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Olivia
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  1. Microéconomie Sébastien Rouillon 2008

  2. 1. Th. du choix rationnel On note : A = {a, b, …} = l’ens. des choix possibles ; R = une relation de préférence, déf. sur A. La proposition : a R b se lit : "le choix a est au moins aussi bon que le choix b".

  3. 1. Th. du choix rationnel On dit que la relation de préférence R est rationnelle si : • elle est complète : pour tout x et y de A, on a x R y ou y R x ; • elle est transitive : pour tout x, y et z de A, si x R y et y R z, alors x R z.

  4. 1. Th. du choix rationnel On déduit de R une relation : • de préférence stricte, notée P : a P b équivaut à : a R b et non b R a. • d’indifférence, notée I : a I b équivaut à : a R b et b R a.

  5. 1. Th. du choix rationnel La fonction U(x), définie sur A, représente R si, pour tout x et y dans A, x R y équivaut à U(x) ≥ U(y). On dit alors que U est une fonction d’utilité représentant la relation de préférence R.

  6. 2. Le consommateur Le problème du consommateur est de choisir quelles quantités acheter des biens disponibles dans l’économie. Notons : K = le nombre de biens disponibles ; x = (x1, …, xK)  IRK = un plan de consommation du consommateur.

  7. 2.1 L’ensemble de consommation Les choix du consommateur sont limités par des contraintes physiques et/ou légales. Par ex. : • le temps de loisir est au plus égal à 24h/j ; • en Europe, le temps de travail ne peut pas dépasser 48h par semaine.

  8. 2.1 L’ensemble de consommation On définit l’ensemble de consommation, noté X, comme tous les plans de consommation compatibles avec ces contraintes. Sauf mention contraire, on supposera que : X = {x  IRK ; xk ≥ 0, pour k = 1, …, K}

  9. 2.2 L’ensemble de budget Les choix du consommateur sont aussi limités par les prix des biens et son revenu. On note : p = (p1, …, pK) = le vecteur de prix (p >> 0) ; R = le revenu du consommateur (R > 0).

  10. 2.2 L’ensemble de budget On définit l’ensemble de budget, noté B, comme tous les plans de consommation coûtant au plus le revenu du consommateur : B = {x  IRK ; p•x = Σk pk xk R}

  11. 2.3 Représentation graphique x2 Le consommateur doit choisir un plan de consommation dans X (contraintes physiques et/ou légales) et dans B (contraintes économiques). X B XB x1 Droite de budget

  12. 2.4 Les préférences du consommateur On note R la relation de préférence du consommateur, définie sur son ensemble de consommation X. Par la suite, on suppose (sauf mention contraire) que R est rationnelle, monotone, strictement convexe et continue.

  13. 2.4 Les préférences du consommateur Pour tout panier de consommation x dans X, on peut définir trois sous-ensembles de X : • l’ens. des paniers au moins aussi bon que x : (+) = {x’  X ; x’ R x} ; • l’ens. des paniers équivalents à x : (~) = {x’  X ; x’ I x} ; • l’ens. des paniers au plus aussi bon que x : (-) = {x’  X ; x R x’}.

  14. 2.4.1 Préférences monotones x2 On dit que R est monotone si, pour tout x et x’ dans X, x’ >> x implique x’ P x. Donc, l’ens. (+) des points au moins aussi bien que x contient tous les points au NE de x. x’ • • x x1

  15. 2.4.2 Préférences strictement convexes x2 On dit que R est strict. convexe si, pour tout x, x’ R x et x’’ R x impliquent que (t x’ + (1–t) x’’) P x, pour tout 0 < t < 1. Cela implique que l’ens. (+) des points au moins aussi bien que x est convexe. x’ • • x’’ x • x1

  16. 2.4.3 Préférences continues x2 On dit que R est continue si, pour tout x, l’ens. (+) des points au moins aussi bien que x et l’ens. (-) des points au plus aussi bien que x sont tous les deux fermés (ils contiennent leur frontière). (+) (~) • x (-) x1 Courbe d’indifférence

  17. 2.5 Fonction d’utilité La proposition suivante justifie l’intérêt de supposer la continuité de R : Si la relation de préférences R du consommateur est rationnelle et continue, il existe une fonction d’utilité U(x) continue représentant R.

