36 8 5/36 9 4/36 10 3/36 11 2/36 12 1/36

12. DVODIMENZIONALNA SLUČAJNA VARIJABLA Analizira se dnevna prodaja videouređaja u jednom trgovačkom centru. Podaci o broju prodanih videouređaja i broju prodavača za 400 dana bila je slijedeća:* • Formirajte dvodimenzijalnu slučajnu varijablu • Izračunajte marginalne distribucije • Izračunajte očekivanja i varijance varijabli • Izračunajte uvjetne distribucije vjerojatnosti • Izračunajte zajedničku funkciju distribucije • Provjerite statističku nezavisnost • Izračunajte kovarijancu • Izračunajte koeficijent korelacije *Ivan Šošić: Primjenjena statistika, Školska knjiga, Zagreb 2006; Zadatak 6.61

13. Mali dioničar ima sedam udjela dionice DA i tri udjela dionice DB, čije su varijacije cijena raspoređene prema distribuciji vjerojatnosti predočenoj u slijedećoj tablici:* • Izračunajte marginalne vjerojatnosti cijena dionica DA i DB,te polazeći od tih vjerojatnosti izračunajte očekivane vrijednosti i varijance cijena dionica DA i DB • Koliko iznosi kovarijanca cijena dionica DA i DB • Izračunajte očekivanu vrijednost i varijancu cijene portfelja *Grupa autora: Poslovna statistika, Sveučilište u Zagrebu 2011; zadatak 5.4.

14. Kontinuirana slučajna varijabla Kontinuirana slučajna varijabla poprima neprebrojivo mnogo vrijednosti na skupu realnih brojeva. Njezina vjerojatnosna svojstva opisana su preko funkcije gustoće vjerojatnosti koja ima slijedeća svojstva: 1.  f(x)0 za svaki x 2. Ukupna površina ispod krivulje gustoće vjerojatnosti jednaka je 1 3. Pa  x  b=dio površine ispod krivulje f(x) omeđen intervalom a,b 4.  F(a) = PX  aP-<Xa= dio površine ispod krivulje f(x) omeđen intervalom (-,a

15. F(x0) F(x) f(x) F(x0) x0 a b Funkcija f(x) nema značenje vjerojatnosti. Kao vjerojatnost može se interpretirati umnožak f(x)dx koji označuje vjerojatnost da slučajna varijabla poprimi vrijednost u okolini točke x.

16. S pomoću f(x) vjerojatnosti se pridružuju intervalima vrijednosti, dok je vjerojatnost da kontinuirana slučajna varijabla poprimi vrijednost u jednoj točki jednaka nuli Iz izloženog se može zaključiti da je slučajna varijabla potpuno definirana ako je poznata njena funkcija gustoće vjerojatnosti ili funkcija distribucije. S obzirom na to da analitički izrazi tih funkcija mogu biti složeni, slučajne varijable opisuju se pomoću parametara, kao što su očekivana vrijednost, varijanca i općenito momenti višeg reda. Očekivana vrijednost Varijanca