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Microéconomie. Sébastien Rouillon 2008. 1. Th. du choix rationnel. On note : A = {a, b, …} = l’ens. des choix possibles ; R = une relation de préférence, déf. sur A. La proposition : a R b se lit : "le choix a est au moins aussi bon que le choix b". 1. Th. du choix rationnel.

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micro conomie

Microéconomie

Sébastien Rouillon

2008

1 th du choix rationnel
1. Th. du choix rationnel

On note :

A = {a, b, …} = l’ens. des choix possibles ;

R = une relation de préférence, déf. sur A.

La proposition :

a R b

se lit :

"le choix a est au moins aussi bon que le choix b".

1 th du choix rationnel3
1. Th. du choix rationnel

On dit que la relation de préférence R est rationnelle si :

  • elle est complète : pour tout x et y de A, on a x R y ou y R x ;
  • elle est transitive : pour tout x, y et z de A, si x R y et y R z, alors x R z.
1 th du choix rationnel4
1. Th. du choix rationnel

On déduit de R une relation :

  • de préférence stricte, notée P :

a P b équivaut à : a R b et non b R a.

  • d’indifférence, notée I :

a I b équivaut à : a R b et b R a.

1 th du choix rationnel5
1. Th. du choix rationnel

La fonction U(x), définie sur A, représente R si, pour tout x et y dans A, x R y équivaut à U(x) ≥ U(y).

On dit alors que U est une fonction d’utilité représentant la relation de préférence R.

2 le consommateur
2. Le consommateur

Le problème du consommateur est de choisir quelles quantités acheter des biens disponibles dans l’économie.

Notons :

K = le nombre de biens disponibles ;

x = (x1, …, xK)  IRK = un plan de consommation du consommateur.

2 1 l ensemble de consommation
2.1 L’ensemble de consommation

Les choix du consommateur sont limités par des contraintes physiques et/ou légales.

Par ex. :

  • le temps de loisir est au plus égal à 24h/j ;
  • en Europe, le temps de travail ne peut pas dépasser 48h par semaine.
2 1 l ensemble de consommation8
2.1 L’ensemble de consommation

On définit l’ensemble de consommation, noté X, comme tous les plans de consommation compatibles avec ces contraintes.

Sauf mention contraire, on supposera que :

X = {x  IRK ; xk ≥ 0, pour k = 1, …, K}

2 2 l ensemble de budget
2.2 L’ensemble de budget

Les choix du consommateur sont aussi limités par les prix des biens et son revenu.

On note :

p = (p1, …, pK) = le vecteur de prix (p >> 0) ;

R = le revenu du consommateur (R > 0).

2 2 l ensemble de budget10
2.2 L’ensemble de budget

On définit l’ensemble de budget, noté B, comme tous les plans de consommation coûtant au plus le revenu du consommateur :

B = {x  IRK ; p•x = Σk pk xk R}

2 3 repr sentation graphique
2.3 Représentation graphique

x2

Le consommateur

doit choisir un plan

de consommation

dans X (contraintes

physiques et/ou légales)

et dans B (contraintes

économiques).

X

B

XB

x1

Droite de budget

2 4 les pr f rences du consommateur
2.4 Les préférences du consommateur

On note R la relation de préférence du consommateur, définie sur son ensemble de consommation X.

Par la suite, on suppose (sauf mention contraire) que R est rationnelle, monotone, strictement convexe et continue.

2 4 les pr f rences du consommateur13
2.4 Les préférences du consommateur

Pour tout panier de consommation x dans X, on peut définir trois sous-ensembles de X :

  • l’ens. des paniers au moins aussi bon que x :

(+) = {x’  X ; x’ R x} ;

  • l’ens. des paniers équivalents à x :

(~) = {x’  X ; x’ I x} ;

  • l’ens. des paniers au plus aussi bon que x :

(-) = {x’  X ; x R x’}.

2 4 1 pr f rences monotones
2.4.1 Préférences monotones

x2

On dit que R est

monotone si, pour

tout x et x’ dans X,

x’ >> x implique x’ P x.

Donc, l’ens. (+) des

points au moins aussi

bien que x contient

tous les points au NE

de x.

x’

x

x1

2 4 2 pr f rences strictement convexes
2.4.2 Préférences strictement convexes

x2

On dit que R est strict.

convexe si, pour tout x,

x’ R x et x’’ R x

impliquent que

(t x’ + (1–t) x’’) P x,

pour tout 0 < t < 1.

Cela implique que l’ens.

(+) des points au moins

aussi bien que x est

convexe.

x’

x’’

x

x1

2 4 3 pr f rences continues
2.4.3 Préférences continues

x2

On dit que R est

continue si, pour tout x,

l’ens. (+) des points au

moins aussi bien que x

et l’ens. (-) des points

au plus aussi bien que x

sont tous les deux

fermés (ils contiennent

leur frontière).

(+)

(~)

x

(-)

x1

Courbe d’indifférence

2 5 fonction d utilit
2.5 Fonction d’utilité

La proposition suivante justifie l’intérêt de supposer la continuité de R :

Si la relation de préférences R du consommateur est rationnelle et continue, il existe une fonction d’utilité U(x) continue représentant R.

2 5 fonction d utilit18
2.5 Fonction d’utilité

Il convient de comprendre qu’ainsi construite, une fonction d’utilité n’est qu’une autre manière (plus commode mathématiquement) de représenter les préférences du consommateur.

C’est un indice, construit pour représenter un classement des paniers de biens.

2 5 fonction d utilit19
2.5 Fonction d’utilité

La propriété suivante peut aider à y voir plus clair :

Si U(x) est une fonction d’utilité représentant R, toute fonction f(U(x)), où f : IR  IR est strictement croissante, est aussi une fonction d’utilité représentant R.

On dit que la fonction d’utilité U(x) est ordinale.

Ainsi, le terme "utilité" ne renvoie à aucune idée de mesure du bien-être, puisque le nombre U(x), associé au panier de consommation x, n’a aucune signification.

2 5 fonction d utilit20
2.5 Fonction d’utilité

Pour tout plan de consommation x dans X, on peut redéfinir les ensembles (~), (+) et (-), en utilisant U(x) :

(+) = {x’  X ; U(x’) ≥ U(x)} ;

(~) = {x’  X ; U(x’) = U(x)} ;

(-) = {x’  X ; U(x) ≥ U(x’)}.

2 5 1 propri t s
2.5.1 Propriétés

Les propriétés suivantes de U(x) découlent des hypothèses posées sur R :

  • Elle est croissante : si x’ >> x, alors U(x’) > U(x). (Car R est monotone.)
  • Elle est strictement quasi-concave : pour tout x’ et x’’, U(t x’ + (1 – t) x’’) > min{U(x’), U(x’’)}, pour tout 0 < t < 1. (Car R est strictement convexe.)
2 5 2 repr sentation graphique
2.5.2 Représentation graphique

x2

Les courbes d’indif. ne se croisent pas.

Elles tournent leur concavité vers l’origine.

L’indice d’utilité asso-ciée croît à mesure qu’on s’éloigne de l’ori-gine.

Utilité

croissante

x1

2 5 exercices
2.5 Exercices

On considère le cas K = 2 et la fonction d’utilité U(x) = x1a x21–a, avec 0 < a < 1. (Famille des fonctions d’utilité dites Cobb-Douglas.)

On prendra le cas où a = 1/2.

Tracer les courbes d’indifférence U(x) = u, pour u = 0, 1, 2.

Représenter les ensembles (+) et (-) associés au panier de bien x = (1, 1).

2 6 hypoth ses
2.6 Hypothèses

Ci-dessous, on admet l’hypothèse de concurrence pure et parfaite. On suppose donc que le consommateur considère les prix comme des données et pense pouvoir acheter ou vendre aux prix du marché toute quantité qu’il désire.

2 6 hypoth ses25
2.6 Hypothèses

Les hypothèses suivantes sont implicites dans toute la théorie à suivre :

  • Information parfaite : Le consommateur connaît ses préférences, les prix et son revenu ;
  • Rationalité parfaite : Le consommateur peut résoudre, sans coût et sans erreur, n’importe quel problème d’optimisation sous contrainte.
2 7 l quilibre du consommateur
2.7 L’équilibre du consommateur

Le problème du consommateur est de choisir, dans son ensemble de consommation X et dans son ensemble de budget B, un panier de consommation x, pour obtenir une utilité U(x) la plus grande possible.

2 7 l quilibre du consommateur27
2.7 L’équilibre du consommateur

On définit un équilibre du consommateur comme toute solution x* du problème de maximisation de l’utilité suivant :

Max U(x),

sous les contraintes :

x  X,

Σk pk xk R.

2 7 1 questions techniques
2.7.1 Questions techniques

Sous les hypothèses retenues, il existe un unique équilibre du consommateur.

L’existence découle du fait qu’on maximise une fonction continue sur un ensemble non vide, fermé et borné.

L’unicité découle de la quasi-concavité stricte de la fonction d’utilité (ou, de façon équivalente, de la convexité stricte de R).

2 7 2 d termination graphique
2.7.2 Détermination graphique

x2

Le pb revient à trouver

x dans X et B, qui soit

sur une courbe d’indif.

la plus éloignée possible

de l’origine. L’équilibre

x* se situe au point de

tangence entre cette

courbe d’indif. et la

droite de budget (pour

une sol° intérieure).

R/p2

x*

XB

R/p1

x1

2 7 3 conditions marginales
2.7.3 Conditions marginales

On suppose ici que la fonction d’utilité U(x) est continûment différentiable.

On définit le taux marginal de substitution en x du bien 1 par le bien k, noté TMS1k, par :

TMS1k = U1’(x)/Uk’(x).

2 7 3 conditions marginales31
2.7.3 Conditions marginales

Le TMS1k en x mesure le nombre d’unités du bien k qui, compte tenu des préférences du consommateur, sont nécessaires pour compenser la perte d’une unité (infiniment petite) du bien 1, à partir du panier de consommation x.

Graphiquement, c’est la pente, au point x, de la courbe d’indifférence passant par x (en valeur absolue), dans le plan (O, x1, xk).

2 7 3 conditions marginales32
2.7.3 Conditions marginales

x2

Si l’éq. x* du conso. est

intérieur à X, la courbe

d’indif. passant par x*

et la droite de budget

sont tangentes en x*.

Donc, elles ont même

pente : TMS12 = p1/p2,

et x* appartient à la

droite de budget.

R/p2

x*

TMS12

XB

p1/p2

R/p1

x1

NB : Les pentes sont données en v.a.

2 7 3 conditions marginales33
2.7.3 Conditions marginales

En généralisant, on obtient l’importante propriété :

S’il est intérieur à X, un équilibre du consommateur x* vérifie les conditions :

TMS1k = p1/pk, pour k = 1, …, K,

Σk pk xk* = R,

où les TMS1k sont calculés en x*.

2 7 3 conditions marginales34
2.7.3 Conditions marginales

On peut la retrouver à l’aide du Th. du Lagrangien.

Si x* est une solution intérieure du problème de maximisation de l’utilité, il existe un nombre a (appelé multiplicateur de Lagrange) et une fonction (appelée fonction Lagrangienne) :

L(x) = U(x) – a (Σk pk xk– R),

tels que x* vérifie les conditions :

Lk’(x*) = Uk’(x*) – a pk = 0, pour k = 1, …, K,

Σk pk xk* = R.

2 7 exercices
2.7 Exercices
  • Construire une figure où l’équilibre du consommateur est sur la frontière de l’ensemble de consommation.
  • Calculer l’équilibre du consommateur dans le cas d’une fonction Cobb-Douglas, avec a = p1 = p2 = 1/2 et R = 1.
2 8 probl me dual
2.8 Problème dual

Pour la suite, on doit aussi étudier le problème de minimisation de la dépense suivant :

Min p•x = Σk pk xk,

sous les contraintes :

x  X,

U(x) ≥ u.

2 8 1 questions techniques
2.8.1 Questions techniques

Sous les hypothèses retenues, il a une solution unique.

L’existence découle du fait qu’on maximise une fonction continue sur un ensemble non vide, fermé et borné inférieurement.

L’unicité découle de la quasi-concavité stricte de la fonction d’utilité (ou, de façon équivalente, la convexité stricte de R).

2 8 2 d termination graphique
2.8.2 Détermination graphique

x2

Le pb revient à trouver

x  X tel que U(x) ≥ u,

qui soit sur une droite

de budget p•x = Cste

la plus proche possible

de l’origine.

