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Análise Projeto de Algoritmos

Análise Projeto de Algoritmos. Loana Tito Nogueira 16-Maio-2006. Projeto de Algoritmos por Divisão e Conquista. Dividir para Conquistar: tática de guerra aplicada ao projeto de algoritmos

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  1. Análise Projeto de Algoritmos Loana Tito Nogueira 16-Maio-2006 Loana Tito Nogueira

  2. Projeto de Algoritmos por Divisão e Conquista • Dividir para Conquistar: tática de guerra aplicada ao projeto de algoritmos • Um algoritmo de divisão e conquista é aquele que resolve o problema desejado combinando as soluções parciais de (um ou mais) subproblemas, obtidas recursivamente. Loana Tito Nogueira

  3. Projeto de Algoritmos por Divisão e Conquista • Seja H um problema algorítmico. O método da divisão e conquista consiste em tentar resolver H, através dos seguintes passos: • Decompor H em subproblemas H1, H2, ..., Hk Menores que H Loana Tito Nogueira

  4. Projeto de Algoritmos por Divisão e Conquista • Seja H um problema algorítmico. O método da divisão e conquista consiste em tentar resolver H, através dos seguintes passos: • Decompor H em subproblemas H1, H2, ..., Hk • Resolver cada subproblema Hi, através de uma aplicação recursiva desse método Menores que H Loana Tito Nogueira

  5. Projeto de Algoritmos por Divisão e Conquista • Seja H um problema algorítmico. O método da divisão e conquista consiste em tentar resolver H, através dos seguintes passos: • Decompor H em subproblemas H1, H2, ..., Hk • Resolver cada subproblema Hi, através de uma aplicação recursiva desse método • Compor a solução de H, a partir das soluções de H1, H2, ..., Hk Menores que H Loana Tito Nogueira

  6. Algoritmo Genérico – Divisão e Conquista Loana Tito Nogueira

  7. Algoritmo Genérico – Divisão e Conquista • DivConq(x) Entrada: A instância x Saída: Solução y da instância x Se x é suficientemente pequeno então Retorne Solução(x) (dada pelo algoritmo para peq. Instâncias) Senão Divisão Decomponha x em instâncias menores x1, ..., xk Para i=1 até k faça yi=DivConq(xi) Conquista Combine as soluções yi para obter a solução y de x Retorne(y) Loana Tito Nogueira

  8. Algoritmo Genérico – Divisão e Conquista • DivConq(x) Entrada: A instância x Saída: Solução y da instância x Se x é suficientemente pequeno então Retorne Solução(x) (dada pelo algoritmo para peq. Instâncias) Senão Divisão Decomponha x em instâncias menores x1, ..., xk Para i=1 até k faça yi=DivConq(xi) Conquista Combine as soluções yi para obter a solução y de x Retorne(y) Loana Tito Nogueira

  9. Algoritmo Genérico – Divisão e Conquista • DivConq(x) Entrada: A instância x Saída: Solução y da instância x Se x é suficientemente pequeno então Retorne Solução(x) (dada pelo algoritmo para peq. Instâncias) Senão Divisão Decomponha x em instâncias menores x1, ..., xk Para i=1 até k faça yi=DivConq(xi) Conquista Combine as soluções yi para obter a solução y de x Retorne(y) Loana Tito Nogueira

  10. Algoritmo Genérico – Divisão e Conquista • DivConq(x) Entrada: A instância x Saída: Solução y da instância x Se x é suficientemente pequeno então Retorne Solução(x) (dada pelo algoritmo para peq. Instâncias) Senão Divisão Decomponha x em instâncias menores x1, ..., xk Para i=1 até k faça yi=DivConq(xi) Conquista Combine as soluções yi para obter a solução y de x Retorne(y) Loana Tito Nogueira

  11. Algoritmo Genérico – Divisão e Conquista • DivConq(x) Entrada: A instância x Saída: Solução y da instância x Se x é suficientemente pequeno então Retorne Solução(x) (dada pelo algoritmo para peq. Instâncias) Senão Divisão Combine as soluções yi para obter a solução y de x Retorne(y) Loana Tito Nogueira

