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Energiebänder im Festkörper

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Energiebänder im Festkörper. Inhalt. Klassisch: Energieniveaus eines freien Atoms Quantenmechanik: Elektronen eines Metalls: quantenmechanische Gesamtheit Das Bändermodell für Isolator Halbleiter Leiter. Freies Atom.

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Presentation Transcript
inhalt
Inhalt

Klassisch:

  • Energieniveaus eines freien Atoms

Quantenmechanik:

  • Elektronen eines Metalls: quantenmechanische Gesamtheit
  • Das Bändermodell für
    • Isolator
    • Halbleiter
    • Leiter
freies atom
Freies Atom
  • Energieniveaus eines freien Atoms nach dem Bohrschen Atommodell
    • Aufspaltung der Energieniveaus durch Kopplung bei Annäherung eines zweiten Atoms
energie der elektronen
Energie der Elektronen

Abstand vom Kern

mal 0,0529 [nm]

M, n=3

L, n=2

Bindungsenergie

K, n=1

kristalline festk rper
Kristalline Festkörper

Link zu einem Periodensystem mit Information zur Struktur:: http://www.chemicool.com/

elektronen in kristallinen materialien
Elektronen in kristallinen Materialien

Die Elektronen der dicht gepackten Atome werden als ein einziger „gebundener Zustand“ aufgefasst

  • Anstelle der lokalisierten Elektronen treten stehende Wellen im „Kasten“
    • Die Wellenlängen sind Teiler der doppelten Kastenlänge
  • Anstelle der Energie der Elektronen in Abhängigkeit vom Bahnradius tritt die Energie der Wellen in Abhängigkeit von der Wellenzahl

Berechnung mit der Schrödingergleichung für das Kastenpotential

wellenzahl und energie
Wellenzahl und Energie
  • Was kostet die Anregung einer Welle mit Wellenzahl n ?

Folgt aus der Lösung der Schrödingergleichung für das „Kastenpotential“

wellenfunktionen f r k 1 2 3 4

W4=16

W3=9

W2=4

W1=1

Wellenfunktionen für k=1,2,3,4

Energie En

Quantenzahl n

Aufenthaltswahrscheinlichkeit

eines Elektrons in einem Kasten für n=1,2,3,4.

Die Farbstärke ist proportional zur Wahrscheinlichkeit, das Teilchen in Bereich der Abszisse anzutreffen

Umrechnung der Einheiten des Modells auf atomare Größen: x = 4  0,17 nm, W = 1  13,6 eV

das elektronengas
Das „Elektronengas“

Der Kristall bildet den „Kasten“, die Elektronen im Kristall werden als Wellen darin untergebracht

eigenschaften der elektronen im kristall
Eigenschaften der Elektronen im Kristall
  • Es gilt die de Broglie-Beziehung: Eine Welle mit Wellenzahl kentspricht einem Teilchen mit Impuls p=ħ·k
  • Elektronen sind „Fermionen“: Wellenzahl und Energie zur Wellenzahl können für eine Spin-Richtung nur einmal vergeben werden

Daraus folgt das Bauprinzip:

  • Der Festkörper (zunächst: „lineare Kette“) habe die Länge L, er enthalte N Elementarzellen mit 2N Elektronen
  • Man beginnt mit der Wellenzahl k1 = π/Lund ordnet sie zwei Elektronen mit unterschiedlichem Spin zu
  • Man erhöhe die Wellenzahl bis kN = N·π/L
energie der elektronen im freien he atom
Energie der Elektronen im freien He-Atom

Energie W

L

Energie-niveau des freien Atoms

K

energie der elektronen bei ann herung von zwei helium atomen
Energie der Elektronen bei Annäherung von zwei Helium Atomen

Energie W

L

2-fach Aufspaltung durch Kopplung an die Elektronen des Nachbar-Atoms

Energie-niveau des freien Atoms

K

energie der elektronen im helium kristall aus vier zellen
Energie der Elektronen im Helium Kristall aus vier Zellen

Energie W

L

4-fach Aufspaltung durch Kopplung an 4 Atome im Kristallgitter

Energie-niveau des freien Atoms

K

elektronen dichte wellen im helium kristall aus vier zellen
Elektronen Dichte Wellen im Helium Kristall aus vier Zellen

Energie W

L

Wellenzahl n

Band K ist mit 2N Zuständen voll besetzt

4

3

K

2

1

slide16

Übergang von He mit zwei Elektronen zu Li mit drei Elektronen: Einbau von vier weiteren Elektronen in den Kristall mit vier Elementarzellen

Kristall aus He-Atomen

Kristall aus Li-Atomen

Besetzung mit Atomen

Vier weitere Elektronen benötigen weitere Wellenzahlen 5,6,7,8

energieaufspaltung im lithium kristall aus vier zellen
Energieaufspaltung im Lithium Kristall aus vier Zellen

8

Band L ist mit N Zuständen halb besetzt

Energie W

7

L

6

5

Wellenzahl n

Band K ist mit 2N Zuständen voll besetzt

4

3

K

2

1

energieaufspaltung im lithium kristall aus vier zellen energetisch optimiert
Energieaufspaltung im Lithium Kristall aus vier Zellen „Energetisch optimiert“

8

Band L ist mit N Zuständen halb besetzt

Energie W

7

L

6

5

Wellenzahl n

Band K ist mit 2N Zuständen voll besetzt

4

3

K

2

1

freie energieniveaus im lithium kristall aus vier zellen
Freie Energieniveaus im Lithium Kristall aus vier Zellen

8

Band L ist mit N Zuständen halb besetzt

Energie W

7

Diese Elektronen können Energie aufnehmen: metallische Leitung

L

6

5

Band K ist mit 2N Zuständen voll besetzt

4

3

K

2

1

bei vielen zellen bilden die n anzahl der zellen niveaus praktisch ein kontinuum
Bei vielen Zellen bilden die N (Anzahl der Zellen) Niveaus praktisch ein Kontinuum

Energie W

n=2

n=1

zusammenfassung
Zusammenfassung
  • In dicht gepackten Kristallen erscheinen die Valenzelektronen aufgrund ihrer dichten Packung als quantenmechanische Gesamtheit, jedem Elektron wird eine Welle zugeordnet
    • Lösung der Schrödingergleichung für Elektronen im „Kasten“
    • Elektronen sind Fermionen: Jeder Zustand kann nur einmal vergeben werden
    • Ein „Band“ enthält 2 N Zustände, N ist die Anzahl der Elementarzellen im Kristall
finis
finis

Energie W

n=2

n=1