L’équilibre x* se situe

au point de tangence

de cette droite avec

la courbe d’indif.

U(x) = u (pour une sol°

intérieure).

U(x) ≥ u

x*

x1

Droites de budget :

p•x = Cste

2 8 3 conditions marginales
2.8.3 Conditions marginales

Supposons à nouveau que U(x) soit continûment différentiable.

La propriété suivante caractérise une solution intérieure du problème de minimisation de la dépense.

Si elle est intérieure à X, une solution x* du problème de minimisation de la dépense vérifie les conditions :

TMS1k = p1/pk, pour k = 1, …, K,

U(x*) = u,

où les TMS1k sont calculés en x*.

2 8 3 conditions marginales40
2.8.3 Conditions marginales

x2

U(x) = u

Ce graphique illustre

et justifie la propriété

précédente.

La solution x* du pb

est au point de tangence

entre la courbe d’indif.

et la droite de budget.

Donc, TMS12 = p1/p2 et

U(x*) = u.

x*

TMS12

p1/p2

x1

2 9 d finitions des fonctions de demande
2.9 Définitions des fonctions de demande

On peut déduire des problèmes précédents les définitions de deux fonctions de demande.

Le problème de maximisation de l’utilité détermine une fonction de demande dite marshallienne (ou non compensée).

Le problème de minimisation de la dépense détermine une fonction de demande dite hicksienne (ou compensée).

Elles sont bien définies, du fait de l’existence et de l’unicité des solutions.

2 9 1 fonctions de demande marshalliennes
2.9.1 Fonctions de demande marshalliennes

On définit la f° de demande marshallienne (ou non compensée), comme la fonction d(p, R), qui associe à tout vecteur de prix p = (p1, …, pK) et à tout revenu R, la solution correspondante x* = (x1*, …, xK*) du problème de maximisation de l’utilité.

2 9 2 fonctions de demande hicksiennes
2.9.2 Fonctions de demande hicksiennes

On définit la f° de demande hicksienne (ou compensée), comme la fonction h(p, u), qui associe à tout vecteur de prix p = (p1, …, pK) et à tout niveau d’utilité u ≥ U(0), la solution correspondante x* = (x1*, …, xK*) du problème de minimisation de la dépense.

2 9 exercices
2.9 Exercices

En considérant la famille des fonctions d’utilité Cobb-Douglas U(x) = x1a x21–a, avec 0 < a < 1, montrer que :

  • les f° de demande marshalliennes s’écrivent :

d1(p1, p2, R) = a R/p1 ;

d2(p1, p2, R) = (1–a) R/p2.

  • les f° de demande hicksiennes s’écrivent :

h1(p1, p2, u) = [ap2/(1–a)p1]1–a u ;

h2(p1, p2, u) = [(1–a)p1/ap2]a u.

2 10 propri t s des f de demande
2.10 Propriétés des f° de demande

La fonction de demande marshallienne vérifie les propriétés suivantes :

  • Elle est homogène de degré 0 : d(t p, t R) = d(p, R), pour tout t > 0 ;
  • Elle vérifie la loi de Walras : Σk pk dk(p, R) = R ;
  • Elle est continue.
2 10 propri t s
2.10 Propriétés

x2

Si on multiplie tous les

prix et le revenu par un

même nombre positif,

le problème du conso.

est inchangé (l’ens. XB

et la famille des courbes

d’indif. ne changent pas)

et a donc même solution.

R/p2

x*

XB

R/p1

x1

Preuve de la première propriété.

2 10 propri t s47
2.10 Propriétés

x2

Si x* est intérieur à B, il existe x’ dans XB tel que x’ >> x*.

Or, comme les préf. sont monotones, on a alors U(x’) > U(x*).

Ceci contredit le fait que x* soit équilibre du conso.

R/p2

x’

x*

XB

R/p1

x1

Preuve (par l’absurde)

de la seconde propriété.

2 10 propri t s48
2.10 Propriétés

On a des propriétés similaires pour la fonction de demande hicksiennes :

  • Elle est homogène de degré 0 en p : h(t p, u) = h(p, u), pour tout t > 0 ;
  • Elle vérifie : U(h(p, u)) = u ;
  • Elle est continue.
2 10 propri t s49
2.10 Propriétés

x2

U(x) = u

Si on multiplie tous les

prix par un même

nombre positif, le pb

de min° de la dép. est

inchangée (mêmes

contraintes, même

objectif). Il a donc

même solution.

x*

x1

Preuve de la première propriété.

2 10 propri t s50
2.10 Propriétés

x2

U(x) = u

Si U(x*) > u, posons

x’ = t x*, 0 < t < 1. Pour t assez proche de 1, on a : U(x’) ≥ u (car U est continue) et x’ << x*.

Donc, x* n’est pas sol°

du pb de minimisation

de la dépense (car on a

p•x’ < p•x* et U(x’) ≥ u).

x*

x’

x1

Preuve (par l’absurde)

de la seconde propriété.

2 10 exercices
2.10 Exercices

En considérant la famille des fonctions d’utilité Cobb-Douglas U(x) = x1a x21–a, avec 0 < a < 1, vérifier ces propriétés des fonctions de demande marshallienne et hicksienne.

2 11 variations du revenu
2.11 Variations du revenu

x2

Sentier

d’expansion

du revenu

Une var° du rev. se

traduit par un déplace-

ment parallèle de la

droite de budget.

Les éq. du conso.

consécutifs décrivent

une courbe, appelée

sentier d’expansion du

revenu.

x+

x*

x-

x1

R- < R < R+

2 11 variations du revenu53
2.11 Variations du revenu

Sur la figure précédente, la demande des deux biens augmente avec le revenu.

On parle de biens supérieurs.

Il est possible de construire des exemples où la demande d’un des biens diminue avec le revenu.

On parle de biens inférieurs.

2 11 exercices
2.11 Exercices
  • Donner un exemple de graphique où le bien 1 est un bien inférieur.
  • Déterminer l’expression du sentier d’expansion du revenu pour la famille des fonctions d’utilité Cobb-Douglas.
2 12 variations des prix
2.12 Variations des prix

x2

On représente ici

l’effet d’une variation

du prix du bien 1

(de p1 à p1’ ou à p1’’).

En parcourant tous les

prix p1 possibles, puis

en reliant les équilibres

associés, on trace une

courbe, dite courbe

prix-consommation.

Courbe

prix-

conso.

R/p2

x’

x’’

x*

R/p1

x1

p1’ > p1 > p1’’

2 12 variations des prix56
2.12 Variations des prix

x1

Dans le plan (O, p1, x1),

il découle de la figure

précédente la repré-

sentation suivante

d’une courbe de

demande (p2 et R étant

donnés).

d1(p1, p2, R)

x1’’

x1*

x1’

p1’’

p1

p1’

p1

2 12 variations du prix
2.12 Variations du prix

En se reportant à la première figure, on constate que :

  • la demande du bien 1 diminie avec p1 ;
  • celle du bien 2 augmente avec p1.

Ceci paraît intuitif.

L’exemple suivant montre que d’autres cas sont possibles.

2 12 variations des prix58
2.12 Variations des prix

x2

Dans cet exemple, le

prix du bien 1 passe de

p1 à p1’, avec p1’ > p1.

L’éq. du conso. passe de

de x* à x’.

Comme x1’ > x1*, la dem.

du bien 1 augmente

avec son prix !

R/p2

x*

x’

R/p1’

x1

R/p1

2 12 variations du prix59
2.12 Variations du prix

Pour y voir clair, il faut comprendre qu’une hausse de p1 (p2 et R restant inchangés par ailleurs) produit à la fois :

  • Un effet de prix relatifs : le bien 1 devient plus cher, par rapport au bien 2 ;
  • Un effet de revenu : le pouvoir d’achat du consommateur diminue.
2 12 variations des prix60
2.12 Variations des prix

x2

Dans la 1-ière fig.,

ajoutons, pour l’analyse,

la droite de budget en

pointillés, associée au

prix p1’ et à un rev. R’,

ce dernier étant calculé

pour que l’éq. du conso.

associé x’’, soit sur la

courbe d’indif. initiale.

On appelle R’ le revenu

compensé.

R/p2

x’’

x’

x*

R/p1’

R/p1

x1

R’/p1’

2 12 variations du prix61
2.12 Variations du prix

Cette construction a l’avantage de permettre de décomposer le passage de x* à x’ en :

  • Un effet de substitution, de x* à x’’, prenant en compte uniquement la modification des prix relatifs ;
  • Un effet de revenu, de x’’ à x’, prenant en compte uniquement la variation du pouvoir d’achat.
2 12 variations des prix62
2.12 Variations des prix

La propriété suivante permet d’affirmer que l’effet de substitution joue bien dans le sens attendu.

Pour tous vecteurs de prix p’ et p’’ strictement positifs, la fonction de demande Hicksienne h(p, u) vérifie :

(p’’ – p’)•(h(p’’, u) – h(p’, u))  0.

Autrement dit, elle satisfait la "loi de la demande" (les prix et les quantité variant en sens inverses).

2 12 variations du prix63
2.12 Variations du prix

Pour montrer cette propriété, notons x’ = h(p’, u) et x’’ = h(p’’, u).

Comme (par déf°), pour tout p et u, h(p, u) minimise la dépense p•x pour atteindre l’utilité U(x) = u, on a en particulier :

p’’•x’’  p’’•x’ et p’•x’’ ≥ p’•x’.

En soustrayant membres à membres, on obtient :

(p’’ – p’)•x’’  (p’’ – p’)•x’,

d’où découle directement le résultat.

2 12 exercices
2.12 Exercices

Soit un consommateur, caractérisé par une fonction d’utilité U(x) = x11/2 x21/2.

Dans l’état initial, où p1 = p2 = 1/2 et R = 1, calculer l’équilibre du consommateur x*.

Même question dans l’état final, où p1 = 1, p2 et R restant inchangé, en notant x’ la solution.

Décomposer le passage de x* à x’ pour mettre en évidence les effet de sub° et de rev. (Trouver la solution x’’ du problème de minimisation de la dépense pour atteindre l’utilité de l’état initial U(x*) avec les prix de l’état final.)

2 13 exercices r capitulatifs
2.13 Exercices récapitulatifs
  • Refaire tous les exercices, pour le cas où la fonction d’utilité est du type Leontief :

U(x) = Min{a x1 ; (1–a) x2}, 0 < a < 1.

Pour l’exercice 2.12, on posera a = 1/2, pour pouvoir comparer.

2 13 exercices r capitulatifs66
2.13 Exercices récapitulatifs
  • Refaire tous les exercices, pour le cas où la fonction d’utilité est du type CES :

U(x) = (a x1r + (1–a) x2r)1/r, r  0 < 1,

où CES est l’abbréviation de Constant Elasticity of Substitution.

Laisser de côté l’exercice 2.12

2 14 compl ments
2.14 Compléments

On définit la fonction d’utilité indirecte, notée v(p, R), comme la fonction associant à tout vecteur de prix p et à tout revenu R, le niveau d’utilité obtenu à l’équilibre du consommateur :

v(p, R) = U(d(p, R)).

2 13 compl ments
2.13 Compléments

On a la propriété suivante, appelée identité de Roy :

v(p, R)/pk

dk(p, R) = – , k = 1, …, K.

v(p, R)/R

Elle permet de calculer les fonctions de dem. marshalliennes dk(p, R), à partir de la fonction d’utilité indirecte v(p, R).

2 13 compl ments69
2.13 Compléments

On définit la fonction de dépense, notée e(p, u), comme la fonction associant à tout vecteur de prix p et à toute utilité u, la dépense minimum pour atteindre l’utilité u :

e(p, u) = Σk pk hk(p, u).

2 13 compl ments70
2.13 Compléments

On a la propriété suivante :

hk(p, u) = – e(p, u)/pk, k = 1, …, K.

Elle permet de calculer les fonctions de dem. marshalliennes dk(p, w) à partir de la fonction de dépenses e(p, u).

2 13 compl ments71
2.13 Compléments

Enfin, on a la propriété suivante, appelée équation de Slutsky :

xi(p, R) hi(p, R) xi(p, R)

= + xj(p, R),

pj pj R

pour tout i, j = 1, …, K.

Cette équation exprime la décomposition des effets de revenu et de substitution sous forme analytique.

2 13 exercice
2.13 Exercice

En considérant la famille des fonctions d’utilité Cobb-Douglas U(x) = x1a x21–a, avec 0 < a < 1, vérifier l’ensemble des ces résultats.

