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    1. Il mistero dei numeri Quanto contano oggi?

    2. Premessa Un po di storia Il sistema dei numeri I numeri perfetti I numeri amichevoli Il numero doro Arte e sezione aurea I frattali: natura, geografia, fisiologia e musica Uno nessuno e centomila I numeri e la guerra numerologia coincidenze? Bibliografia

    3. I grandi amano le cifre. Quando voi gli parlate di un nuovo amico, non si domandano mai: "Qual il tono della sua voce? Quali sono i suoi giochi preferiti? Fa collezione di farfalle?" Ma vi domandano: "Che eta' ha? Quanti fratelli? Quanto pesa? Quanto guadagna suo padre?" Allora soltanto credono di conoscerlo. Antoine de Saint-Exupry Il piccolo principe

    4. Premessa Il piccolo principe stato il primo libro che ho letto nella mia vita. Ricordo che avevo solo sette anni, e mi aveva colpito la sua grande semplicit. Un po di tempo fa me lo sono ritrovato fra le mani, e sfogliandolo ho letto proprio questa pagina. cos che nato il desiderio di capire, di riflettere sul mondo di oggi e sui suoi valori, sullimportanza dei numeri e sui misteri che essi nascondono. stato un viaggio davvero sorprendente. Dicono che i numeri sono ci che di pi stabile ed oggettivo ci possa essere, rappresentano delle certezze, eppure dopo questo percorso sono arrivata alla conclusione che in realt, dentro di essi, c un universo segreto, fatto di codici nascosti e tante sorprese!!

    5. Un po di storia La parola numero deriva dal latino numerus, che traduce il concetto di numero vero e proprio, quello di forma e addirittura di ritmo. I numeri furono introdotti pi o meno consapevolmente sin dallantichit, ma la prima numerazione scritta risale al 3500 a.C. presso i Sumeri, in Mesopotamia. La numerazione attuale,con nove cifre e lo zero, nata in India intorno al V secolo, ma il sistema decimale non era sconosciuto agli egiziani, ai babilonesi e persino ai maya.

    6. Arrivo in Europa.. La prima esposizione sistematica si deve al matematico indiano Brahmagputa nel VII secolo d.C. Furono poi gli arabi, con il matematico Muhammad ibn Al-Khwarizimi (780/850), durante la loro dominazione, ad usarli (come concetto ma non come scrittura). E molto pi tardi,fu Leonardo Fibonacci(1170/1230) a diffonderli in Europa con il suo Liber abaci.

    7. Termine improprio.. Essendo notoriamente utilizzati dagli arabi, impropriamente si chiamano numeri arabi. In realt la scrittura vera e propria era quella indiana. Nel 810, larabo Muhammad ibn Al-Khwarizimi scrisse un libro coniando un termine che in italiano divenne algebra. Oggi tutto il mondo si serve di queste cifre. Ed grazie alla combinazione dei 10 numeri ind che il progresso tecnologico ha potuto crescere fino allinvenzione del computer. Essi si servono di un sistema binario (1 e 0). In realt esistono un infinit di sistemi: ternario, quaternario, esadecimale ad esempio.

    8. Successioni numeriche Lidea di successione nacque dalle dita delle mani. Un dito viene prima dellaltro, lassociazione dito-unit, quasi scontata. Cos sono nati i concetti di ordinale e cardinale, inseparabili fra loro.

    9. Come si contava? In passato i conti si potevano fare in tantissime maniere. In Persia re Dario, utilizz la tecnica di legare, attraverso dei nodi, delle cordicelle su una corda. In Mesopotamia, si usava mettere, uno alla volta, dei ciottoli (calculi) allinterno di vasi. I romani, invece, si servivano dellabaco.

    10. Il sistema dei numeri

    11. I numeri perfetti Un numero si dice perfetto se uguale alla somma dei suoi divisori. Il pi piccolo numero perfetto il 6. Esso, infatti, divisibile (oltre che per se stesso) per 1, 2 e 3. 1+2+3=6. Altri numeri di questo tipo sono:28, 8128,496. Nel medioevo gli studiosi religiosi sostenevano che la perfezione del 6 e del 28 si pu ritrovare nella struttura dell'universo perch Dio cre la Terra in 6 giorni e fece girare la Luna attorno alla Terra in 28 giorni. Evidenziando le potenze di 2 che sono presenti in ogni numero perfetto, Eulero nel 1772 scopri che essi sono strettamente legati ai numeri primi dalla seguente formula : n=2p-1(2p-1) Oggi conosciamo 39 numeri perfetti.