  18. 2.5 Fonction d’utilité Il convient de comprendre qu’ainsi construite, une fonction d’utilité n’est qu’une autre manière (plus commode mathématiquement) de représenter les préférences du consommateur. C’est un indice, construit pour représenter un classement des paniers de biens.

  19. 2.5 Fonction d’utilité La propriété suivante peut aider à y voir plus clair : Si U(x) est une fonction d’utilité représentant R, toute fonction f(U(x)), où f : IR  IR est strictement croissante, est aussi une fonction d’utilité représentant R. On dit que la fonction d’utilité U(x) est ordinale. Ainsi, le terme "utilité" ne renvoie à aucune idée de mesure du bien-être, puisque le nombre U(x), associé au panier de consommation x, n’a aucune signification.

  20. 2.5 Fonction d’utilité Pour tout plan de consommation x dans X, on peut redéfinir les ensembles (~), (+) et (-), en utilisant U(x) : (+) = {x’  X ; U(x’) ≥ U(x)} ; (~) = {x’  X ; U(x’) = U(x)} ; (-) = {x’  X ; U(x) ≥ U(x’)}.

  21. 2.5.1 Propriétés Les propriétés suivantes de U(x) découlent des hypothèses posées sur R : • Elle est croissante : si x’ >> x, alors U(x’) > U(x). (Car R est monotone.) • Elle est strictement quasi-concave : pour tout x’ et x’’, U(t x’ + (1 – t) x’’) > min{U(x’), U(x’’)}, pour tout 0 < t < 1. (Car R est strictement convexe.)

  22. 2.5.2 Représentation graphique x2 Les courbes d’indif. ne se croisent pas. Elles tournent leur concavité vers l’origine. L’indice d’utilité asso-ciée croît à mesure qu’on s’éloigne de l’ori-gine. Utilité croissante x1

  23. 2.5 Exercices On considère le cas K = 2 et la fonction d’utilité U(x) = x1a x21–a, avec 0 < a < 1. (Famille des fonctions d’utilité dites Cobb-Douglas.) On prendra le cas où a = 1/2. Tracer les courbes d’indifférence U(x) = u, pour u = 0, 1, 2. Représenter les ensembles (+) et (-) associés au panier de bien x = (1, 1).

  24. 2.6 Hypothèses Ci-dessous, on admet l’hypothèse de concurrence pure et parfaite. On suppose donc que le consommateur considère les prix comme des données et pense pouvoir acheter ou vendre aux prix du marché toute quantité qu’il désire.

  25. 2.6 Hypothèses Les hypothèses suivantes sont implicites dans toute la théorie à suivre : • Information parfaite : Le consommateur connaît ses préférences, les prix et son revenu ; • Rationalité parfaite : Le consommateur peut résoudre, sans coût et sans erreur, n’importe quel problème d’optimisation sous contrainte.

  26. 2.7 L’équilibre du consommateur Le problème du consommateur est de choisir, dans son ensemble de consommation X et dans son ensemble de budget B, un panier de consommation x, pour obtenir une utilité U(x) la plus grande possible.

  27. 2.7 L’équilibre du consommateur On définit un équilibre du consommateur comme toute solution x* du problème de maximisation de l’utilité suivant : Max U(x), sous les contraintes : x  X, Σk pk xk R.

  28. 2.7.1 Questions techniques Sous les hypothèses retenues, il existe un unique équilibre du consommateur. L’existence découle du fait qu’on maximise une fonction continue sur un ensemble non vide, fermé et borné. L’unicité découle de la quasi-concavité stricte de la fonction d’utilité (ou, de façon équivalente, de la convexité stricte de R).