3 le producteur
3. Le Producteur

Le problème du producteur est de choisir quelles quantités produire des biens k = 1, …, K.

Notons :

y = (y1, …, yK)  IRK = un plan de p°,

où, par convention, une composante yk positive représente un output et une composante yk négative représente un input.

3 1 la technologie du producteur
3.1 La technologie du producteur

Du fait de contraintes techniques et/ou institutionnelles, certains plans de production y sont réalisables, d’autres non.

Par ex. :

  • La production d’une automobile nécessite au moins une tonne d’acier ;
  • La durée du travail hebdomadaire est limitée légalement à 48h.
3 1 la technologie du producteur75
3.1 La technologie du producteur

En toute généralité, on représente la technologie du producteur comme un sous-ensemble Y de IRK, appelé ensemble de production, tel qu’un plan de production y est réalisable si, et seulement si, il appartient à Y.

La technologie est alors implicitement déterminée par les propriétés de l’ensemble de production Y.

3 1 1 hypoth ses
3.1.1 Hypothèses

Par la suite, on admet toujours que l’ensemble de production Y est non vide, fermé (il contient sa frontière) et convexe.

La convexité de l’ensemble de production Y signifie que si y et y’ sont deux plans de production réalisables (i.e., éléments de Y), le plan de production t y + (1-t) y’ est aussi réalisable, pour tout 0 < t < 1.

3 1 2 exemple
3.1.2 Exemple

y2

Cette fig. donne un ex.

d’ens. de p° Y non vide,

fermé et convexe.

Comme Y est fermé,

il contient sa frontière.

Comme Y est convexe,

il contient tout segment

joignant deux quelcon-

que de ces points.

y’

y’’

Y

y1

3 1 3 autres propri t s
3.1.3 Autres propriétés

On énumère ci-dessous d’autres propriétés souvent utilisées des ensembles de production :

  • Non gratuité :

Y IR++K =  ;

  • Destruction sans coût des excédents :

Si y  Y et y’  y, alors y’  Y ;

  • Irréversibilité :

Si y  Y et y  0, alors - y  Y ;

  • Rendements d’échelle constants :

Si y  Y, alors t y  Y, pour tout t > 0.

3 1 3 autres propri t s79
3.1.3 Autres propriétés

y2

Cette fig. représente

un ens. de p° vérifiant

la condition de rdts

d’échelle constants.

Elle traduit l’idée

naturelle selon laquelle

un plan de p° peut être

répliqué à différentes

échelles.

y

y1

Y

3 1 3 fronti re de transformation
3.1.3 Frontière de transformation

y2

On dit que le plan de

production y  Y est

efficace s’il n’existe

aucun autre plan de

production y’  Y tel

que y’ ≥ y.

On appelle frontière

de transformation

l’ens. des plans de p°

efficaces.

Graphiquement, c’est

la frontière NE de Y.

y

Y

y1

Frontière de

transformation

3 2 fonction de transformation
3.2 Fonction de transformation

Une fonction F(y), définie sur IRK, représente l’ensemble de production Y si :

F(y)  0  y  Y ;

F(y) = 0  y est efficace.

On dit que F(y) est une fonction de transformation représentant la technologie Y.

3 2 exercices
3.2 Exercices

Représenter les ensembles de production Y, associés aux fonctions de transformation suivantes :

F(y) = y1 + y2 ;

F(y) = y1 + (y2)2, si y1 0,

> 0, sinon.

3 3 l quilibre du producteur
3.3 L’équilibre du producteur

Dans ce chapitre, on admet l’hypothèse de concurrence pure et parfaite.

On suppose donc que le producteur considère les prix comme des données et pense pouvoir acheter ou vendre aux prix du marché toute quantité qu’il désire.

3 3 l quilibre du producteur84
3.3 L’équilibre du producteur

Le problème du producteur est de choisir, dans son ensemble de production Y, un plan de production y, afin de réaliser un profit p = p•y = Σk pk yk le plus grand possible.

3 3 l quilibre du producteur85
3.3 L’équilibre du producteur

On définit un équilibre du producteur comme toute solution y* du problème de maximisation du profit :

max Σk pk yk,

sous la contrainte :

yY.

3 3 1 d termination graphique
3.3.1 Détermination graphique

y2

Le pb revient à choisir

y dans Y, qui soit sur

une droite d’iso-profit

p•y = p la plus éloignée possible de l’origine.

L’équilibre y* se situe au point de tangence

de cette droite d’iso-profit avec la frontière de transformation.

y*

Y

Y

y1

Droites d’iso-profit,

d’équation p•y = p.

3 3 2 questions techniques
3.3.2 Questions techniques

p’’•y = p

y2

  • L’existence et l’unicité
  • ne sont pas assurées,
  • sous les hyp. retenues.
  • Dans cet exemple :
  • - il n’y a pas d’équilibre
  • pour les prix p’ ;
  • il y a une infinité
  • d’équilibres pour les
  • prix p’’.

p’•y = p

Y

y1

3 3 3 conditions marginales
3.3.3 Conditions marginales

On suppose ici que la fonction de transformation F(y) est continûment différentiable.

Pour tout plan de production efficace y (c’est-à-dire, vérifiant F(y) = 0), on définit le taux marginal de transformation en y du bien 1 en bien k, noté TMT1k, par :

TMT1k = F1’(y)/Fk’(y).

3 3 3 conditions marginales89
3.3.3 Conditions marginales

Le TMT1k en y mesure le nombre d’unités supplémentaires du bien k que le producteur peut produire, s’il diminue d’une unité (infiniment petite) sa production du bien 1, à partir du plan de production efficace y.

Graphiquement, c’est la pente, au point y, de la frontière de transformation (en valeur absolue), dans le plan (O, y1, yk).

3 3 3 conditions marginales90
3.3.3 Conditions marginales

p1/p2

y2

Si y* est un éq. du prod.,

la droite d’isoprofit

passant par y* et la

frontière de transfor-

mation sont tangentes

en y*.

Donc, elles ont même

pente : TMT12 = p1/p2,

et y* vérifie F(y*) = 0.

TMT12

y*

y1

3 3 3 conditions marginales91
3.3.3 Conditions marginales

En généralisant, on obtient l’importante propriété :

Un équilibre du producteur y* vérifie les conditions :

TMT1k = p1/pk, pour k = 1, …, K,

F(y*) = 0,

où les TMT1k sont calculés en y*.

3 3 3 conditions marginales92
3.3.3 Conditions marginales

On peut la retrouver à l’aide du Th. du Lagrangien.

Si y* est une solution du problème de maximisation du profit, il existe un multiplicateur de Lagrange a et une fonction Lagrangienne :

L(y) = Σk pk yk – a F(y),

tels que y* vérifie les conditions :

Lk’(y*) = pk– a Fk’(y*) = 0, pour k = 1, …, K,

F(y*) = 0.

3 3 exercices
3.3 Exercices

On suppose que la fonction de transformation du producteur est définie par :

F(y) = y1 + (y2)2, si y1 0,

> 0, sinon.

Calculer l’équilibre du producteur dans le cas où p1 = p2 = 1/2.

3 4 d finition des fonctions d offre
3.4 Définition des fonctions d’offre

Supposons que le problème de maximisation du profit admette une solution unique pour tout vecteur de prix p.

On définit la f° de d’offre (nette) du producteur comme la fonction s(p), qui associe à tout vecteur de prix p = (p1, …, pK), la solution correspondante y* = (y1*, …, yK*) du problème de maximisation du profit.

3 4 d finition des fonctions d offre95
3.4 Définition des fonctions d’offre

La fonction d’offre est dite nette car on aura :

  • sk(p) > 0, pour certains k, signifiant que le producteur offre le bien k ;
  • sk(p) < 0, pour d’autres k, signifiant que le producteur demande le bien k (facteur de production).
3 5 propri t s des f d offre nette
3.5 Propriétés des f° d’offre (nette)

On a les propriétés suivantes de la fonction d’offre :

  • Elle est homogène de degré 0 : s(t p) = s(p), pour tout t > 0 ;
  • Elle est efficace : F(s(p)) = 0 ;
  • Elle vérifie la "loi de l’offre" : pour tous p’ et p’’, on a : (p’ – p’’)•(s(p’) – s(p’’)) ≥ 0.
3 5 propri t s des f d offre nette97
3.5 Propriétés des f° d’offre (nette)

y2

Si tous les prix sont

multipliés par une même

constante positive, le

pb. du prod. ne change

pas (ni l’ens. de p°, ni la

famille des droites d’iso-

profit ne changent).

Donc, l’équilibre y* ne

change pas.

y*

Y

Y

y1

Preuve de la première propriété.

3 5 propri t s des f d offre nette98
3.5 Propriétés des f° d’offre (nette)

y2

Supposons que l’éq. du producteur y* ne soit pas efficace : F(y*) < 0.

Donc, il existe y >> y* tel que F(y)  0.

Tous les prix étant positifs, on a alors :

p•y > p•y*, ce qui contredit le fait que y* soit éq.

y

y*

Y

Y

y1

Preuve (par l’absurde)

de la seconde propriété.

3 5 propri t s des f d offre nette99
3.5 Propriétés des f° d’offre (nette)

Notons y’ = s(p’) et y’’ = s(p’’).

Comme (par déf°), pour tout p, s(p) maximise le profit p•y dans l’ensemble Y, on a en particulier :

p’’•y’’ ≥ p’’•y’ et p’•y’’  p’•y’.

En soustrayant membres à membres, on obtient :

(p’’ – p’)•y’’ ≥ (p’’ – p’)•y’,

d’où découle directement le résultat.

Preuve de la dernière propriété.

3 6 un seul output
3.6 Un seul output

Dans les exercices, il est souvent plus commode de supposer que le producteur produit un unique bien, en utilisant les K-1 autres biens comme inputs.

Ci-dessous, on admet que :

  • les biens k = 1, …, K-1, sont les inputs ;
  • le bien K est l’output.
3 6 un seul output101
3.6 Un seul output

Dans ce cas, on représente la technologie au moyen d’une fonction de production, notée f(z), définie de IR+K-1 dans IR+, donnant l’output maximum en bien K qui peut être obtenu en utilisant le vecteur d’inputs z = (z1, …, zK-1).

3 6 1 propri t s
3.6.1 Propriétés

Les propriétés suivantes d’une fonction de production f(z) découlent des conditions posées sur les ensembles de production Y :

  • Elle est continue ; (Car Y est fermé.)
  • Elle est croissante : si z’ > z, f(z’) > f(z) ; (Car, par définition, le plan de p° (-z, f(z)) est efficace.)
  • Elle est concave : f(tz + (1-t) z’) ≥ t f(z) + (1-t) f(z’), pour tout 0  t  1. (Car Y est convexe.)
3 6 1 propri t s103
3.6.1 Propriétés

On traduit ici les conséquences sur les fonctions de production d’autres propriétés des ensembles de production énoncées précédemment :

  • Non gratuité : f(0) = 0 ;
  • Rendements d’échelle constants :

f(tz) = t f(z), pour tout t > 0.

En généralisant, on parle de rendements d’échelle croissants (resp., décroissants) si f(tz) > t f(z) (resp., si f(tz) < t f(z)).

3 6 2 repr sentation graphique
3.6.2 Représentation graphique

Sur la figure ci-dessous, on appelle courbe d’isoquante (associée à une quantité q donnée), l’ensemble des vecteurs d’inputs z qui permettent de produire q unités de l’output K, c’est-à-dire tels que f(z) = q.

3 6 2 repr sentation graphique105
3.6.2 Représentation graphique

z2

Les courbes d’isoquan-te ne se croisent pas.

Elles tournent leur concavité vers l’origine.

La production associée croît à mesure qu’on s’éloigne de l’origine.

Production

croissante

z1

3 6 3 maximisation du profit
3.6.3 Maximisation du profit

On peut récrire le problème du producteur (Cf 3.3) sous la forme :

Max p f(z) - Σkwk zk (k de 1 à K-1)

où l’on adopte la notation conventionnelle :

w = (p1, …, pK–1) = les prix des inputs ;

p = pK = le prix de l’output.

3 6 3 maximisation du profit107
3.6.3 Maximisation du profit

S’il est intérieur (zk* > 0, pour tout k = 2, …, K–1), un équilibre du producteur vérifie les conditions :

p fk’(z*) = wk, pour k = 1, …, K-1,

yK* = f(z1*, …, zK-1*).

3 6 4 probl me dual
3.6.4 Problème dual

Par la suite, on aura aussi besoin d’étudier le problème de minimisation du coût de production de l’output K en quantité q :

min Σkwk zk,

sous f(z) ≥ q.