    12. Numeri amicabili "Due numeri si dicono amicabili quando la somma dei divisori propri di uno uguale all'altro e viceversa" . Per esempio il 220 e il 284 formano una coppia di numeri amicabili perch il 220 divisibile per 1, 2, 3, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110: la loro somma 284; mentre il numero 284 ha come divisori il 1, 2, 4, 71,142 e la somma proprio 220. nella Bibbia ritroviamo il 220 nel numero di pecore che Giacobbe don a Esa come segno di amicizia e affetto. La seconda coppia pi piccola venne scoperta nel 1867, da un ragazzino di soli sedici anni Niccol Paganini (omonimo del violinista). La coppia era sempre sfuggita a tutti i matematici, il ragazzo ci era arrivato per tentativi!! Oggi di numeri amicabili se ne conoscono centinaia, ma la ricerca di altri, continua.

    13. IL NUMERO DORO Dietro lidea di armonia e di perfezione, nella natura come nel mondo dellarte, si cela un numero trascendente, inesprimibile in forma decimale se non approssimato: F=1,61803398874989... la prima definizione del numero f risale a Euclide. Egli si sofferm su un particolare rapporto di lunghezze, ottenibili dividendo una linea secondo la sua proporzione estrema e media, cio in due parti tali che la linea intera sta alla parte maggiore, come questultima sta alla parte minore. La proporzione estrema e media equivale a f .

    14. Dal numero doro a phi numero aureo, sezione aurea stato designato nell800, alludendo alloro, simbolo di nobilt, inalterabilit e preziosit. Altro termine con cui stato definito proporzione divina, comparso in un importante trattato scritto e pubblicato in Italia allinizio del Cinquecento; Il nome f venne introdotto solo allinizio del XX secolo, dalliniziale del grande scultore Fidia (490-430 a.C.), poich si ritiene che lo ebbe sempre presente nel realizzare le sue sculture e nella costruzione del Partenone.

    15. Il numero doro in natura La proporzione divina, si pu trovare in ogni campo: dalla geometria, alla musica, alla stessa natura. La piramide egizia di Cheope ha una base di 230 metri ed una altezza di 145: il rapporto base/altezza corrisponde a 1,58 molto vicino a 1,6. Nei megaliti di Stonehenge, le superfici teoriche dei due cerchi di pietre azzurre e di Sarsen, stanno tra loro nel rapporto di 1,6.

    16. Ancora phi.. Anche nella progettazione della Cattedrale di Notre Dame a Parigi e del Palazzo dell'ONU a New York sono state utilizzate le proporzioni del rettangolo aureo. Negli oggetti quotidiani, possiamo trovare alcuni esempi di sezione aurea:dalle schede telefoniche alle carte di credito e bancomat, dalle carte SIM dei cellulari alle musicassette: sono tutti rettangoli aurei con un rapporto tra base ed altezza pari a 1,618.

    17. Il numero doro nel corpo Phi presente pure sul nostro corpo. Se moltiplichiamo per 1,618 la distanza che in una persona adulta e proporzionata, va dai piedi all'ombelico, otteniamo la sua statura. Cos la distanza dal gomito alla mano (con le dita tese), moltiplicata per 1,618, d la lunghezza totale del braccio. La distanza che va dal ginocchio all'anca, moltiplicata per il numero d'oro, d la lunghezza della gamba, dall'anca al malleolo. Anche nella mano i rapporti tra le falangi delle dita medio e anulare sono aurei, cos il volto umano tutto scomponibile in una griglia i cui rettangoli hanno i lati in rapporto aureo.

    18. Non finisce qui.. la mirabile disposizione dei petali di una rosa, larmoniosa spirale di alcune conchiglie, queste e molte altre realt cos disparate sono accomunate dal numero aureo. Ammirando un girasole, ad esempio, facile notare al centro dellinfiorescenza linsieme di spirali orarie e antiorarie che si intersecano con regolarit. Fenomeni che si rifanno alla successione di Fibonacci.

    19. Phi e il nautilo Questo particolare tipo di mollusco cresce allinterno della propria conchiglia, costruendosi camere sempre pi spaziose e abbandonando e sigillando quelle inutilizzabili perch troppo piccole. Mentre la conchiglia si allunga, il raggio aumenta in proporzione, cosicch crescendo, non cambia forma: ma questa proprio la propriet fondamentale della spirale logaritmica. Che ha un rapporto molto stretto con phi.

