Da eratostene alle geometrie dei numeri primi

1. Da eratostene alle geometrie dei numeri primi

2. Eratostene di Cirene Eratostene, nato a Cirene nel 275 a.C. e morto ad Alessandria d’Egitto nel 195 a.C., è stato un matematico, astronomo, geografo e poeta greco antico. Fu uno degli intellettuali più versatili della sua epoca ed oggi è soprattutto ricordato per aver misurato per primo, con grande precisione, le dimensioni della Terra e, in particolare, del meridiano terrestre passante per Alessandria d’Egitto. Tra i risultati matematici di Eratostene, quello più noto è il crivello di Eratostene, un metodo per individuare i numeri primi.

3. MERIDIANO TERRESTRE: un arco immaginario che congiunge il Polo Nord terrestre con il Polo Sud. NUMERO PRIMO: in matematica, un numero primo  è un numero naturale maggiore di 1 che sia divisibile unicamente per 1 e per se stesso; al contrario, un numero maggiore di 1 che abbia più di due divisori è detto composto. • Euclide negli Elementi riporta alcuni risultati fondamentali: • I Teorema : Esistono infiniti numeri primi • II Teorema: Ogni numero non primo può scomporsi nel prodotto di più numeri primi e questa scomposizione è unica.

4. Il crivello di Eratostene Il metodo trae origine dalla necessità di concretizzare i numeri naturali con dei “sassolini” , facendoli passare attraverso un setaccio o crivello.

5. CRIVELLO DI ERATOSTENE: Il crivello, o setaccio, di Eratostene è un antico procedimento, ideato dallo stesso Eratostene, per il calcolo delle tabelle di numeri primi fino ad un certo numero n prefissato. Data la sua semplicità di traduzione in un qualsiasi linguaggio di programmazione, è ancora utilizzato come *algoritmo di calcolo dei numeri primi da molti programmi per computer.

6. Trattando l’anticrivello abbiamo notato delle simmetrie e regolarità anche piacevoli. • Possiamo allora produrre figure combinando numeri primi mediante una trasformazione particolare.

7. EULERO E MERSENNE

8. NUMERO DI MERSENNE PIU’ GRANDE 43.112.609 N= 2 - 1 = 316470269…………….697152511 Cifre=12. 978.189 Data scoperta = 23 agosto 2008 GIMPS Edson Smith, George Woltman

9. Da quanto abbiamo visto possiamo concludere che: sappiamo ancora molto poco sui numeri primi. In particolare: Non si conosce una formula che permetta di generare i numeri primi. La distribuzione dei numeri primi sembra a prima vista casuale. Sono frequenti i numeri primi gemelli cioè accoppiati a distanza di 2.

10. VANTAGGI • Il fatto di sapere così poco sui numeri primi si è rivelato un vantaggio per la crittologia; oggi quasi tutti i computer usano per comunicare in modo riservato il cifrario RSA (indica un algoritmo di crittografia asimmetrica) basato appunto sulla difficoltà di scomporre in fattori primi numeri molto grandi (centinaia di cifre).

11. GEOMETRIE DEI NUMERI PRIMI

12. TRASFORMAZIONE Consideriamo la seguente Trasformazione costituita da quattro traslazioni: . verso sinistra  . verso l’ alto . verso destra  . verso il basso Queste 4 traslazioni formano, per noi, 1 crivello.

13. Metodo operativo. 1) Prendiamoper esempio 3 numeri primi e i loro multipli : . 2) Li raccogliamo in un insieme in ordine crescente: 3 5 7 6 10 14 9 15 . 12 . . 3,5,6,7,9,10,12,14..

14. 3) Consideriamo gli spazi che si creano tra un numero e l’altro Es. Tra il 3 e il 5 ci sono 2 spazi quindi la distanza è d=5-3=2 3,5,6,7,9,10,12,14..

15. vediamo la figura che si forma usando 1,5 crivelli (ovvero 6 traslazioni) con i multipli di: 3, 5, 7 Notiamo che dal 10 al 12 ci sono 2 unità verso l’ alto. Dato che d=12 – 10 = 2. 3,5,6,7,9,10,12,14. 12 7 6 5 3 9 10

16. VAI AL METODO

17. Il metodo di Eratostene per la misura del raggio terrestre Distanza Alessandria-Siene= 800 km a =1/50 *360° (angolo giro) Applicando la proporzione arco(AS) : Circ. = a : 360° Circ.= arco(AS) *360°: a = 800*360*50:360 = 40.000 km La circonferenza reale all’equatore è di 40.009 km con un errore di 9 km.

18. strumento per il calcolo del pi-greco

19. CALCOLO DEL PI-GRECO p Mediante lo strumento (cerchio in legno ) Consideriamo un cerchio di raggio r = 360 mm ed imponiamo, mediante una proporzione, il legame tra la circonferenza e l’arco (OA): Il problema adesso è misurare l’arco OA. Questo risulta possibile mediante la sua rettificazione .