  29. 2.7.2 Détermination graphique x2 Le pb revient à trouver x dans X et B, qui soit sur une courbe d’indif. la plus éloignée possible de l’origine. L’équilibre x* se situe au point de tangence entre cette courbe d’indif. et la droite de budget (pour une sol° intérieure). R/p2 x* • XB R/p1 x1

  30. 2.7.3 Conditions marginales On suppose ici que la fonction d’utilité U(x) est continûment différentiable. On définit le taux marginal de substitution en x du bien 1 par le bien k, noté TMS1k, par : TMS1k = U1’(x)/Uk’(x).

  31. 2.7.3 Conditions marginales Le TMS1k en x mesure le nombre d’unités du bien k qui, compte tenu des préférences du consommateur, sont nécessaires pour compenser la perte d’une unité (infiniment petite) du bien 1, à partir du panier de consommation x. Graphiquement, c’est la pente, au point x, de la courbe d’indifférence passant par x (en valeur absolue), dans le plan (O, x1, xk).

  32. 2.7.3 Conditions marginales x2 Si l’éq. x* du conso. est intérieur à X, la courbe d’indif. passant par x* et la droite de budget sont tangentes en x*. Donc, elles ont même pente : TMS12 = p1/p2, et x* appartient à la droite de budget. R/p2 x* • TMS12 XB p1/p2 R/p1 x1 NB : Les pentes sont données en v.a.

  33. 2.7.3 Conditions marginales En généralisant, on obtient l’importante propriété : S’il est intérieur à X, un équilibre du consommateur x* vérifie les conditions : TMS1k = p1/pk, pour k = 1, …, K, Σk pk xk* = R, où les TMS1k sont calculés en x*.

  34. 2.7.3 Conditions marginales On peut la retrouver à l’aide du Th. du Lagrangien. Si x* est une solution intérieure du problème de maximisation de l’utilité, il existe un nombre a (appelé multiplicateur de Lagrange) et une fonction (appelée fonction Lagrangienne) : L(x) = U(x) – a (Σk pk xk– R), tels que x* vérifie les conditions : Lk’(x*) = Uk’(x*) – a pk = 0, pour k = 1, …, K, Σk pk xk* = R.

  35. 2.7 Exercices • Construire une figure où l’équilibre du consommateur est sur la frontière de l’ensemble de consommation. • Calculer l’équilibre du consommateur dans le cas d’une fonction Cobb-Douglas, avec a = p1 = p2 = 1/2 et R = 1.

  36. 2.8 Problème dual Pour la suite, on doit aussi étudier le problème de minimisation de la dépense suivant : Min p•x = Σk pk xk, sous les contraintes : x  X, U(x) ≥ u.

  37. 2.8.1 Questions techniques Sous les hypothèses retenues, il a une solution unique. L’existence découle du fait qu’on maximise une fonction continue sur un ensemble non vide, fermé et borné inférieurement. L’unicité découle de la quasi-concavité stricte de la fonction d’utilité (ou, de façon équivalente, la convexité stricte de R).

  38. 2.8.2 Détermination graphique x2 Le pb revient à trouver x  X tel que U(x) ≥ u, qui soit sur une droite de budget p•x = Cste la plus proche possible de l’origine. L’équilibre x* se situe au point de tangence de cette droite avec la courbe d’indif. U(x) = u (pour une sol° intérieure). U(x) ≥ u x* • • x1 Droites de budget : p•x = Cste

  39. 2.8.3 Conditions marginales Supposons à nouveau que U(x) soit continûment différentiable. La propriété suivante caractérise une solution intérieure du problème de minimisation de la dépense. Si elle est intérieure à X, une solution x* du problème de minimisation de la dépense vérifie les conditions : TMS1k = p1/pk, pour k = 1, …, K, U(x*) = u, où les TMS1k sont calculés en x*.