    20. Phi e le galassie Anche la forma delle galassie riprende quella della spirale logaritmica. Il numero phi presente pure nei meravigliosi brani musicali di Mozart e Beethoven sotto forma di sequenze di Fibonacci nel numero di note e battute.

    21. La sezione aurea nellarte La sezione aurea riconosciuta come un rapporto esteticamente piacevole stata usata come base per la composizione di quadri o di elementi architettonici. Gli artisti e i matematici del Rinascimento tra cui Leonardo da Vinci e Sandro Botticelli rimasero affascinati e la chiamarono divina proporzione, la chiave mistica dellarmonia nelle arti e nelle scienze.

    22. Fidia e il Partenone La gloria di Fidia affidata al Partenone, il tempio di Atena. L'edificio ancora conserva, nonostante le distruzioni e le spoliazioni, tutto il fascino che gli viene da una struttura equilibrata e proporzionata, in un miracoloso accordo di misure geometriche esatte e di un'ispirazione libera da regole fisse, viva, naturale. Il Partenone il pi celebre monumento dell'architettura Ellenica contiene molti rettangoli aurei e le stesse proporzioni auree si riscontrano nelle statue in esso presenti. Esempio significativo sono le Korai dell'Eritteo.

    23. Leonardo da Vinci In particolare Leonardo incorpor il rapporto aureo in tre dei suoi capolavori: La Gioconda, Lultima cena e L'Uomo di Vitruvio. Nella Gioconda il rapporto aureo stato individuato: nella disposizione del quadro nelle dimensioni del viso nellarea che va dal collo a sopra le mani in quella che va dalla scollatura dellabito fino a sotto le mani. Ne LUltima cena, Ges, il solo personaggio veramente divino, dipinto con le proporzioni divine, ed racchiuso in un rettangolo aureo.

    24. Luomo vitruviano Ne LUomo, Leonardo studia le proporzioni della sezione aurea secondo i dettami del De architectura di Vitruvio che obbediscono ai rapporti del numero aureo. Leonardo stabil che le proporzioni umane sono perfette quando lombelico divide luomo in modo aureo. Vitruvio nel De Architectura scrive: "Il centro del corpo umano inoltre per natura lombelico; infatti, se si sdraia un uomo sul dorso, mani e piedi allargati, e si punta un compasso sul suo ombelico, si toccher tangenzialmente, descrivendo un cerchio, lestremit delle dita delle sue mani e dei suoi piedi".

    25. La sezione aurea e Mondrian Anche i dipinti del pittore ottocentesco Pierre Mondrian,autore di numerosi quadri astratti in cui domina l'uso di figure geometriche, utilizz la sezione aurea. In questo quadro ben visibile l'impostazione artistica di Mondrian che basa l'intero dipinto sull'accostamento di quadrati e rettangoli aurei.

    26. Il calcio e il numero doro I campi da calcio si avvicinano molto ad un rettangolo aureo, in particolare quelli di Piacenza e Venezia, le cui dimensioni 105m e 65m danno come rapporto 1,615 molto vicino a 1,618.

    27. I numeri e la geometria della natura Cosa hanno in comune : la distribuzione delle galassie? la struttura dei polmoni? le statistiche di certi fenomeni naturali?

    28. ..... la geometria viene spesso definita fredda e arida? Uno dei motivi la sua incapacit di descrivere la forma di una nuvola, di una montagna, di una linea costiera, di un albero. Osservando la natura vediamo che le montagne non sono dei coni, le nuvole non sono delle sfere, le coste non sono cerchi, ma sono degli oggetti geometricamente molto complessi... Benoit Mandelbrot "Gli oggetti frattali"

    29. I frattali I frattali sono figure geometriche caratterizzate dal ripetersi sino all'infinito di uno stesso motivo su scala sempre pi ridotta. Questa la definizione pi intuitiva che si possa dare di figure che in natura si presentano con una frequenza impressionante ma che non hanno ancora una definizione matematica precisa. Il termine frattale deriva dal latino fractus, poich la dimensione di un frattale non intera. Alla basa del frattale, c la spirale logaritmica.