20. Archimede di Siracusa Archimede, nato a Siracusa nel 287 a.C. circa e morto nella medesima città attorno al 212 a.C., fu un matematico, ingegnere, fisico e inventore greco antico. Fu senza dubbio uno dei più importanti scienziati di tutta la storia. Archimede in un dipinto di Domenico Fetti, 1620 Non abbiamo molte notizie certe sulla sua vita, tramandateci perlopiù da storici greci, quali Polibio e Plutarco, e romani, come Tito Livio.

21. Calcolo di π secondo Archimede Diverse approssimazioni di π erano già state fatte dai Babilonesi, dagli Egiziani ed anche dai Cinesi, ma il metodo utilizzato da Archimede è nuovo perché è un processo iterativo, in quanto si può trovare un’approssimazione accurata quanto più lo si desidera semplicemente ripetendo il processo, usando le precedenti stime di π per ottenerne di nuove. Egli riconobbe che il rapporto fra la circonferenza e il suo diametro è sempre costante uguale a 3.14… C = 2*π*r π = C/(2*r)

22. Archimede basò il lavoro di calcolo del π sui poligoni inscritti e circoscritti. Calcolò il perimetro di un esagono inscritto e poi di uno circoscritto, ripetendo il processo per poligoni di 12, 24, 48 e 96 lati. Poligoni regolari di 6 lati Poligoni regolari di 24 lati In questo modo capì che il perimetro del poligono, inscritto o circoscritto che fosse, corrispondeva sempre di più alla misura della circonferenza con l’aumentare del numero di lati e per questo l’approssimazione doveva essere più precisa. Perciò considerò la lunghezza della circonferenza compresa tra i due perimetri dei poligoni di 96 lati e notò che tale lunghezza era pari a tre volte il diametro aumentato di una frazione compresa tra 10/71 e 10/70, giungendo alla conclusione che il valore di π era compreso tra 3+10/71 e 3+10/70.

23. Poligono regolare Un poligono è regolare se risulta contemporaneamente equilatero e equiangolo.

24. Ogni poligono regolare ammette una circonferenza inscritta e una circoscritta. L'apotema è il raggio della circonferenza inscritta e corrisponde alla distanza fissa tra l'incentro e ciascuno degli n lati.

25. Poligoni inscritti & circoscritti Un poligono è inscritto in una circonferenza quando tutti i suoi vertici appartengono alla circonferenza. Il centro della circonferenza coincide con il circocentro del poligono (punto d’incontro degli assi del poligono). Un poligono è circoscritto in una circonferenza quando tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza. Il centro della circonferenza coincide con l’incentro del poligono (punto d’incontro delle bisettrici degli angoli del poligono).

26. Numero fisso dei poligoni regolari In un poligono regolare il rapporto tra l’apotema e il lato è un valore costante detto numero fisso (f). 𝒇 =𝒂 / 𝒍 a= 0.5*l *cot (p/n) perimetro : 2p= na/f Il numero fisso è caratteristico di ogni tipo poligono regolare. METODO DI ARCHIMEDE

27. Fiocco di neve Area del pentagono e dell'esagono AVANTI

28. CONCLUSIONI Il nostro laboratorio è stato costruito sulla figura di Eratostene, grande matematico del passato, non sempre messo in evidenza. I suoi studi sono stati rivoluzionari per il suo tempo, basti pensare al calcolo del meridiano terrestre e alla sfericità della terra. Inoltre, i numeri primi, il  sembrano, a prima vista, concetti astratti o troppo lontani da noi; ma la realtà, quindi la natura, sembra essere scritta con questi caratteri, si pensi al fiocco di neve visto in precedenza.

29. GRAZIE PER LA CORTESE ATTENZIONE

30. Si ringraziano gli studenti e i professori che hanno contribuito alla realizzazione del progetto.

31. Presentatori: Redondi Luca Prando Matteo Manzoni Alessandro Simone Sonzogni Cortinovis Giulia Frigerio Cristina Salvi Marco Postazione Pc Todeschini Fabio Carminati Daniele Arioli Veronica Balzi Daniel Bolis Davide Accoglienza Ghislandi Giacomo Fedele Andrea Cadei Matteo Bonaldi Giacomo Perolari Francesco Andrea Belotti Tasso Marta Innocenzi Giorgia Tassis Elena Bettoni Sofia Realizzatori de “Lo strumento per il calcolo di π” Milesi Andrea Cavagna Nadir Iari Vianzina Bonzi Nicola I docenti che hanno realizzato il progetto: Sità Luigi Reffo Bruno Docente referente: Iannuzzi Albina Tecnico di Laboratorio: Cordella Angelo. Tecnico: Filippi Simone Grazie a tutti!