  40. 2.8.3 Conditions marginales x2 U(x) = u Ce graphique illustre et justifie la propriété précédente. La solution x* du pb est au point de tangence entre la courbe d’indif. et la droite de budget. Donc, TMS12 = p1/p2 et U(x*) = u. x* • • TMS12 p1/p2 x1

  41. 2.9 Définitions des fonctions de demande On peut déduire des problèmes précédents les définitions de deux fonctions de demande. Le problème de maximisation de l’utilité détermine une fonction de demande dite marshallienne (ou non compensée). Le problème de minimisation de la dépense détermine une fonction de demande dite hicksienne (ou compensée). Elles sont bien définies, du fait de l’existence et de l’unicité des solutions.

  42. 2.9.1 Fonctions de demande marshalliennes On définit la f° de demande marshallienne (ou non compensée), comme la fonction d(p, R), qui associe à tout vecteur de prix p = (p1, …, pK) et à tout revenu R, la solution correspondante x* = (x1*, …, xK*) du problème de maximisation de l’utilité.

  43. 2.9.2 Fonctions de demande hicksiennes On définit la f° de demande hicksienne (ou compensée), comme la fonction h(p, u), qui associe à tout vecteur de prix p = (p1, …, pK) et à tout niveau d’utilité u ≥ U(0), la solution correspondante x* = (x1*, …, xK*) du problème de minimisation de la dépense.

  44. 2.9 Exercices En considérant la famille des fonctions d’utilité Cobb-Douglas U(x) = x1a x21–a, avec 0 < a < 1, montrer que : • les f° de demande marshalliennes s’écrivent : d1(p1, p2, R) = a R/p1 ; d2(p1, p2, R) = (1–a) R/p2. • les f° de demande hicksiennes s’écrivent : h1(p1, p2, u) = [ap2/(1–a)p1]1–a u ; h2(p1, p2, u) = [(1–a)p1/ap2]a u.

  45. 2.10 Propriétés des f° de demande La fonction de demande marshallienne vérifie les propriétés suivantes : • Elle est homogène de degré 0 : d(t p, t R) = d(p, R), pour tout t > 0 ; • Elle vérifie la loi de Walras : Σk pk dk(p, R) = R ; • Elle est continue.

  46. 2.10 Propriétés x2 Si on multiplie tous les prix et le revenu par un même nombre positif, le problème du conso. est inchangé (l’ens. XB et la famille des courbes d’indif. ne changent pas) et a donc même solution. R/p2 x* • XB R/p1 x1 Preuve de la première propriété.

  47. 2.10 Propriétés x2 Si x* est intérieur à B, il existe x’ dans XB tel que x’ >> x*. Or, comme les préf. sont monotones, on a alors U(x’) > U(x*). Ceci contredit le fait que x* soit équilibre du conso. R/p2 • x’ • x* XB R/p1 x1 Preuve (par l’absurde) de la seconde propriété.

  48. 2.10 Propriétés On a des propriétés similaires pour la fonction de demande hicksiennes : • Elle est homogène de degré 0 en p : h(t p, u) = h(p, u), pour tout t > 0 ; • Elle vérifie : U(h(p, u)) = u ; • Elle est continue.

  49. 2.10 Propriétés x2 U(x) = u Si on multiplie tous les prix par un même nombre positif, le pb de min° de la dép. est inchangée (mêmes contraintes, même objectif). Il a donc même solution. x* • • x1 Preuve de la première propriété.

  50. 2.10 Propriétés x2 U(x) = u Si U(x*) > u, posons x’ = t x*, 0 < t < 1. Pour t assez proche de 1, on a : U(x’) ≥ u (car U est continue) et x’ << x*. Donc, x* n’est pas sol° du pb de minimisation de la dépense (car on a p•x’ < p•x* et U(x’) ≥ u). x* • x’ • x1 Preuve (par l’absurde) de la seconde propriété.