    30. Universo frattale Immagina luniverso come un enorme organismo. Allinterno di esso ci sono serie di vasti organismi, che funzionano a loro volta come mondi per popolazioni inferiori: gli uomini ad esempio. Anche noi, a nostra volta, siamo mondi, dal punto di vista di alcuni organismi incomparabilmente pi piccoli, come certi vermi, pidocchi e parassiti. Essi poi sono le Terre di altri, ancor pi impercettibili..

    31. I frattali in natura La geometria frattale descrive molti oggetti presenti in natura. Monti e nuvole sono frattali. Osservando una montagna da lontano e una roccia presente in essa si notato che la forma si ripete. Visualizzando poi al microscopio ritroveremo le stesse forme. Altri esempi di frattali in natura sono la foglia di felce, il fiocco di neve e le piante grasse.

    32. Il corpo umano come un frattale Il nostro corpo cos complesso e perfetto che gli studi su di esso non finiranno mai. Dopo tanti secoli, oggi siamo in grado di vederlo anche nelle sue parti pi interne. Se vi dicessi che anche noi, in piccolo, siamo dei frattali? Guardate un po il nostro intestino, i bronchi e Il cuore.

    33. Frattali in fisiologia umana Lapplicazione della matematica frattale ha permesso di scoprire che lo sviluppo del feto segue una dinamica frattale. Inoltre essa ha permesso di classificare tumori benigni e maligni, in particolare quelli della mammella. Si scoperto, infatti, che nell'organismo colpito da tale patologia tendono a formarsi vasi sanguigni che nutrono, le cellule tumorali. Lorigine di molti vasi segue la dinamica frattale. Riuscire a fermare tale fenomeno pu voler dire sconfiggere la malattia.

    34. Musica frattale In natura esistono tre tipi di rumore: white noise, brown noise e il pink noise. Il white noise del tutto casuale, e la sua ampiezza e frequenza a un dato momento indipendente dagli istanti precedenti. Il brown noise pi strutturato del white noise; Il pink noise, pi strutturato del bianco, ma meno del marrone; Mandelbrot ha dimostrato che i rumori alla periferia del sistema nervoso centrale somigliano al white noise, mentre, pi ci si avvicina al cervello, pi si presentano pink noises. Forse per questo che preferiamo i suoni "rosa".

    35. Uno Nessuno e Centomila Scritto e pubblicato nel 1926 lultimo romanzo di Pirandello. Riprende temi affrontati ne Il fu Mattia Pascal e come questo ambientato in una piccola provincia. Vitangelo Moscarda, dalla banale constatazione che il naso che egli crede di avere diverso da quello che sua moglie gli riconosce, parte per un viaggio dentro e fuori di s che lo conduce ad una riflessione sullintera esistenza e alla follia. Vitangelo si rende conto che gli altri lo vedono in una maniera diversa da come lui stesso crede di essere. Non esiste solo un Vitangelo Moscarda, ma ne esistono tanti quanti sono gli esseri umani con i quali stabilisce anche una minima e fugace relazione. Non esiste un io autentico e oggettivo. Scoprire di non essere per gli altri quellUno che crede di essere per s accende in lui il desiderio di distruggere queste forme a lui estranee per scoprire il vero s. Tenta di distruggere le errate convinzioni della gente, a cominciare da quelle della moglie. Ma Vitangelo si conosce per quello che ? Qual la sua vera essenza?

    36. Hanno detto che le cifre governano il mondo. Pu darsi. Ma sono certo che le cifre ci mostrano se governato bene o male.(Wolfgang Goethe)

    37. I numeri e le guerre Nei conflitti del XX secolo, secondo recenti stime, sono rimaste uccise pi di 100 milioni di persone. In particolare, la grande guerra caus 10-12 milioni di morti, il 90% dei quali in Europa; La seconda guerra mondiale caus 15 milioni di vittime fra i soldati e 20-35 milioni di morti fra i civili.

    38. Il genocidio della seconda guerra mondiale 6 milioni di ebrei e 200.000 Sinti e Rom morirono nei campi e nelle camere a gas dei nazionalsocialisti. Si immagini ora un uomo a cui, insieme con le persone amate, vengano tolti la sua casa, le sue abitudini, i suoi abiti, tutto infine, letteralmente tutto quanto possiede: sar un uomo vuoto, ridotto a sofferenza, dimentico di dignit e discernimento, poich accade facilmente, a chi ha perso tutto, di perdere se stesso; (Primo Levi Se questo un uomo) Uomini a cui stato cancellato il nome, uomini ridotti a pure numeri, marchiati a fuoco sulla pelle affinch il terrore rimanga in eterno.