  12. Algoritmo Genérico – Divisão e Conquista • DivConq(x) Entrada: A instância x Saída: Solução y da instância x Se x é suficientemente pequeno então Retorne Solução(x) (dada pelo algoritmo para peq. Instâncias) Senão Divisão Decomponha x em instâncias menores x1, ..., xk Para i=1 até k faça yi=DivConq(xi) Conquista Combine as soluções yi para obter a solução y de x Retorne(y) Loana Tito Nogueira

  13. Algoritmo Genérico – Divisão e Conquista • DivConq(x) Entrada: A instância x Saída: Solução y da instância x Se x é suficientemente pequeno então Retorne Solução(x) (dada pelo algoritmo para peq. Instâncias) Senão Divisão Decomponha x em instâncias menores x1, ..., xk Para i=1 até k faça yi=DivConq(xi) Conquista Loana Tito Nogueira

  14. Algoritmo Genérico – Divisão e Conquista • DivConq(x) Entrada: A instância x Saída: Solução y da instância x Se x é suficientemente pequeno então Retorne Solução(x) (dada pelo algoritmo para peq. Instâncias) Senão Divisão Decomponha x em instâncias menores x1, ..., xk Para i=1 até k faça yi=DivConq(xi) Conquista Combine as soluções yi para obter a solução y de x Retorne(y) Loana Tito Nogueira

  15. Algoritmo Genérico – Divisão e Conquista • DivConq(x) Entrada: A instância x Saída: Solução y da instância x Se x é suficientemente pequeno então Retorne Solução(x) (dada pelo algoritmo para peq. Instâncias) Senão Divisão Decomponha x em instâncias menores x1, ..., xk Para i=1 até k faça yi=DivConq(xi) Conquista Combine as soluções yi para obter a solução y de x Retorne(y) Loana Tito Nogueira

  16. Projeto por Divisão e Conquista – Exemplo 1 • Exponenciação • Problema: Calcular na, para todo real a e inteiro n0. 1a. Solução: (Indução Fraca): Caso base: n=0; a0 = 1 Hipótese de Indução: Suponha que, para qualquer inteiro n>0 e real a, sei calcular an-1 Passo da Indução: Queremos provar que conseguimos calcular an, para n>0. Por hipótese de indução, sei calcular an-1. Então, calculo na multiplicando an-1 por a Loana Tito Nogueira

  17. Projeto por Divisão e Conquista – Exemplo 1 • Exponenciação • Problema: Calcular na, para todo real a e inteiro n0. 1a. Solução: (Indução Fraca): Caso base: n=0; a0 = 1 Hipótese de Indução: Suponha que, para qualquer inteiro n>0 e real a, sei calcular an-1 Passo da Indução: Queremos provar que conseguimos calcular an, para n>0. Por hipótese de indução, sei calcular an-1. Então, calculo na multiplicando an-1 por a Loana Tito Nogueira

  18. Projeto por Divisão e Conquista – Exemplo 1 • Exponenciação • Problema: Calcular na, para todo real a e inteiro n0. 1a. Solução: (Indução Fraca): Caso base: n=0; a0 = 1 Hipótese de Indução: Suponha que, para qualquer inteiro n>0 e real a, sei calcular an-1 Passo da Indução: Queremos provar que conseguimos calcular an, para n>0. Por hipótese de indução, sei calcular an-1. Então, calculo na multiplicando an-1 por a Loana Tito Nogueira

  19. Projeto por Divisão e Conquista – Exemplo 1 • Exponenciação • Problema: Calcular na, para todo real a e inteiro n0. 1a. Solução: (Indução Fraca): Caso base: n=0; a0 = 1 Hipótese de Indução: Suponha que, para qualquer inteiro n>0 e real a, sei calcular an-1 Passo da Indução: Queremos provar que conseguimos calcular an, para n>0. Por hipótese de indução, sei calcular an-1. Então, calculo na multiplicando an-1 por a Loana Tito Nogueira