3 6 4 probl me dual109
3.6.4 Problème dual

z2

Le pb revient à trouver

z tel que f(z) ≥ q, qui

soit sur une droite de

coût w•z = C la plus

proche possible de

l’origine.

L’équilibre z* se situe

au point de tangence

de cette droite avec

la courbe d’isoquante

f(z) = q (pour une sol°

intérieure).

f(z) ≥ q

z*

z1

Droites de coût :

w•z = C

3 6 4 probl me dual110
3.6.4 Problème dual

On suppose maintenant que la fonction de production f(z) est continûment différentiable.

On définit le taux marginal de substitution technique en z de l’input 1 par l’input k, noté TMST1k, par :

TMST1k = f1’(z)/fk’(z).

3 6 3 probl me dual
3.6.3 Problème dual

Le TMST1k en z mesure le nombre d’unités supplémentaires de l’input k, qui sont nécessaires pour maintenir l’output constant, si le producteur diminue d’une unité (infiniment petite) la quantité qu’il utilise de l’input 1.

Graphiquement, c’est la pente, au point z, de la courbe d’isoquante passant par z (en valeur absolue), dans le plan (O, z1, zk).

3 6 3 probl me dual112
3.6.3 Problème dual

La propriété suivante sera utile pour calculer une solution intérieure du problème de minimisation du coût :

Une solution intérieure du problème de minimisation du coût (zk* > 0, pour tout k) vérifie les conditions :

TMST1k = w1/wk, pour k = 1, …, K-1,

f(z1*, …, zK-1*) = q.

3 6 4 probl me dual113
3.6.4 Problème dual

z2

f(z) = q

Ce graphique illustre et justifie la propriété précédente.

La solution z* du pb est au point de tangen-ce entre la courbe d’isoquante et la droite de coût.

Donc, TMST12 = w1/w2 et f(z*) = q.

z*

TMST12

w1/w2

z1

3 6 5 fonction de co t
3.6.5 Fonction de coût

On définit la fonction de coût, notée C(q, w), comme la fonction associant à tout vecteur de prix w des inputs, le coût minimum de production de l’output K en quantité q.

On a donc :

C(q, w) = w•z*,

où z* résout le problème de minimisation du coût pour les prix w et la quantité q.

3 6 exercices
3.6 Exercices

Dans les exercices suivants, on considère un producteur utilisant les biens 1 à K-1 pour produire le bien K, selon la fonction de production f(z).

  • On suppose que K = 3 et f(z) = z11/3 z21/3.

Représenter les courbes d’isoquante f(z) = q, pour q = 0, 1, 2.

Déterminer les équilibres du producteur associés aux prix w1 = w2 = ½ et p = 1.

3 6 exercices116
3.6 Exercices
  • On considère le cas K = 3 et la famille des fonctions de production de type Cobb-Douglas f(z) = z1a z2b, avec a, b > 0. On note w1 et w2 les prix des inputs, p le prix de l’output.

Montrer que la solution du problème de minimisation du coût de production de l’output K en quantité q est :

z1* = (aw2/bw1)b/(a+b) q1/(a+b) ; z2* = (bw1/aw2)a/(a+b) q1/(a+b).

En déduire que la fonction de coût s’écrit :

C(q, w) = c q1/(a+b),

avec : c = w1 (aw2/bw1)b/(a+b) + w2 (aw2/bw1)b/(a+b).

Discuter l’existence et l’unicité de l’équilibre du producteur en fonction des valeurs de a, b, c et p.

4 l conomie
4. L’économie

On considère une économie composée de :

  • I consommateurs, indicés i = 1, …, I ;
  • J entreprises, indicées j = 1, …, J ;
  • K biens, indicés k = 1, …, K.
4 l conomie118
4. L’économie

Chaque consommateur i est caractérisé par son ensemble de consommation Xi et sa fonction d’utilité Ui(x).

Chaque producteur j est caractérisé par son ensemble de production Yj, représenté par une fonction de transformation Fj(y).

4 1 etat initial
4.1 Etat initial

Avant toute activité économique, l’économie détient une dotation primaire en biens, qui servira soit directement à la consomma-tion, soit à la production d’autres biens.

On note :

w = (w1, …, wK)  IR+K = la dotation initiale.

4 2 etat conomique
4.2 Etat économique

Un état économique est noté :

E = (x1, …, xI, y1, …, yJ)

et se définit comme la donnée :

  • d’un plan de consommation xiIRK, pour chaque consommateur i = 1, …, I ;
  • d’un plan de production yjIRK, pour chaque producteur j = 1, …, J.
4 2 etat conomique121
4.2 Etat économique

Dans la définition précédente, on note :

xi = (xi1, …, xiK) ;

yj = (yj1, …, xjK) ;

où :

xik = la conso. par i du bien k ;

yjk = la production par j du bien k.

4 2 etat conomique122
4.2 Etat économique

Un état économique E = (x, y) est possible s’il est possible pour les consommateurs et les producteurs :

xi  Xi, i = 1, …, I ;

yj  Yj, j = 1, …, J ;

et s’il vérifie en outre la condition d’égalité des emplois et des ressources pour tous les biens :

Σi xik = Σj yjk + wk, k = 1, …, K.

4 3 equilibre g n ral
4.3 Equilibre général

L’état économique E* = (x*, y*) forme, avec les prix p = (p1, …, pK) et les revenus R = (R1, …, RI), un équilibre général de l’économie si :

  • pour tout i, xi* maximise Ui(xi) sous les contraintes xi Xi et p•xi  Ri ;
  • pour tout j, yj* maximise p•yj sous la contrainte Fj(yj)  0 ;
  • pour tout k, on a l’égalité des emplois et des ressources : Σik xik = Σj yjk + wk.
4 3 equilibre g n ral124
4.3 Equilibre général

Ainsi, un équilibre général de l’économie remplit trois conditions :

  • Pour chaque consommateur i, xi* est un panier de biens d’équilibre, sachant les prix et son revenu ;
  • Pour chaque producteur j, yj* est un plan de production d’équilibre, sachant les prix ;
  • Tous les marchés sont équilibrés.
4 3 equilibre g n ral125
4.3 Equilibre général

Supposons que l’état E* = (x*, y*) soit intérieur et que les fonctions d’utilité Ui (i = 1, …, I) et de transformation Fj (j = 1, …, J) soient continûment différentiables.

Comme xi* est un éq. du conso. i (intérieur), on a :

TMS1ki = p1/pk, pour tout k,

Σk pk xik* = Ri.

Comme yj* est un éq. du prod. j, on a :

TMT1kj = p1/pk, pour tout k,

Fj(yj*) = 0.

4 3 equilibre g n ral126
4.3 Equilibre général

On en déduit qu’un équilibre général E*, s’il est intérieur, remplit, entre autres, les conditions :

TMS1ki = TMT1kj = p1/pk,

pour tout i, j, k,

Fj(yj*) = 0, pour tout j,

Σi xik* = Σj yjk* + wk, pour tout k.

4 3 exercices
4.3 Exercices

On considère une économie d’échange (J = 0) composée de I = 2 consommateurs et K = 2 biens.

La dotation initiale en biens est w = (1, 1).

Les fonctions d’utilité sont :

U1(x1) = x111/3x122/3 et U2(x2) = x212/3x221/3.

Montrer que l’état économique E* = (x1*, x2*), où x1* = (1/3, 2/3) et x2* = (2/3, 1/3), associé au prix p1 = p2 = 1 et aux revenus R1 = R2 = 1, forme un équilibre général.

4 4 etat optimal
4.4 Etat optimal

Un état économique E° = (x°, y°) est dit optimal au sens de Pareto, s’il est possible et s’il n’existe aucun autre état économique possible E = (x, y) tel que :

Ui(xi) ≥ Ui(xi°), pour tout i,

avec l’inégalité stricte (>) pour au moins un consommateur.

4 4 etat optimal129
4.4 Etat optimal

U2

Cette fig. représente

l’ens. des possibilités

d’utilité U d’une écono-mie comportant deux conso., se répartissant la dotation initiale w.

L’ens. des états opt. au

sens de Pareto est la

frontière NE de l’ens.

Frontière de

Pareto

E

U

U1

U = {(U1(x1), U2(x2)) ; x1 ≥ 0, x2 ≥ 0 et x1 + x2 w}

4 4 etat optimal130
4.4 Etat optimal

Par l’absurde, il est évident que si l’état économique E° est optimal, en particulier, il maximise l’utilité du consommateur 1, dans l’ensemble des états économiques possibles qui laissent aux autres consommateurs une utilité au moins égale à celle qu’ils obtiennent dans l’état E°.

4 4 etat optimal131
4.4 Etat optimal

Ainsi, l’état optimal E° = (x°, y°) doit être solution du problème suivant :

max U1(x1),

sous les contraintes :

Ui(xi) ≥ Ui(xi°), i = 2, …, I,

Fj(yj)  0, j = 1, …, J,

Σi xik = Σj yjk + wk, k = 1, …, K.

4 4 etat optimal132
4.4 Etat optimal

En notant ai, bj et ck les multiplicateurs de Lagrange (et en posant a1 = 1, pour abréger l’écriture), la fonction Lagrangienne associée à ce problème s’écrit :

L(x, y) = Σi ai (Ui(xi) – Ui(xi°))

– Σj bj Fj(yj)

– Σk ck (Σi xik - Σj yjk - wk)

4 4 etat optimal133
4.4 Etat optimal

Supposons que l’état optimal E° = (x°, y°) soit intérieur.

Par le théorème du Lagrangien, toutes les dérivées de L(x, y) s’annulent en E° :

ai Uki’(xi°) – ck = 0, pour tout i et k,

bj Fkj’(yi°) – ck = 0, pour tout j et k.

4 4 etat optimal134
4.4 Etat optimal

En arrangeant ces conditions, on en déduit qu’un état optimal E°, s’il est intérieur, remplit, entre autres, les conditions :

TMS1ki = TMT1kj = c1/ck,

pour tout i, j, k,

Fj(yj°) = 0, pour toutj,

Σi xik° = Σj yjk° + wk, pour tout k.

4 4 exercices
4.4 Exercices

On considère une économie d’échange (soit J = 0), composée de I = 2 consommateurs et K = 2 biens.

La dotation initiale en biens est w = (1, 1).

Les fonctions d’utilité sont :

U1(x1) = x111/3x122/3 et U2(x2) = x212/3x221/3.

Montrer que l’état économique E° = (x1°, x2°), où x1° = (1/3, 2/3) et x2° = (2/3, 1/3) est optimal au sens de Pareto.

4 5 les th or mes de l conomie du bien tre
4.5 Les théorèmes de l’économie du bien-être

En comparant les résultats des sections 4.3 et 4.4, on remarque que les états économiques associés à un équilibre général et les états économiques qui sont optimaux au sens de Pareto vérifient le même système d’équations.

On en vient à se demander si ces états ne sont pas en fait les mêmes.

Les deux théorèmes de l’économie du bien-être donnent des conditions sous lesquelles ces deux ensembles d’états économiques sont confondues.

4 5 1 premier th or me
4.5.1 Premier théorème

Le 1-ier th. de l’éco. du bien-être s’énonce :

Si l’état possible E*, associé aux prix p et aux revenus R, forme un équilibre général de l’économie et si les fonctions d’utilité Ui, i = 1, …, I, sont continues et croissantes,

alors E* est un état optimal au sens de Pareto.

4 5 1 premier th or me138
4.5.1 Premier théorème

Ce théorème démontre, dans le langage de la théorie économique moderne, le principe de la main invisible d’Adam Smith.

Si les marchés sont concurrentiels, la poursuite de l’intérêt individuel ne crée pas le chaos, contrairement à l’intuition première, mais, au contraire, génére une certaine harmonie sociale.

4 5 2 second th or me
4.5.2 Second théorème

Le 2-ième th. de l’éco. du bien-être s’énonce :

Si l’état possible E° est optimal au sens de Pareto, si les fonctions d’utilité Ui, i = 1, …, I, sont continues, croissantes et quasi-concaves, et si les ensembles de production Yj, j = 1, …, J, sont convexes,

alors il existe des prix p et des revenus R, tels que l’état E°, associé à ces prix et ces revenus, forme un équilibre général de l’économie.

4 5 2 second th or me140
4.5.2 Second théorème

Ce théorème démontre qu’à condition de pouvoir redistribuer les revenus, un système de marchés, s’il est concurrentiel, est un outil approprié pour atteindre n’importe quel état économique optimal au sens de Pareto.