    39. Gli uomini ridotti a numeri -Alla fine, servendosi di una specie di stilografica metallica e di inchiostro azzurro, incisero nelle loro carni un numero indelebile. -Era doloroso? -(...)in genere non faceva male. Ma contribuiva a privarli dellultima cosa che ancora possedevano, il loro nome. Ormai venivano chiamati solo con quel numero inciso sulla pelle (...) declamato in tedesco, in modo da togliere tutto, persino la lingua materna. (Annette Wieviorka, Auschwitz spiegato a mia figlia) Ci aspettava lultima fase di iniziazione a questa nuova vita: la marchiatura. (...)Da quel momento scomparivamo come esseri umani, diventando numeri, pezzi per la macchina di sterminio del Reich. (Elisa Springer, il silenzio dei vivi)

    40. Numerologia La numerologia corrisponde alla ricerca e allinterpretazione dei significati simbolici, mistici, magici, occulti che possono essere racchiusi nei numeri in generale, o nei numeri legati a determinati avvenimenti o contesti. Proprio grazie allanalisi dei numeri, i numerologi riescono a fornire molte indicazioni sulla personalit e sulle tendenze degli individui, semplicemente analizzando i loro nomi. Da sottolineare che la numerologia non una scienza, n si appoggia su basi matematiche o scientifiche.

    41. Tecniche della numerologia Per trovare il numero corrispondente ad un nome, bisogna trasformare ogni lettera in cifra e poi sommare, fino ad ottenere ununica cifra che prende il nome di radice numerica. Esempio: TIZIANA PILIA: 9+9+5+1+3+1+5+9+1+9+1=53=8

    42. I segreti del nome La radice numerica rivela il tipo di vita che condurremo, e per questo il numero pi importante fra quelli contenuti nel nostro nome. Comunque ce ne sono altri, ricavabili ad esempio dalla somma delle cifre corrispondenti alle sole vocali o alle sole consonanti; il primo viene chiamato Numero del Cuore, in quanto rivela la persona nascosta sotto il guscio esterno; Il secondo il Numero della personalit, che riguarda limpressione che lasciamo sugli altri.

    43. Coincidenze fra vita e numeri Questo brano tratto da Lincredibile dottor Matrix. Predizioni, magie, coincidenze nel mondo della numerologia di Martin Gardner, in cui egli parla dei suoi incontri con un immaginario famoso numerologo. Consideri il caso di Richard Wagner e il numero 13. Ci sono 13 lettere nel suo nome. Nacque nel 1813: sommi i numeri di questanno e avr 13. Egli compose 13 grandi lavori musicali, la sua opera pi importante, il Tannhaser, fu terminata il 13 aprile 1845 ed eseguita per la prima volta il 13 marzo 1861, il Parsifal fu completato il 13 gennaio 1882. La Walkiria fu eseguita per la prima volta il 26 giugno del 1870 e 26 il doppio di 13. Il Lohengrin fu completato nel 1848, ma lautore lo sent eseguire solo nel 1861, esattamente 13 anni pi tardi. Wagner mor il 13 febbraio 1883; noti come il primo e lultimo numero di questo anno formino il 13. Questi sono solo alcuni dei molti 13 importanti nella vita di Wagner.

    44. Continua Il Dr. Matrix attese che avessi finito di scrivere, poi continu: Le date importanti non sono mai accidentali, Lera atomica cominci nel 1942 quando Enrico Fermi e i suoi colleghi ottennero la prima reazione nucleare a catena. Importante la telefonata che Arthur Compton fece a James Conant per dargli la notizia. Le prime parole di Compton furono: Il navigatore italiano ha raggiunto il Nuovo Mondo. Non ha mai pensato che invertendo le due cifre centrali del 1942 si ottiene il 1492, lanno in cui Cristoforo Colombo scoperse il nuovo mondo? No, risposi, non ci avevo mai pensato. E c di pi. In quel pomeriggio del 2 dicembre 1942, nel laboratorio di Fermi sotto il campo di football dellUniversit di Chicago, erano presenti esattamente 42 persone quando Fermi, dopo aver osservato gli strumenti, annunci che la reazione atomica procedeva spontaneamente. Sorprendente, dissi scrivendo furiosamente.