  20. Projeto por Divisão e Conquista – Exemplo 1 • Exponenciação • Problema: Calcular na, para todo real a e inteiro n0. 1a. Solução: (Indução Fraca): Caso base: n=0; a0 = 1 Hipótese de Indução: Suponha que, para qualquer inteiro n>0 e real a, sei calcular an-1 Passo da Indução: Queremos provar que conseguimos calcular an, para n>0. Sei calcular an-1 calculo na multiplicando an-1 por a Loana Tito Nogueira

  21. Projeto por Divisão e Conquista – Exemplo 1 • Exponenciação • Problema: Calcular na, para todo real a e inteiro n0. 1a. Solução: (Indução Fraca): Caso base: n=0; a0 = 1 Hipótese de Indução: Suponha que, para qualquer inteiro n>0 e real a, sei calcular an-1 Passo da Indução: Queremos provar que conseguimos calcular an, para n>0. Sei calcular an-1 calculo na multiplicando an-1 por a Loana Tito Nogueira

  22. Algoritmo: Expon(a,n) Entrada: A base a e o expoente n Saída: O valor de an Se n = 0 então Retorne(1) {caso base} Senão an’ := Expon(a, n-1) an := an’*a Retorne(an) Loana Tito Nogueira

  23. Algoritmo: Expon(a,n) Entrada: A base a e o expoente n Saída: O valor de an Se n = 0 então Retorne(1) {caso base} Senão an’ := Expon(a, n-1) an := an’*a Retorne(an) Loana Tito Nogueira

  24. Algoritmo: Expon(a,n) Entrada: A base a e o expoente n Saída: O valor de an Se n = 0 então Retorne(1) {caso base} Senão an’ := Expon(a, n-1) an := an’*a Retorne(an) Loana Tito Nogueira

  25. Algoritmo: Expon(a,n) Entrada: A base a e o expoente n Saída: O valor de an Se n = 0 então Retorne(1) {caso base} Senão an’ := Expon(a, n-1) an := an’*a Retorne(an) Loana Tito Nogueira

  26. Complexidade: Expon(a,n) • T(n): nº de operações realizadas pelo algoritmo para calcular an 1, n=0 T(n) = T(n-1)+ 1, n>0 Loana Tito Nogueira

  27. Complexidade: Expon(a,n) • T(n): nº de operações realizadas pelo algoritmo para calcular an 1, n=0 T(n) = T(n-1)+ 1, n>0 T(n)= (n) Loana Tito Nogueira

  28. Projeto por Divisão e Conquista – Exemplo 1 • Exponenciação • Problema: Calcular na, para todo real a e inteiro n0. 2a. Solução: (Indução Forte): Caso base: n=0; a0 = 1 Hipótese de Indução: Suponha que, para qualquer inteiro n>0 e real a, sei calcular an-1 Passo da Indução: Queremos provar que conseguimos calcular an, para n>0. Sei calcular an-1 calculo na multiplicando an-1 por a Loana Tito Nogueira

  29. Projeto por Divisão e Conquista – Exemplo 1 • Exponenciação • Problema: Calcular na, para todo real a e inteiro n0. 2a. Solução: (Indução Forte): Caso base: n=0; a0 = 1 Hipótese de Indução: Suponha que, para qualquer inteiro n>0 e real a, sei calcular an-1 Passo da Indução: Queremos provar que conseguimos calcular an, para n>0. Sei calcular an-1 calculo na multiplicando an-1 por a Loana Tito Nogueira

  30. Projeto por Divisão e Conquista – Exemplo 1 • Exponenciação • Problema: Calcular na, para todo real a e inteiro n0. 2a. Solução: (Indução Forte): Caso base: n=0; a0 = 1 Hipótese de Indução: Suponha que, para qualquer inteiro n>0 e real a, sei calcular ak, para todo k<n Passo da Indução: Queremos provar que conseguimos calcular an, para n>0. Sei calcular an-1 calculo na multiplicando an-1 por a Loana Tito Nogueira