4 5 exercices
4.5 Exercices

Soit l’économie comportant I = 1 consommateur, J = 1 producteur et K = 2 biens. Les préférences du consommateur sont représentées par la fonction d’utilité U(x) = x1 x2. La technologie du producteur est représentée par sa fonction de transformation F(y) = y1 + y2. La dotation est w = (1, 0).

Déterminer l’ensemble W des états économiques qui, associés à des prix et des revenus donnés, constituent un équilibre général de l’économie.

Déterminer l’ensemble P des états économiques optimaux au sens de Pareto.

Vérifier que W = P.

4 6 economie d change
4.6 Economie d’échange

On peut illustrer graphiquement les deux théorèmes de l’économie du bien-être, dans le cas d’une économie d’échange, comportant deux consommateurs et deux biens (soit I = 2, J = 0, K = 2).

4 6 economie d change143
4.6 Economie d’échange

Dans cette économie, l’état économique E = (x1, x2) est possible s’il vérifie :

xik ≥ 0, pour i = 1, 2 et k = 1, 2,

x11 + x21 = w1,

x12 + x22 = w2.

Autrement dit, un état économique possible est simplement une répartition, entre les consommateurs 1 et 2, de la dotation primaire w = (w1, w2).

4 6 1 la bo te d edgeworth
4.6.1 La boîte d’Edgeworth

x12

La boîte d’Edgeworth

représente l’ens. des

états possibles.

Sa taille dépend de

la dotation (w1, w2).

Le repère (O1, x11, x12)

sert pour le conso. 1.

Le repère (O2, x21, x22),

orienté en sens inverse,

sert pour le conso. 2.

x21

O2

x22

x21

x11

w2

E

x12

x11

O1

w1

x22

4 6 1 la bo te d edgeworth145
4.6.1 La boîte d’Edgeworth

x12

On représente ici deux

états économiques qui

ne sont pas possibles.

L’état E’ = (x1’, x2’) est

impossible car, les points x1’ et x2’ ne coïn-cidant pas, impliquant que : x1’ + x2’  w.

L’état E’’ = (x1’’, x2’’) est

impossible car x22’’ < 0

(donc x2’’  X2).

E’’

x21

O2

x1’

x2’

E’

x11

O1

x22

4 6 1 la bo te d edgeworth146
4.6.1 La boîte d’Edgeworth

Conso. 1

x12

Dans la boîte, on repré-

sente les préférences

des conso., au moyen de

deux familles de cour-bes d’indifférence.

L’util. du conso. 1 croît

en s’éloignant de O1 vers le NE.

L’util. du conso. 2 croît

en s’éloignant de O2 vers le SO.

x21

O2

x11

O1

x22

Conso. 2

4 6 2 premier th or me
4.6.2 Premier théorème

Ci-dessous, nous considérons l’état économique E* = (x1*, x2*), et nous supposons qu’il forme, avec les prix p = (p1, p2) et les revenus R = (R1, R2), un équilibre général de l’économie.

Nous voulons montrer que E* est un état optimal au sens de Pareto.

4 6 2 premier th or me148
4.6.2 Premier théorème

Notons, pour i = 1, 2 :

Di = {xi ; p•xi = Ri} = la droite de budget de i ;

(+)i = l’ens. des paniers de biens au moins aussi bien que xi*, du point de vue de i.

4 6 2 premier th or me149
4.6.2 Premier théorème

x12

Par déf° d’un éq. gén., le panier x1* est un éq. du conso. 1, sous sa contrainte de budget.

Donc, l’ens. (+)1 est contenu dans le demi-plan au-dessus de D1 et x1* appartient à D1.

On a des conclusions semblables pour le conso. 2.

x21

O2

(+)1

x1*

x11

O1

D1

x22

4 6 2 premier th or me150
4.6.2 Premier théorème

x12

Par déf° d’un éq. gén., l’état E* est possible.

Donc, dans la boîte d’Edgeworth, les points x1* et x2* coïncident, pour former le point E*.

Comme D1 et D2 ont même pente et passent par E*, elles sont confondus.

D (= D1 = D2)

x21

O2

E*

x1*

x2*

x11

O1

x22

4 6 2 premier th or me151
4.6.2 Premier théorème

x12

Cette fig. reprend les

conclus° précédentes.

On en conclut facile-ment que E* est un état optimal.

En effet, pour amélio-rer l’util. de 1, il faut prendre un point inté-rieur à (+)1, donc au-dessus de D. Or, un tel point n’appartient pas à (+)2.

D

x21

O2

(+)1

E*

(+)2

x11

O1

x22

4 6 3 second th or me
4.6.3 Second théorème

Ci-dessous, nous considérons l’état E° = (x1°, x2°), et nous supposons qu’il est optimal au sens de Pareto.

Nous voulons montrer qu’il existe des prix p = (p1, p2) et des revenus R = (R1, R2), tels que l’état E°, associé à ces derniers, forme un équilibre général de l’économie.

4 6 3 second th or me153
4.6.3 Second théorème

x12

Par déf° d’un état opt., si un état possible est intérieur à l’ens. (+)1, il n’appartient pas à l’ens. (+)2.

En effet, sinon, on pourrait améliorer l’util. de 1, sans diminuer celle de 2, ce qui serait contradictoire.

x21

O2

(+)1

(+)2

x11

O1

x22

4 6 3 second th or me154
4.6.3 Second théorème

x12

Supposons les ens. (+)1 et (+)2 convexes.

Par un théorème de séparation des con-vexes, il existe une droite D, passant par E° et laissant ces deux ensembles de part et d’autres de D.

D

x21

O2

(+)1

(+)2

x11

O1

x22

4 6 3 second th or me155
4.6.3 Second théorème

x12

On peut trouver des prix p = (p1, p2) et des rev. R = (R1, R2), tels que la droite D ait pour éq° : p•x1 = R1 dans le repères (O1, x11, x12) ; et p•x2 = R2 dans le repères (O2, x21, x22).

Il est clair que E° forme, avec ces prix et ces rev., un éq. gén.

D

x21

O2

(+)1

(+)2

x11

O1

x22

4 6 4 conclusion
4.6.4 Conclusion

On note que le premier théorème de l’économie du bien-être est plus général.

En effet, seul le second théorème nécessite que les préférences des consommateurs soient convexes.

4 7 economie de propri t priv e
4.7 Economie de propriété privée

On définit une économie de propriété privée comme une économie dans laquelle les consommateurs possèdent les entreprises et la dotation initiale de l’économie.

Leurs revenus découlent alors de la redistribution des profits des entreprises et/ou de la vente de l’excédent de leur dotation initiale sur leur consommation.

4 7 1 notations
4.7.1 Notations

On suppose que les consommateurs i = 1, …, I possèdent des droits de propriété sur les entreprises j = 1, …, J.

On note :

qij = la part du conso. i dans l’ent. j ;

où les nombres qij vérifient :

0  qij  1, pour tout i et j ;

Σiqij = 1, pour tout j.

4 7 1 notations159
4.7.1 Notations

On suppose que les consommateurs i = 1, …, I possèdent la dotation primaire de l’économie en biens k = 1, …, K.

On note :

wik = la dotation initiale du conso. i en bien k ;

où les nombres vérifient :

wik ≥ 0, pour tout i et k ;

wi = (wi1, …, wiK)  0 ;

Σi wik = wk, pour tout k.

4 7 2 formation des revenus
4.7.2 Formation des revenus

Dans une économie de propriété privée, les revenus Ri (i = 1, …, I) des consommateurs dépendent des profits pj (j = 1, …, J) et des prix pk (k = 1, …, K), et sont donnés par la relation :

Ri = Σjqijpj + Σk pk wik.

4 7 3 eq g n d une co de propri t priv e
4.7.3 Eq. gén. d’une éco. de propriété privée

Dans une économie de propriété privée, la définition d’un équilibre général donnée au début du chapitre (Cf 4.3) s’applique, en ajoutant simplement la relation précédente, exprimant le revenu des consommateurs en fonction des profits et des prix.

4 7 3 equilibre g n ral
4.7.3 Equilibre général

L’état E* = (x*, y*) et les prix p forment un équilibre général de l’économie de propriété privée si :

xi* maximise Ui(xi) (i = 1, …, I)

sous xi Xi et p•xi  Ri ;

yj* maximise p•yj (j = 1, …, J)

sous Fj(yj)  0 ;

Σi xik* = Σj yjk* + wk ; (k = 1, …, K)

les revenus vérifiant par ailleurs :

Ri = Σjqijpj + Σk pk wik ; (i = 1, …, I)

pj = p•yj*. (j = 1, …, J)

4 7 4 une th orie positive
4.7.4 Une théorie positive ?

L’équilibre général, appliqué à une économie de propriété privée, est une lecture (parmi d’autres) des institutions d’une économie de marché et de leur fonctionnement.

De ce point de vue :

  • la définition précédente constitue l’aboutissement de la théorie microéconomique, en tant que théorie positive,
  • sous réserve d’établir l’existence, l’unicité et la stabilité d’un tel état économique.
4 7 4 une th orie positive164
4.7.4 Une théorie positive ?

Précisément, il s’agit de trouver des condi-tions sous lesquelles, pour une économie donnée, définie par des ensembles de consommation Xi, des préférences Ui et des "patrimoines" qi et wi des consommateurs, et par des ensembles de production Yj des producteurs, on est assurés qu’un équilibre général existe et qu’il sera rejoint.

4 7 4 une th orie positive165
4.7.4 Une théorie positive ?

Limitons-nous au cas d’une économie d’échange (J = 0).

Sous les hyp. du chap. 2, on sait qu’on peut déduire des données précédentes, des fonctions de demande di(p, Ri), homogènes de degré 0, vérifiant la loi de Walras et continues (Cf 2.10).

4 7 4 une th orie positive166
4.7.4 Une théorie positive ?

Dans ce cas, un équilibre général de l’économie de propriété privée existe si on peut trouver des prix p = (p1, …, pK), tels qu’il y ait égalité des emplois et des ressources sur tous les marchés :

Σi dik(p, Ri) = wk, pour tout k,

les revenus des consommateurs étant égaux à la valeur de leur dotation initiale :

Ri = p•wi, pour tout i.

4 7 4 une th orie positive167
4.7.4 Une théorie positive ?

On définit la fonction de demande nette de l’économie f(p) = (f1(p), …, fK(p)), comme la f° qui associe à tout vecteur de prix p, le vecteur

(Σi di1(p, p•wi) – w1, …, Σi diK(p, p•wi) – wK)

des excédents de la demande sur l’offre, sur chacun des K marchés.

Avec cette définition, un vecteur de prix p induit un équilibre général de l’économie de propriété privée, simplement si f(p) = 0.

4 7 4 une th orie positive168
4.7.4 Une théorie positive ?

La fonction de demande nette f(p) vérifie les propriétés suivantes :

  • elle est homogène de degré 0 : f(t p) = f(p), pour tout t > 0 ;
  • elle vérifie la loi de Walras : Σk pk fk(p) = 0 ;
  • Elle est continue.
4 7 4 une th orie positive169
4.7.4 Une théorie positive ?

La 1-ière propriété découle de l’homogénéité de degré 0 des fonctions de demande des consommateurs di(pi, R).

Elle implique que si un vecteur de prix p induit un équilibre général de l’économie (c’est-à-dire, vérifie f(p) = 0), il en va de même pour tout vecteur t p, avec t > 0.

On peut donc fixer un prix arbitrairement.

4 7 4 une th orie positive170
4.7.4 Une théorie positive ?

La 2-ième propriété découle du fait que les fonctions de demande di(pi, R) vérifient :

Σk pk (dik(p, p•wi) – wik) = 0, pour tout i.

On a donc, en sommant sur i :

ΣiΣk pk (dik(p, p•wi) – wik) = 0,

puis en inversant l’ordre de sommation :

Σk pkΣi (dik(p, p•wi) – wik) =Σk pk fk(p) = 0.

4 7 4 une th orie positive171
4.7.4 Une théorie positive ?

Cette propriété implique que, pour un vecteur de prix p >> 0, si on sait que tous les marchés, sauf un, sont équilibrés, le dernier marché est aussi équilibré.

Une conséquence pratique est que, parmi les K équations que doit satisfaire le vecteur de prix p, on peut, pour le calculer, en éliminer une.

4 7 4 une th orie positive172
4.7.4 Une théorie positive ?