    45. 11 SETTEMBRE: coincidenza? L11 settembre una data che nessuno scorder pi. Sono molte le coincidenze e i giochi di numeri che lasciano allibiti. Sono stati in tanti a notare che il numero 11, se osservato sotto laspetto simbolico, ricorda proprio due torri. La data del disastro il 9/11 e se in America digitiamo queste cifre sulla tastiera del telefono ci risponde il pronto intervento. Il primo aereo a schiantarsi sulle torri stato il volo 11 dellAmerican Airlines. A bordo cerano 92 passeggeri (9+2=11). A bordo del secondo aereo, il volo 77, cerano 65 passeggeri (6+5=11). L11 settembre il 254esimo giorno dellanno (2+5+4=11).

    46. Il numero 23 Ecco una serie di tragici eventi che hanno come protagonista il numero 23!! Sommando le cifre di 11/09/2001 (attacco alle Twin Towers) risulta 23 Sommando le cifre di 15/04/1912 (naufragio del Titanic) risulta sempre 23 Kurt Cobain nato nel 1967 (1+9+6+7=23) e morto nel 1994 (1+9+9+4=23) La Bomba venne lanciata su Hiroshima alle 8:15 (8+15=23) Giulio Cesare venne assassinato con 23 coltellate Sommando le cifre di 23/04/1616 (data di morte di William Shakespeare) si ottiene ancora 23 Giovanni Falcone magistrato antimafia venne assassinato nellanno 1992, il 23 maggio (23/2+3=05)

    47. Olimpiadi di Pechino A proposito di coincidenze.. La Cina, Paese in cui questanno si disputeranno i Giochi Olimpici, ha scelto come data di inizio un giorno molto particolare: 8-8-08 alle ore 8.00 Speriamo porti fortuna e soprattutto giorni migliori per il suo popolo!

    48. Curiosit: numero 111.111.111 Sapevate che il numero 111.111.111 moltiplicato per se stesso, ha come risultato: 111.111.111 x 111.111.111 = 12345678987654321??? e che 111.111.111 : 9 = 0,0123456790123457 (in questo caso mancano per l'8 e il 6)

    49. 15.873 : il numero misterioso Se prendiamo il numero 15.873 e lo moltiplichiamo prima per un numero intero da 1 a 9 (a scelta) e poi per 7, otteniamo una serie di numeri tutti uguali pari al numero scelto.. Esempio: 15.873 x 5 x 7 = 555.555 15.875 x 3 x 7 = 333.333 15.875 x 9 x 7 = 999.999

    50. Differenza curiosa Prendete un numero qualsiasi di tre cifre, ad esempio 256. Invertite l'ordine delle cifre, e sottraete il minore dal maggiore. (652-256= 396). il numero delle decine sar sempre 9. la somma degli altri due numeri, dar sempre 9!!!

    51. Numeri, Numeri e ancora Numeri Numero di telefono, numero di codice fiscale, numero di matricola, numero dei voti, numero di targa, numero civico, et Siamo circondati dai numeri e in parte abbiamo imparato ad utilizzarli a nostro piacimento; Siamo progrediti grazie ad essi, ma siamo anche diventati un po schiavi. Ordiniamo, calcoliamo, quantifichiamo, ma non siamo pi capaci di ascoltare noi stessi e di sentire le nostre emozioni. I numeri sono essenziali, ma dietro di essi non dobbiamo dimenticare che il pi delle volte si celano delle persone che meritano di essere capite e rispettate. Non commettiamo gli errori passati, non trasformiamo degli uomini in numeri.. Perderemo tante occasioni di crescita!

    52. Bibliografia A.A.V.V., Enciclopedia Treccani, Roma, Istituto della Enciclopedia Italiana fondata da Giovanni Treccani, 1995. Annette Wieviorka, Auschiwitz spiegato a mia figlia, (1999), Einaudi. Antoine de Saint-Exupry,Il piccolo principe, (1943) Bompiani. Elisa Springer, Il silenzio dei vivi, (2004), Marsilio. Guedj, Denis, Limpero dei numeri, (1996), Torino, Electa/Gallimard, 1997. Ho inoltre visitato i seguenti siti: Martin Gardner, Lincredibile dottor Matrix. Predizioni, magie, coincidenze nel mondo della numerologia, (1982), Bologna, Zanichelli. Ouaknin, Marc-Alain, I misteri dei numeri, (2005), Bologna, Atlante. Sitografia www.wikipedia.org www.magiadeinumeri.it www.google.it (immagini)