  31. Projeto por Divisão e Conquista – Exemplo 1 • Exponenciação • Problema: Calcular na, para todo real a e inteiro n0. 2a. Solução: (Indução Forte): Caso base: n=0; a0 = 1 Hipótese de Indução: Suponha que, para qualquer inteiro n>0 e real a, sei calcular ak, para todo k<n Passo da Indução: Queremos provar que conseguimos calcular an, para n>0. Loana Tito Nogueira

  32. Projeto por Divisão e Conquista – Exemplo 1 • Exponenciação • Problema: Calcular na, para todo real a e inteiro n0. 2a. Solução: (Indução Forte): Caso base: n=0; a0 = 1 Hipótese de Indução: Suponha que, para qualquer inteiro n>0 e real a, sei calcular ak, para todo k<n Passo da Indução: Queremos provar que conseguimos calcular an, para n>0. Sei calcular an/2 Loana Tito Nogueira

  33. Projeto por Divisão e Conquista – Exemplo 1 • Exponenciação • Problema: Calcular na, para todo real a e inteiro n0. 2a. Solução: (Indução Forte): Caso base: n=0; a0 = 1 Hipótese de Indução: Suponha que, para qualquer inteiro n>0 e real a, sei calcular ak, para todo k<n Passo da Indução: Queremos provar que conseguimos calcular an, para n>0. Sei calcular an/2 (an/2 )2, se n é par an a. (an/2)2, se n é ímpar Loana Tito Nogueira

  34. Algoritmo: Exp(a,n) Entrada: A base a e o expoente n Saída: O valor de an Se n = 0 então Retorne(1) {caso base} Senão divisão an’ := Exp(a, n div 2) conquista an := an’*an’ Se (n mod 2)=1 então an:= an* a Retorne(an) Loana Tito Nogueira

  35. Algoritmo: Exp(a,n) Entrada: A base a e o expoente n Saída: O valor de an Se n = 0 então Retorne(1) {caso base} Senão divisão an’ := Exp(a, n div 2) conquista an := an’*an’ Se (n mod 2)=1 então an:= an* a Retorne(an) Loana Tito Nogueira

  36. Algoritmo: Exp(a,n) Entrada: A base a e o expoente n Saída: O valor de an Se n = 0 então Retorne(1) {caso base} Senão divisão an’ := Exp(a, n div 2) conquista an := an’*an’ Se (n mod 2)=1 então an:= an* a Retorne(an) Loana Tito Nogueira

  37. Algoritmo: Exp(a,n) Entrada: A base a e o expoente n Saída: O valor de an Se n = 0 então Retorne(1) {caso base} Senão divisão an’ := Exp(a, n div 2) conquista an := an’*an’ Se (n mod 2)=1 então an:= an* a Retorne(an) Loana Tito Nogueira

  38. Algoritmo: Exp(a,n) Entrada: A base a e o expoente n Saída: O valor de an Se n = 0 então Retorne(1) {caso base} Senão divisão an’ := Exp(a, n div 2) conquista an := an’*an’ Se (n mod 2)=1 então an:= an* a Retorne(an) Loana Tito Nogueira

  39. Complexidade • T(n): nº de operações realizadas pelo algoritmo para calcular an • 1 , n=0 • T(n) = • T(n/2 )+ c , n>0 Loana Tito Nogueira

  40. Complexidade • T(n): nº de operações realizadas pelo algoritmo para calcular an • 1 , n=0 • T(n) = • T(n/2 )+ c , n>0 • T(n)= (log n) Loana Tito Nogueira

  41. Busca Binária • Problema: Dado um vetor ordenado A com n números reais e um real x, determinar a posição 1 i  n tal que A[i]=x, ou que não existe tal i. Loana Tito Nogueira

  42. Busca Binária • Problema: Dado um vetor ordenado A com n números reais e um real x, determinar a posição 1 i  n tal que A[i]=x, ou que não existe tal i. • INDUÇÃO FORTE!! Loana Tito Nogueira