Le théorème suivant montre que l’existence d’un équilibre général est (presque) assurée sous les hypothèses posées.

Si la fonction de demande nette f(p) est continue, homogène de degré 0 et satisfait la loi de Walras, alors il existe un système de prix p* tel que f(p*)  0.

4 7 4 une th orie positive173
4.7.4 Une théorie positive ?

La démonstration de ce théorème repose sur le théorème de point fixe suivant, dû à Brouwer :

Si une fonction f, définie d’un ensemble convexe, fermé et borné dans lui-même, est continue, elle admet un point fixe, c’est-à-dire : il existe x tel que f(x) = x.

4 7 exercices
4.7 Exercices

On considère une économie composée de I = 2 consommateurs et K = 2 biens.

Les fonctions d’utilité sont :

U1(x1) = x111/3x122/3 et U2(x2) = x212/3x221/3.

Montrer qu’il existe un équilibre général de l’économie de propriété privée pour n’importe quelle distribution initiale de la dotation w = (1, 1) entre les deux consommateurs.

5 analyse en quilibre partiel
5. Analyse en équilibre partiel

L’analyse en équilibre partiel consiste à isoler le marché d’un bien, par exemple le blé, pour étudier les conséquences de chocs, des situations de concurrence imparfaite ou des politiques économiques, en négligeant les effets d’équilibre général sur les autres marchés.

On construit ainsi un modèle plus simple, avec lequel on peut résoudre des problèmes qui seraient ardus dans une analyse en équilibre général.

5 analyse en quilibre partiel176
5. Analyse en équilibre partiel

Une analyse en équilibre partiel est admissible si :

  • La part du blé dans les dépenses totales est faible ;
  • Les effets de substitution sur les autres marchés sont diffus.

Alors, on peut supposer les prix des autres biens comme fixes.

Ceci permet de traiter les autres biens comme un bien composite, appelé le numéraire.

5 1 notations et hypoth ses
5.1 Notations et hypothèses

Le modèle d’équilibre partiel comporte :

  • 2 biens : le numéraire et le blé ;
  • I consommateurs, caractérisés par leur ens. de conso. Xi, leur dotation wi en numéraire et leur fonction d’utilité Ui ;
  • J producteurs, caractérisés par leur fonction de transformation Fj.
5 1 notations et hypoth ses178
5.1 Notations et hypothèses

Le numéraire est un bien composite, figurant tous les autres biens achetés ou vendus par les agents économiques. Il est évalué en valeur, aux prix courants sur les autres marchés (fixes, par hyp.).

Dans l’analyse, on normalise le prix du numéraire à 1. On définit ensuite p le prix (relatif) du blé.

5 1 notations et hypoth ses179
5.1 Notations et hypothèses

On suppose dans ce chapitre des conditions de concurrence pure et parfaite.

Autrement dit, les agents économiques considèrent les prix comme des données et pensent pouvoir acheter ou vendre aux prix du marché toutes quantités qu’il désirent.

5 1 notations et hypoth ses180
5.1 Notations et hypothèses

On note :

(ai, xi) = un plan de consommation de i ;

(bj, yj) =un plan de production de j.

Dans les deux cas, la première composante donne la quantité de bien numéraire, la seconde composante donne la quantité de blé.

Un état économique se note :

E = ((a1, x1), …, (aI, xI), (b1, y1), …, (bJ, yJ)).

5 1 notations et hypoth ses181
5.1 Notations et hypothèses

Un état économique E est dit possible s’il vérifie :

(ai, xi)  Xi, pour tout i,

Fj(bj, yj) = 0, pour tout j,

Σi ai = Σj bj + Σi wi,

Σi xi = Σi yi.

5 2 la demande
5.2 La demande

Pour chaque consommateur i, on admet que :

(wi, 0) = sa dotation (wi > 0),

Xi = {(ai, xi)  IR2; xi ≥ 0},

Ui(ai, xi) = ai + vi(xi),

avec : vi(0) = 0, vi’(xi) > 0 et vi’’(xi) < 0.

5 2 la demande183
5.2 La demande

xi

On illustre ici ces hyp.

L’ens. Xi permet ai < 0. Les courbes d’indif. sont décroissantes et tournent leur concavité vers la gauche.

Elles sont parallèles le long de l’abscisse : on parle de préférences quasi-linéaires par rapport au numéraire.

Xi

ai

Dotation initiale

(wi, 0)

5 2 la demande184
5.2 La demande

Sentier

d’expansion

du revenu

xi

Sur cette fig., on trace l’éq. du conso., pour trois niveaux de revenus Ri-, Ri et Ri+.

On note qu’avec des préf. quasi-linéaires, le sentier d’expansion du revenu est horizontal.

Autrement dit, la demande de blé ne dépend que de p.

ai

Ri- < Ri < Ri+

5 2 la demande185
5.2 La demande

Depuis le chap. 2, on sait qu’un équilibre du conso. (ai*, xi*) (supposé intérieur) vérifie :

TMSi = vi’(xi*) = p,

ai* + p xi* = Ri,

en notant :

TMSi = U2i’(ai*, xi*)/U1i’(ai*, xi*) = le taux marginal de substitution du blé par le numéraire.

5 2 la demande186
5.2 La demande

Avec la première équation, on vérifie que la demande de blé ne dépend que de p :

vi’(xi*) = p  xi* = (vi’)-1(p),

La demande de bien numéraire apparaît ensuite comme résiduelle :

ai* + p xi* = Ri ai* = Ri – p (vi’)-1(p).

5 2 la demande187
5.2 La demande

p

En éq. partiel, par convention, on repré-sente la dem. en portant la quantité en abscisses et le prix en ordonnées.

Alors, comme l’équilibre du consommateur vérifie : p = vi’(xi*), la courbe de demande coïncide avec la repré-sentation de vi’(xi).

Courbe de demande (inverse)

p = vi’(xi*)

xi*

xi

5 2 la demande188
5.2 La demande

On appelle surplus du consommateur i, noté Si, l’avantage que le consommateur i retire en participant au marché du blé, mesuré en unités de numéraire.

S’il achète xi unités au prix p, on a :

Si = Ui(Ri – p xi, xi) – Ui(Ri, 0),

= vi(xi) – p xi.

5 2 la demande189
5.2 La demande

Comme on a normalisé la fonction d’utilité de façon que vi(0) = 0, on peut aussi écrire le surplus du consommateur sous la forme :

xi

Si =  (vi’(t) – p) dt.

0

5 2 la demande190
5.2 La demande

p

On en déduit qu’à l’éq., le surplus du consomma-teur i correspond, gra-phiquement, à l’aire de la surface comprise entre la courbe de demande et la droite horizontale d’ordonnée p, entre les abscisses 0 et xi*.

Si

p

p = vi’(xi)

xi*

xi

5 2 la demande191
5.2 La demande

Pour tout prix p, la demande globale sur le marché du blé est égale à la somme des demandes individuelles :

X(p) = Σi xi* = Σi (vi’)-1(p).

On la représente graphiquement par la courbe de sa fonction inverse, notée P(x).

5 2 la demande192
5.2 La demande

p

Connaissant la courbe de dem. des I conso. intervenant sur le marché, on construit la courbe de dem. globale (inverse), en addition-nant vers la droite les courbes de demande individuelles : pour chaque prix p, la dem. globale est Σi xi*.

Conso. 1

Conso. 2

p

P(x)

x2*

x1*

x

x1*+ x2*

5 2 la demande193
5.2 La demande

p

Par construction, l’aire S de la surf. comprise entre la courbe de dem. globale (inverse) et la droite horizontale d’ordonnée p, entre les abscisses 0 et x, mesu-re le surplus, à l’éq., de l’ensemble des conso. intervenant sur le marché, soit S = Σi Si.

Surplus des

consommateurs

p

P(x)

x

x

5 2 la demande194
5.2 La demande

On peut calculer le surplus de l’ensemble des consommateurs, lorsqu’ils achètent x unités de blé au prix p, en utilisant la formule :

x

S =  (P(t) – p) dt.

0

5 2 exercices
5.2 Exercices
  • On considère un consommateur, ayant un revenu R et une fonction d’utilité U(a, x) = a + v(x).

Comparer son utilité dans le cas où il ne participe pas au marché du blé, et celui où, entrant sur ce marché, il paye une somme t en numéraire, contre x unités de blé.

A quelle condition (sur t) décide-t-il d’entrer sur le marché du blé ?

Qu’en déduisez-vous pour l’interprétation de la fonction v(x) ?

5 2 exercices196
5.2 Exercices
  • On considère un consommateur, caractérisé par son revenu R et sa fonction d’utilité U(a, x) = a + v(x), définie sur IRx[0, 1], avec v(x) = (1 – x/2)x.

Déterminer sa fonction de demande de blé.

En donner une représentation graphique, en portant la quantité en abscisses et le prix en ordonnées.

Donner l’expression de son surplus, s’il achète x unités au prix p. Retrouver-la en calculant les aires correspondantes sur la figure.

5 2 exercices197
5.2 Exercices
  • On suppose que I consommateurs identiques à celui de l’exercice précédent participent au marché du blé.

Déterminer l’expression de la fonction de demande globale X(p) sur le marché.

Construire sa représentation graphique selon le procédé vu ci-dessus, en portant la quantité en abscisses et le prix en ordonnées.

Trouver l’expression de la fonction de demande globale (inverse) P(x) en utilisant la figure.

Calculer le surplus des consommateurs, s’ils achètent x unités au prix p. Le retrouver à l’aide de la figure.

5 3 l offre
5.3 L’offre

Chaque producteur j est caractérisé par son ensemble de production Yj et on suppose qu’il est représentable par une fonction de transformation Fj de la forme :

Fj(bj, yj) = bj + Cj(yj), si bj  0,

> 0, sinon,

avec : Cj(yj) ≥ 0, Cj’(yj) ≥ 0 et Cj’’(yj) ≥ 0.

5 3 l offre199
5.3 L’offre

Par définition, un plan de production (bj, yj) de j est possible s’il vérifie :

Fj(bj, yj) = bj + Cj(yj)  0,

soit :

– bj ≥ Cj(yj). (où Cj(yj) ≥ 0, par hyp.)

Donc, j doit acheter (au minimum) Cj(yj) unités du bien numéraire, comme inputs, s’il veut produire yj unités de blé.

5 3 l offre200
5.3 L’offre

On peut ainsi interpréter Cj(yj) comme la fonction de coût de production du producteur j pour le blé.

Pour toute quantité yj, on en déduit les coûts moyen CMj et marginal Cmj du producteur j :

  • Le coût moyen donne le coût par unité produite :

CMj = Cj(yj)/yj ;

  • Le coût marginal donne le coût de la dernière unité (infiniment petite) produite :

Cmj = Cj’(yj).

5 3 l offre201
5.3 L’offre

- bj

Cette fig. représente l’ens. de p° Yj dans le repère (0, yj, - bj).

Sa frontière est la courbe représentative du coût de production Cj(yj).

Les points au-dessus de cette courbe, véri-fiant – bj ≥ Cj(yj), sont réalisables.

Yj

Cj(yj)

yj

5 3 l offre202
5.3 L’offre

En utilisant les résultats du chap. 3, on sait qu’un équilibre du prod. (bj*, yj*) (supposé intérieur) satisfait les conditions :

TMTj = Cj’(yj*) = p,

Fj(bi*, yj*) = bi* + Cj(yj*) = 0,

en notant :

TMTj = F2j’(bj*, yj*)/F1i’(bj*, yj*) = le taux marginal de transformation du blé en numéraire.

5 3 l offre203
5.3 L’offre

Il existe un moyen naturel de retrouver ce résultat.

En admettant que le prod. choisisse toujours un plan de p° efficace, c’est-à-dire tel que Fj(bi, yj) = bj + Cj(yj) = 0, son profit s’écrit :

pj = p yj – Cj(yj).

Il est maximum pour la production yj* si :

dpj/dyj = p – Cj’(yj*) = 0.

5 3 l offre204
5.3 L’offre

On en déduit que la fonction d’offre de blé du producteur j est la fonction inverse de son coût marginal de production Cmj = Cj’(yj) :

Cj’(yj*) = p  yi* = (Cj’)-1(p).

5 3 l offre205
5.3 L’offre

p

Si l’on porte la quantité en ordonnées et le prix en abscisses, sachant que l’éq. du producteur j vérifie p = Cj’(yj), la courbe représentative de l’offre de j coïncide avec celle de son coût marginal Cmj (= Cj’(yj)).