  43. Busca Binária • Problema: Dado um vetor ordenado A com n números reais e um real x, determinar a posição 1 i  n tal que A[i]=x, ou que não existe tal i. • INDUÇÃO FORTE!! • Como o vetor está ordenado, conseguimos determinar, com apenas uma comparação, que metade das posições do vetor não podem conter o valor x Loana Tito Nogueira

  44. Algoritmo: BuscaBinária(A, i, f, x) Entrada: Vetor A, extremos do subvetor, i e f e x Saída: índice 1 j  n tal que A[j]= x ou j=0 Se i=f então se A[i] =x então retorne(i) senão retorne(0) senão j:=(i+f) div 2 se A[j]=x retorne(j) senãose A[j]>x então j:=BuscaBinaria(A, i,f-1, x) senão j:= BuscaBinaria(A, i+1, f, x) retorne(j) Loana Tito Nogueira

  45. Algoritmo: BuscaBinária(A, i, f, x) Entrada: Vetor A, extremos do subvetor, i e f e x Saída: índice 1 j  n tal que A[j]= x ou j=0 Se i=f então se A[i] =x então retorne(i) senão retorne(0) senão j:=(i+f) div 2 se A[j]=x retorne(j) senãose A[j]>x então j:=BuscaBinaria(A, i,f-1, x) senão j:= BuscaBinaria(A, i+1, f, x) retorne(j) i f Loana Tito Nogueira

  46. Algoritmo: BuscaBinária(A, i, f, x) Entrada: Vetor A, extremos do subvetor, i e f e x Saída: índice 1 j  n tal que A[j]= x ou j=0 Se i=f então se A[i] =x então retorne(i) senão retorne(0) senão j:=(i+f) div 2 se A[j]=x retorne(j) senãose A[j]>x então j:=BuscaBinaria(A, i,f-1, x) senão j:= BuscaBinaria(A, i+1, f, x) retorne(j) i f j Loana Tito Nogueira

  47. Algoritmo: BuscaBinária(A, i, f, x) Entrada: Vetor A, extremos do subvetor, i e f e x Saída: índice 1 j  n tal que A[j]= x ou j=0 Se i=f então se A[i] =x então retorne(i) senão retorne(0) senão j:=(i+f) div 2 se A[j]=x retorne(j) senãose A[j]>x então j:=BuscaBinaria(A, i,f-1, x) senão j:= BuscaBinaria(A, i+1, f, x) retorne(j) i f j Loana Tito Nogueira

  48. Algoritmo: BuscaBinária(A, i, f, x) Entrada: Vetor A, extremos do subvetor, i e f e x Saída: índice 1 j  n tal que A[j]= x ou j=0 Se i=f então se A[i] =x então retorne(i) senão retorne(0) senão j:=(i+f) div 2 se A[j]=x retorne(j) senãose A[j]>x então j:=BuscaBinaria(A, i,f-1, x) senão j:= BuscaBinaria(A, i+1, f, x) retorne(j) i f x =A[j] ? Loana Tito Nogueira

  49. Algoritmo: BuscaBinária(A, i, f, x) Entrada: Vetor A, extremos do subvetor, i e f e x Saída: índice 1 j  n tal que A[j]= x ou j=0 Se i=f então se A[i] =x então retorne(i) senão retorne(0) senão j:=(i+f) div 2 se A[j]=x retorne(j) senãose A[j]>x então j:=BuscaBinaria(A, i,j-1, x) senão j:= BuscaBinaria(A, i+1, f, x) retorne(j) i f x < A[j] ? Loana Tito Nogueira

  50. Algoritmo: BuscaBinária(A, i, f, x) Entrada: Vetor A, extremos do subvetor, i e f e x Saída: índice 1 j  n tal que A[j]= x ou j=0 Se i=f então se A[i] =x então retorne(i) senão retorne(0) senão j:=(i+f) div 2 se A[j]=x retorne(j) senãose A[j]>x então j:=BuscaBinaria(A, i,j-1, x) senão j:= BuscaBinaria(A, i+1, f, x) retorne(j) i f x < A[j] ? Loana Tito Nogueira

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