Courbe

d’offre (inverse)

Cmj

p = Cj’(yj*)

yi*

yj

5 3 l offre206
5.3 L’offre

Si l’on suppose qu’il n’existe pas de coût fixe de production, c’est-à-dire que Cj(0) = 0, alors le profit que le producteur j réalise en vendant yj unités de blé au prix p, peut aussi s’écrire :

yj

pj=  (p – Cj’(t)) dt.

0

5 3 l offre207
5.3 L’offre

p

Graphiquement, le profit réalisé par j, à l’éq., correspond à l’aire de la surface comprise entre la droite horizontale d’ordonnée p et la courbe de coût marginal Cmj, entre les abscisses 0 et yj*.

Cmj

p

pj

yi*

yj

5 3 l offre208
5.3 L’offre

Pour tout prix p, l’offre globale sur le marché du blé est égale à la somme des offres individuelles :

O(p) = Σj yj* = Σi (Cj’)-1(p).

On la représente graphiquement par la courbe de sa fonction inverse, notée r(y).

5 3 l offre209
5.3 L’offre

p

Connaissant la courbe de dem. des J prod. intervenant sur le marché, on construit la courbe d’offre globale (inverse), en addition-nant vers la droite les courbes d’offre individuelles : pour chaque prix p, la dem. globale est Σj yj*.

Prod. 1

Prod. 2

r(y)

p

y2*

y1*

y

y1*+ y2*

5 3 l offre210
5.3 L’offre

p

Par construction, l’aire P de la surf. comprise entre la droite horizon-tale d’ordonnée p et la courbe d’offre globale (inverse), entre les abscisses 0 et y, donne le profit, à l’éq., de l’ensemble des prod. intervenant sur le marché, soit P = Σjpj.

Profits des

producteurs

r(y)

p

y

y

5 3 l offre211
5.3 L’offre

On peut calculer le profit de l’ensemble des producteurs intervenant sur le marché du blé, lorsqu’ils offrent y unités au prix p, en utilisant la formule :

y

P =  (p – r(t)) dt.

0

5 3 exercices
5.3 Exercices

1) On considère un producteur dont le coût est c(y) = y2/2.

Faire la représentation graphique de son ensemble de production.

Déterminer sa fonction d’offre de blé.

En donner une représentation graphique, en portant la quantité en abscisses et le prix en ordonnées.

Donner l’expression du profit du producteur, s’il vend y unités au prix p. Retrouver-la en calculant les aires correspondantes sur la figure.

5 3 exercices213
5.3 Exercices

2) On suppose que J producteurs identiques à celui de l’exercice précédent participent au marché du blé.

Déterminer l’expression de la fonction d’offre globale O(p) sur le marché.

Construire sa représentation graphique selon le procédé vu ci-dessus , en portant la quantité en abscisses et le prix en ordonnées.

Trouver l’expression de la fonction d’offre globale (inverse) r(y) en utilisant la figure.

Calculer le profit des producteurs, s’ils vendent y unités au prix p. Le retrouver à l’aide de la figure.

5 4 le surplus social
5.4 Le surplus social

On définit le surplus social comme la fonction W, qui associe à tout état économique possible E, la somme correspondante des avantages retirés par les consommateurs de leur participation au marché du blé, soit Σi (Ui(ai, xi) - Ui(wi, 0)).

5 4 le surplus social215
5.4 Le surplus social

En utilisant les définitions d’un état économi-que possible (Cf. 5.1), des fonctions d’utilité (Cf. 5.2) et des technologies (Cf. 5.3), on obtient l’expression suivante :

W = Σivi(xi) – Σj Cj(yj),

avec :

xi ≥ 0, pour tout i,

yi ≥ 0, pour tout j,

Σixi = Σj yj.

5 4 le surplus social216
5.4 Le surplus social

La propriété suivante démontre l’intérêt pratique de la notion de surplus social :

Un état économique E° est optimal au sens de Pareto si, et seulement si, il maximise le surplus social W dans l’ensemble des états économiques possibles.

5 4 le surplus social217
5.4 Le surplus social

Pour la démonstration, montrons d’abord qu’un état optimal maximise le surplus social.

Soit E°, un état optimal (défini par ai°, xi°, bj° et yj°, pour tout i et j).

En raisonnant par l’absurde, supposons qu’il existe un état possible E (défini par ai, xi, bj et yj, pour tout i et j), tel que W > W°.

5 4 le surplus social218
5.4 Le surplus social

Construisons alors l’état E’, en prenant les quantités ai’, xi, bj et yj, pour tout i et j, c’est-à-dire les mêmes quantités que dans l’état E, sauf pour les ai’, qui sont choisis tels que :

Ui(ai’, xi) = Ui(ai°, xi°) + (W – W°)/I.

Comme W > W° (par hyp.), l’état E’ est strictement préféré à l’état E°, par tous les consommateurs.

5 4 le surplus social219
5.4 Le surplus social

Il reste à montrer que l’état E’ est possible.

En sommant sur i, on otient :

Σi Ui(ai’, xi) = Σi Ui(ai°, xi°) + W – W°.

Sachant que W° = Σi Ui(ai°, xi°) et W = Σi Ui(ai, xi), cette expression se simplifie en :

Σi Ui(ai’, xi) = Σi Ui(ai, xi).

En utilisant la définition de l’utilité, on montre finalement que :

Σi ai’ = Σi ai.

Autrement dit, l’état E’ est obtenu à partir de l’état E par simple redistribution du bien numéraire. Il est donc possible.

5 4 le surplus social220
5.4 Le surplus social

On conclut donc que si l’état optimal E° ne maximise pas le surplus social, il existe un état E’, qui est à la fois possible et préféré à E° par tous les consommateurs.

Ceci contredit l’optimalité de E°.

5 4 le surplus social221
5.4 Le surplus social

Montrons maintenant qu’un état maximisant le surplus social est optimal.

Soit E° un état possible maximisant le surplus social dans l’ensemble des états possibles.

Supposons que E° ne soit pas optimal.

Alors, il existe un état possible E, attribuant à tous les consommateurs une utilité au moins aussi grande, et à l’un d’entre eux une utilité strictement plus grande.

Ceci est contradictoire, puisque cela implique que W > W°.

5 4 le surplus social222
5.4 Le surplus social

D’un point de vue pratique, on retient que si l’état E° (défini par ai°, xi°, bj° et yj°, pour tout i et j) est optimal, en particulier, il résout le problème de maximisation suivant :

max W = Σivi(xi) – Σj Cj(yj),

sous les contraintes :

xi ≥ 0, pour tout i,

yi ≥ 0, pour tout j,

Σixi = Σj yj.

5 4 le surplus social223
5.4 Le surplus social

Pour mieux comprendre les conséquence de ce résultat sur les propriétés d’un état optimal E°, récrivons la dernière contrainte comme suit :

Σixi = Σj yj = q,

en définissant q comme la quantité agrégée de blé dans l’économie.

5 4 le surplus social224
5.4 Le surplus social

On voit que la détermination d’un état optimal nécessite en fait de répondre à trois questions distinctes :

(q) = Quelle quantité agrégée de blé ?

(xi) = Qui doit la consommer ?

(yj) = Qui doit la produire ?

5 4 le surplus social225
5.4 Le surplus social

Ci-dessous, nous admettrons, sans le démonstrer, que le marché répartit toujours le blé disponible efficacement entre les consommateurs (c’est-à-dire pour maximiser Σivi(xi)) et les producteurs (c’est-à-dire pour minimiser Σj Cj(yj)), et que la valeur correspondante du surplus social est donnée par :

q

W =  (P(t) – r(t)) dt

0

5 4 le surplus social226
5.4 Le surplus social

p

Si la quantité q est répartie efficacement entre les conso. et les prod., le surplus social W correspond à l’aire de la surface comprise entre les courbes de demande globale (inverse) et d’offre globale (inverse), entre les abscisses 0 et q.

P(q)

r(q)

W

q

q

5 4 le surplus social227
5.4 Le surplus social

p

On en déduit que la quantité optimale de blé est q°, à l’intersection entre les courbes de demande (inverse) et d’offre (inverse).

En effet, pour toute quantité q plus petite, en augmentant q de dq unités, le surplus social augmente de dW > 0, soit de l’aire hachuré.

dW

P(q)

r(q)

W

q

q

q+dq

5 4 exercices
5.4 Exercices

On reprend ici les données des exercices précédents (Cf. 5.2 et 5.3), en supposant que I = J = 100.

Calculer le surplus social W, associé à une quantité agrégée q quelconque, en supposant qu’elle est répartie efficacement entre les producteurs et les consommateurs.

Calculer la quantité de blé optimale q° pour cette économie.

5 5 l quilibre
5.5 L’équilibre

Un équilibre partiel sur le marché du blé se définit comme la réalisation d’un prix, permettant l’égalité de l’offre et de la demande exprimées.

Du fait de la loi de Walras, appliquée à cette économie comportant 2 biens, l’équilibre partiel sur le marché du blé coïncide avec l’équilibre général de l’économie.

5 5 l quilibre230
5.5 L’équilibre

p

L’équilibre du marché correspond au point d’intersection des courbes de demande (inverse) et d’offre (inverse).

Ses coordonnées, p* et q*, donnent la quantité et le prix d’équilibre.

P(q)

r(q)

p*

q*

q

5 5 l quilibre231
5.5 L’équilibre

Il s’ensuit que la quantité d’équilibre q* est optimal, puisqu’on a q* = q°.

Sans surprise, on retrouve ici le premier théorème de l’économie du bien-être : Tout équilibre de marché décentralise un état économique optimal au sens de Pareto.

5 6 compl ment sur les fonctions de co t
5.6 Complément sur les fonctions de coût

Ci-dessus, nous avons admis des propriétés restrictives sur les fonctions de coûts, afin de dégager des résultats simples.

Les hypothèses suivantes sont générales pour une fonction de coût C(y) :

  • Existence de coût fixe : C(0) = f > 0 ;
  • Croissance : C’(y) > 0 ;
  • Loi des rendements non proportionnels :

Il existe une production y° telle que :

C’’(y) < 0, si 0 < y < y° ,

= 0, si y = y° ,

> 0, sinon.

5 6 compl ments sur les fonctions de co ts
5.6 Compléments sur les fonctions de coûts

Cette fig. représente une fonction de coût vérifiant ces propriétés.

Elle est croissante.

Elle est d’abord concave (jusqu’au point d’infle-xion I, d’abscisse y°), puis convexe.

La pente du rayon joi-gnant l’origine à la cour-be est minimum au point M, d’abscisse y.

C

M

I

f

y

y

5 6 compl ments sur les fonctions de co ts234
5.6 Compléments sur les fonctions de coûts

Cette fig. montre la correspondance exis-tant entre les courbes C, CM et Cm.

Le coût marg. est posi-tif, décroissant jusqu’à y°, puis croissant.

Le coût moyen est minimum au point où il intersecte le coût marg., d’abscisse y.

Coûts

Cj

M

I

CM

f

Cm

y

y

5 6 compl ments sur les fonctions de co ts235
5.6 Compléments sur les fonctions de coûts

On peut alors montrer que l’offre y* est un équilibre du producteur au prix p si :

Cm = p,

Cm est croissant,

Cm ≥ CM,

toutes ces grandeurs étant calculées au point y*.

5 6 compl ments sur les fonctions de co ts236
5.6 Compléments sur les fonctions de coûts

Courbe

d’offre

(inverse)

En portant la quantité en abscisses et le prix en ordonnées, la courbe d’offre du producteur est représentée par sa courbe de coût marg. Cm, dans sa partie croissante et au-dessus de son coût moyen CM.

p

r(y)

p

CM

Cm

y*

y

5 6 exercices
5.6 Exercices

Soit la fonction de coût :

C(y) = (1/3) y3 – (1/2) y2 + y + f.

Calculer et étudier les coûts moyen CM et marginal Cm.

En déduire leur représentation graphique.

Déterminer la fonction d’offre du producteur.

6 la concurrence imparfaite
6. La concurrence imparfaite

Jusqu’ici, nous avons toujours admis que les conditions d’une concurrence pure et parfaite étaient réunies sur tous les marchés.

Sans définir cette notion, on l’a traduit en postulant directement que les agents économiques prenaient les prix pour des données, quelles que soient leurs décisions individuelles.

6 la concurrence imparfaite239
6. La concurrence imparfaite

Habituellement, on caractérise une situation de concurrence pure et parfaite par la conjonction, sur un marché, des conditions suivantes :

  • un grand nombre d’offreurs et de demandeurs participent au marché ;
  • l’entrée sur le marché est libre et sans coût ;
  • les caractéristiques du bien sont homogènes ;
  • il y a information parfaite ;
  • etc.
6 la concurrence imparfaite240
6. La concurrence imparfaite

Les économistes, en recourant le plus souvent à la théorie des jeux, explorent inlassablement les conséquences du relâchement de ces hypothèses (monopole, monopsone, oligopole, barrière à l’entrée, différenciation des biens, modèle de search, sélection adverse, risque moral, etc.).

6 la concurrence imparfaite241
6. La concurrence imparfaite

Dans ce chapitre, nous étudions un marché auquel participent un grand nombre (I) de consommateurs et un petit nombre (J) de producteurs, tous caractérisés par ailleurs comme au chapitre précédent.

On note donc :

X(p) = la fonction de demande globale (X’(p) < 0) ;

C(y) = le coût de production d’un producteur.

6 1 le monopole
6.1 Le monopole

Une entreprise est dite en situation de monopole si elle est l’unique offreur sur son marché (J = 1), si le nombre de demandeurs est grand et s’il n’existe pas de substituts proches pour ce bien.

6 1 le monopole243
6.1 Le monopole

Si l’on suppose qu’il connaît la fonction de demande globale X(p), le problème du monopole est de choisir un prix de vente p, tel que, en servant la demande X(p) exprimée à ce prix, son profit p = p X(p) – C(X(p)) soit maximum.

On appelle équilibre du monopole une solution de ce problème.

6 1 le monopole244
6.1 Le monopole

Notons :

P(x) = X-1(p) = la fonction de demande globale (inverse).

Il est équivalent (mathématiquement) de dire que le problème du monopole est d’offrir une quantité q telle que, celle-ci étant vendue au prix d’équilibre associé P(q), son profit p = P(q) q – C(q) soit maximum.

6 1 le monopole245
6.1 Le monopole

On définit la recette totale du monopole, notée RT, comme la fonction qui associe à toute offre q du monopole, la recette totale qu’il réalise, sachant le prix d’équilibre du marché P(q) associé.

On a donc :

RT = P(q) q = la recette totale du monopole

6 1 le monopole246
6.1 Le monopole

p

On illustre ici l’effet d’une hausse de l’offre du monopole de q’ à q’’. Le prix baissant de p’ à p’’, RT diminue de A = (p’ - p’’) q’.

L’offre augmentant de q’ à q’’, RT croît de B = p’’ (q’ – q’’).

Quand q’’  q’, on appelle B – A la recette marginale.

p’

A

p’’

P(q)

B

q’

q’’

q

6 1 le monopole247
6.1 Le monopole

On définit la recette marginale du monopole, notée Rm, comme la fonction qui associe à toute offre q du monopole, l’accroissement de sa recette totale s’il offre une unité supplémentaire (infiniment petite) du bien sur le marché.

On a donc :

Rm = P’(q) q + P(q) = la recette marginale du monopole

6 1 le monopole248
6.1 Le monopole

La propriété suivante caractérise un équilibre du monopole :

Si la quantité q* est un équilibre du monopole, on a :

Rm = Cm,

où Rm et Cm sont évalués au point q*.

6 1 le monopole249
6.1 Le monopole

p

Cette fig. illustre la détermination d’un éq. du monopole.

L’éq. q* égalise Rm et Cm. Le prix associé est P(q*). Le profit associé est donné par l’aire hachurée.

Noter, au passage, que, sur cette fig., Rm croît et Cm décroît au voisinage de q*.

Cm

P(q*) = p*

P(q)

q*

q

Rm

6 1 le monopole250
6.1 Le monopole

p

Par un raisonnement marginaliste, on montre que l’éq. de monopole n’induit pas un état optimal.

En effet, puisque P(q*) > Rm = Cm, en offrant dq unités supplementaire, W croît de l’aire dW hachurée sur la fig.

Cm

dW

p*

W

P(q)

q*

q

Rm

q*+dq

6 1 le monopole251
6.1 Le monopole

p

Charge morte du monopole

En fait, on sait que W est max. pour l’offre q°, à l’intersection entre P(q) et Cm.

Le monopole rationne le marché par rapport à l’état optimal.

On appelle charge morte du monopole la perte de surplus liée à ce comportement.

Cm

p*

P(q)

q*

q

Rm

6 1 le monopole252
6.1 Le monopole

Supposons que le monopole identifie plusieurs types de clients, qu’il connaît la demande de chaque type et qu’il peut segmenter le marché (c’est-à-dire, il peut empêcher les reventes entre types).

En pratiquant une stratégie de prix différenciés, il va pouvoir augmenter son profit. On parle de monopole discriminant.

6 1 le monopole253
6.1 Le monopole

Supposons une segmentation du marché en deux types (i = 1, 2).

On note, pour chaque type i = 1, 2 :

Pi(qi) = sa fonction de demande (inverse) ;

Rmi = Pi’(qi) qi + Pi(qi) = la recette marginale correspondante.

6 1 le monopole254
6.1 Le monopole

La propriété suivante caractérise un équilibre du monopole discriminant :

Si les quantités qi* (i = 1, 2) forment un équilibre du monopole discriminant, on a :

Rm1 = Rm2 = Cm,

où :

Rmi est évalué au point qi* (i = 1, 2) ;

Cm est évalué au point q* = q1* + q2*.

6 1 le monopole255
6.1 Le monopole

p*

p

Cette fig. illustre l’éq. du monop. discriminant.

On additionne vers la droite Rm1 et Rm2, pour tracer Rm. L’intersec-tion de Rm et Cm donne q* = q1*+ q2*. Les offres sur les marchés se déduisent de l’intersec-tion de Rm1 et Rm2 avec la droite horizontale d’ordonnée Cm(q*).

P1(q1)

Cm

Cm(q*)

P2(q1)

q1*

q2*

q

Rm

Rm1

Rm2

q*

(= q1*+ q2*)

6 1 exercice
6.1 Exercice

On considère un monopole, caractérisé par sa fonction de coût C(q) = q, servant le marché d’un bien sur lequel la demande est donnée par X(p) = 2 – p.

  • Déterminer l’équilibre du monopole.
  • Calculer la charge morte du monopole.
6 2 le duopole
6.2 Le duopole

On définit un marché oligopolistique comme un marché sur lequel un petit nombre J de firmes sont en concurrence.

On note :

X(p), P(q) = la f° de demande ;

Cj(qj) = la f° de coût de la firme j.

6 2 le duopole258
6.2 Le duopole

On parle de duopole quand J = 2.

On définit un duopole de Counot, comme la situation où les firmes décident (simultanément) leur production, puis la vendent au prix du marché ;

On définit un duopole de Bertrand, comme la situation où les firmes affichent (simultanément) leur prix, puis servent la demande qui se présente à elles à ce prix.

6 2 1 equilibre de cournot
6.2.1 Equilibre de Cournot

On définit un équilibre de Cournot comme la donnée de quantités qj*, j = 1, 2, telles que, considèrant la quantité de l’autre comme donnée, chaque firme j maximise son profit en offrant qj*, pour vendre au prix P(q1* + q2*).

6 2 1 equilibre de cournot260
6.2.1 Equilibre de Cournot

Formellement, un équilibre de Cournot q1* et q2* vérifie la condition de profit maximum pour les deux firmes :

q1 = q1* maximise p1 = P(q1 + q2*) q1 – C1(q1) ;

q2 = q2* maximise p2 = P(q1* + q2) q2 – C2(q2).

6 2 1 equilibre de cournot261
6.2.1 Equilibre de Cournot

On définit la fonction de réaction de la firme 1, notée R1(q2), comme la fonction qui, à toute quantité q2 offerte par la firme 2, associe l’offre q1 de la firme 1, qui maximise son profit. Formellement :

q1 = R1(q2) maximise

p1 = P(q1 + q2) q1 – C1(q1), pour tout q2.

On a la même définition pour la firme 2.

6 2 1 equilibre de cournot262
6.2.1 Equilibre de Cournot

En supposant une solution intérieure, la fonction de réaction q1 = R1(q2) de la firme 1 vérifie, pour tout q2 :

P’(q1 + q2) q1 + P(q1 + q2) – C1’(q1) = 0.

On a la même caractérisation pour la fonction de réaction q2 = R2(q1) de l’autre firme.

6 2 1 equilibre de cournot263
6.2.1 Equilibre de Cournot

Connaissant les fonctions de réaction des deux firmes, un équilibre de Cournot vérifie :

q1 = R1(q2),

q2 = R2(q1).

On déterminera donc un équilibre de Cournot en cherchant d’abord les fonctions de réaction des firmes, puis en résolvant ce système.

6 2 1 exercice
6.2.1 Exercice

On considère deux entreprises en situation de duopole sur un marché. On suppose qu’elles partagent la même technologie, caractérisée par la fonction de coût C1(q) = C2(q) = q. La demande sur le marché est donnée par X(p) = 2 – p.

  • Calculer l’équilibre du duopole.
  • Comparer avec l’équilibre du monopole.
6 2 2 equilibre de bertrand
6.2.2 Equilibre de Bertrand

Notons p1 et p2, les prix affichés (simultanément) par les firmes 1 et 2 respectivement.

On note :

Xj(p1, p2) = la demande adressée à la firme j.

6 2 2 equilibre de bertrand266
6.2.2 Equilibre de Bertrand

Si les biens offerts par les deux firmes sont parfaitement homogènes, les consommateurs s’adressent tous à la firme qui affiche le prix le plus bas.

On aura dans ce cas :

X(p1), si p1 < p2,

X1(p1, p2) = X(p)/2, si p1 = p2 = p,

0, si p1 > p2.

0, si p1 < p2,

X2(p1, p2) = X(p)/2, si p1 = p2 = p,

X(p2), si p1 > p2.

6 2 2 equilibre de bertrand267
6.2.2 Equilibre de Bertrand

Si les biens offerts par les deux firmes, quoique proches, ont des propriétés différentes (couleur, emballage, poids, etc.) et si les consommateurs ont des préférences sur ces propriétés, la demande adressée aux firmes pourra s’écrire, par exemple :

X1(p1, p2) = a1 – b1 p1 + c1 p2,

X2(p1, p2) = a2 – b2 p2 + c2 p1,

où toutes les constantes sont positives.

6 2 2 equilibre de bertrand268
6.2.2 Equilibre de Bertrand

On définit un équilibre de Bertrand comme la donnée de prix pj*, j = 1, 2, telles que, considèrant le prix de l’autre comme donné, chaque firme j maximise son profit en affichant le prix pj*, pour servir la demande Xj(p1*, p2*).

6 2 2 equilibre de bertrand269
6.2.2 Equilibre de Bertrand

On définit la fonction de réaction de la firme 1, notée R1(p2), comme la fonction qui, à tout prix p2 affiché par la firme 2, associe le prix p1 de la firme 1, qui maximise son profit. Formellement :

p1 = R1(p2) maximise

p1 = p1 X1(p1, p2) – C1(X1(p1, p2)), pour tout p2.

On a la même définition pour la firme 2.

6 2 2 equilibre de bertrand270
6.2.2 Equilibre de Bertrand

Si les biens ne sont pas parfaitement homogènes et en supposant une solution intérieure, la fonction de réaction p1 = R1(p2) de la firme 1 vérifie, pour tout p2 :

X1(p1, p2) X1(p1, p2)

X1(p1, p2) + p1 = C1’(X1(p1, p2))

p1p1

On a la même caractérisation pour la fonction de réaction q2 = R2(q1) de l’autre firme.

6 2 2 equilibre de bertrand271
6.2.2 Equilibre de Bertrand

Connaissant les fonctions de réaction des deux firmes, un équilibre de Bertrand vérifie :

p1 = R1(p2),

p2 = R2(p1).

On déterminera donc un équilibre de Bertrand en cherchant d’abord les fonctions de réaction des firmes, puis en résolvant ce système.

6 2 2 exercice
6.2.2 Exercice

On considère le duopole en prix caractérisé par :

C1(q) = C2(q) = q,

X1(p1, p2) = 2 – p1 + p2,

X2(p1, p2) = 2 + p2 – p1.

Calculer l’équilibre de Bertrand.

2 7 exercices273
2.7 Exercices

x2

Corrigé ex. 1.

Le pb revient à trouver

x dans X et B, qui soit

sur une courbe d’indif.

la plus éloignée possible

de l’origine. L’équilibre

x* se situe sur l’axe

des abscisses (solution

en coin).

R/p2

XB

x*

R/p1

x1